Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(11.8) 214 Первый член — это произведение массы электрона на его ускорение, а второй — возвращающая сила; справа стоит сила, действующая со стороны внешнего электрического поля. Если электрическое поле меняется с частотой в, то уравнение (11.2) допускает решение Объединяя (ИЛ) и (И.8), получаем к — 1= — =Ха, р е~Е (И.9) или в силу (И.7) 4лЛ'е' к — 1= ~еез Для оценки собственной частоты ю можно положить эту энергию равной Ьюз — энергии атомного осциллятора с собственной частотой юз.
Получаем 1 езее оз 2 3з Пользуясь этой величиной в уравнении (И.7), находим электронную поляризуемость а=16я Я (И.12) Величина (Ьз7тез) есть радиус основной орбиты атома Бора (см. вып. 4, гл. 38), равнып 0,528 Л. При нормальном давлении и температуре (1 атее, 0'С) в газе на 1 еэзз приходится 2,69 10'" атомов, и уравнение (И.9) дает и = 1+ (2,69 10") 16л (О 528.10 ')з = 1 00020. (И.13) Измеренная на опыте диэлектрическая проницаемость равна к,„„= 1,00026. 215 С помощью уравнения (И.9) можно предсказать, что диэлектрическая проницаемость к различных газов должна зависеть от плотности газа и от резонансной частоты юе. Наша формула, конечно, лишь очень грубое приближение, потому что в уравнении (И.2) мы воспользовались моделью, игнорирующей тонкости квантовой механики.
Например, мы считали, что атом имеет только одну резонансную частоту, тогда как на самом деле их много. Чтобы по-настоящему вычислить поляризуемость атомов, нужно воспользоваться последовательной квантовомоханической теорией, однако и классический подход, изложенный выше, дает вполне разумную оценку. Посмотрим, сможем лн мы получить правильный порядок величины диэлектрической проницаемости какого-нибудь вещества. Возьмем, к примеру, водород. й!ы уже оценивали (вып.
4, гл. 38) энергию, необходимую для ионизации атома водорода, и получили приближенно 1 ьзее Е 2 йз Видите, наша теория почти правильна. Лучшего нельзя было и ожидать, потому что измерения проводились, конечно, с обычным водородом, обладающим двухатомными молекулами, а не одиночными атомами.
Не следует удивляться тому, что поляризация атомов в молекуле не совсем такая, как поляризация отдельных атомов. На самом деле молекулярный аффект не столь велик. Точное квантозомеханическое вычисление величины а для атомов водорода дает результат, превышающий (11 12) примерно на 12 "1 (вместо 16я получается 18я), поэтому он предсказывает для диэлектрической проницаемости значение, более близкое к наблюденному. Во всяком случае, совершенно очевидно, что наша модель диэлектрика вполне хороша. Еще одна проверка нашей теории.
Попробуем применить уравнение (11.12) к атомам с болыпей частотой возбу>ггдения. Например, чтобы отобрать электрон у гелия, требуется 24,5 в, тогда как для ионнзации водорода необходимы 13,5 в'. Поэтому мы предположим, что частота поглощения юю для гелия должна быть примерно в дза раза болыпе, чем для водорода, а а доля;на быть меньше в четыре раза.
Мы ожидаем, что н„,„„ю — 1,000050, а экспериментально получено н„„„ю = 1,000068, так что наши грубые оценки показывают, что мы на верном пути. Итак, мы поняли диэлектрическую проницаемость неяолярного газа, но только качественно, потому что пока мы еще не использовали правильную атомную теорию двиягения атомных электронов. йг З. ПолЯРнъсе шолеЯУлыю' оуггеюггггаг(ггоннаЯ юголярггепг(ня Теперь рассмотрим молекулу, обладающую постоянным дипольным моментом рю, например молекулу воды.
В отсутствие электрического поля отдельные диполи смотрят в разных направлениях, так что суммарный момент в единице объема равен нулю. Но если приложить электрическое поле, то сразу же происходят две вещи: во-первых, индуцируется добавочный дипольный момент из-за сил, действующих на электроны; эта часть приводит к той же самой электронной поляризуемости, которую мы нашли для неполярной молекулы.
При очень точном исследовании этот эффект, конечно, нужно учитывать, во мы пока пренебрежем им. (Его всегда можно добавить в конце.) Во-вторых, электрическое поле стремится выстроить отдельные 216 Ф и г. 11.З. й гаге полярник леочекул отдееоние момента ориентирована случайним абрагом, средний момент в неболмном обиеме равен ггулго (а); под действием электрического поля в среднем еогникаегп некоторое вистраивагше молекул (б) диполи, создавая результирующий момент в единице объема. Если бы в газе выстроились все диполи, поляризация была бы очень большой, но этого не происходит.
При обычных температурах и напряженностях поля столкновения молекул при их тепловом движении не позволяют им как следует выстроиться. Но некоторое выстраивание все же происходит, а отсюда и неболылая поляризация (фиг. 11.2). Возникающая поляризация может быть подсчитана методами статистической механики, описанными в гл. 40 (вып.
4). Чтобы использовать этот метод, нужно знать энергию диполя в электрическом поле. Рассмотрим диполь с моментом ро в электрическом поле (фиг. 11.3). Энергия положительного заряда равна еф (1), а энергия отрицательного есть — дф (2). Отсюда получаем энергию диполя 11 =уф(1) — дф(2) =-дг( )1ф, бР= — Ро Е= — РоЕсоз0, или (11.14) (11.15) е-иыг где 0 — угол между р, и Е. Еак и следовало ожидать, анергия становится меньше, когда диполи выстраиваются вдоль поля. Теперь с помощью методов статистической механики мы выясним, насколько сильно диполи выстраиваются. В гл. 40 (вып.
4) мы нашли, что в состоянии теплового равновесия относительное число молекул с потенциальной энергией У про- порционально Ф и а. 11,о. Энергия еиполя ро в иоле Е равна — ро Е. 6) Я (з) где У (а, у, г) — потенциальная энергия как функция положения. Оперируя теми же аргументами, можно сказать, что если потенциальная энергия как функция угла имеет вид (И.14), то число молекул под углом О, приходящееся на единичный телесный угол, пропорционально ехр ( — (7/ЙТ).
Полагая число молекул на единичный телесный угол, направленных под углом 6, равным и (6), имеем н(6) и своев месит (И.16) (И 17) Найдем п, проинтегрировав (И.17) по всем углам; результат должен быть равен Ле, т.е. числу молекул в единице объема. Среднее значение соз 0 при интегрировании по всем углам есть нуль, так что интеграл равен просто но, умноженному на полный телесный угол 4я.
Получаем (И.18) Из (И.17) видно, что вдоль поля (соз 6 = 1) будет ориентировано болыпе молекул, чем против поля (соэ 0 — 1), Поэтому в любом малом объеме, содержащем много молекул, возникнет суммарный дипольиый момент на единицу объема, т.е. поляризация Р. Чтобы вычислить Р, нужно знать векторнуво сумму всех молекулярных моментов в единице объема. Мы знаем, что результат будет направлен вдоль Е, поэтому нужно только просуммировать компоненты в этом направлении (компоненты, перпендикулярные Е, при суммировании дадут нуль): Р= ~ р„сов Он По единичному обогну Мы можем оценить сумму, проинтегрировав по угловому рас- Для обычных температур и полей показатель экспоненты мал, и, разлагая экспоненту, моокно воспользоваться приблигкенным выражением пределению. Телесный угол, отвечающий О, есть 2я э!и Оогб; отсюда Р =-~ к(О)р,соэ 92яэ(пбг(О.
(11 19) о Подставляя вместо и (О) его выражение иэ (11.17), имеем Р = — — „1 ( 1 + — соз О) р соэ Огг' (соэ О), лт о что легко интегрируется и приводит к следующему результату: Мр" Е злт (11.20) Р туз з,Е Зе,еп (11.21) так что х — 1 должна меняться прямо пропорционально плотности Дг и обратно пропорционально абсолютной температуре. Диэлектрическая проницаемость была измерена при нескольких значениях давления и температуры, выбранных таким образом, чтобы число молекул в единице объема оставалось постоянным е. (Заметим, что, если бы все измерения выполнялись при постоянном давлении, число молекул в единице объема уменьшалось бы линейно с повышением температуры, а х — 1 *Яапиег, Б!е!еег, ОасЬгег, Не!ге!!са РЬуз1са Ас!а,б, 200 (1932). Поляризация пропорциональна полю Е, поэтому диэлектрические свойства будут обычные.
Кроме того, как мы и оягидаем, поляризация обратно пропорциональна температуре, потому что при более высоких температурах столкновения больше разрушают выстроенность. Эта зависимость вида 1/Т называется законом Кюри. Квадрат постоянного момента ре появляется по следующей причине: в данном электрическом поле выстраивающая сила зависит от р, а средний момент, возникающий при выстраивании, снова пропорционален р„. Средний индуцируемый момент пропорционален р',.
Теперь посмотрим, яасколько хорошо уравнение (11.20) согласуется с экспериментом. Возьмем водяной пар. Поскольку мы не знаем, чему равно р„то не можем прямо вычислить и Р, но уравнение (11.20) предсказывает, что х — 1 должна мопяться обратно пропорционально температуре, и зто нам следует проверить. Из (11.20) получаем 000Ч Ф и г. 11.о. #вперенные вначения дивлекпгрической прониуаехосжи водяного пара при несколоких спеипероп урах. 0 000 0 0,00г 0,001 ' ~lт,ск)' ф 4.
Элентщгггчеоные поля в пувпготпах д мэленвпрчана Теперь мы переходим к интересному, но сложному вопросу о диэлектрической проницаемости плотных веществ. Возьмем, например, жидкий гелий, или жидкий аргон, или еще какое- нибудь неполярное вещество. Мы яо-прежнему ожидаем, что у них есть электронная поляризуемость. Но в плотных средах значение Р может быть велико, поэтому в поле, действующее на отдельный атом, вклад будет давать поляризация атомов, находящихся по соседству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
