Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Предположим, например, что источник тепла находится внутри материала (возможно, радиоактивный источник или сопротивленпе, через которое пропускают ток). Обозначим через в тепловую энергию, производимую этим источником в единицо объема за 1 сек. Кроме того, могут возникнуть потери (или, наоборот, дополнительное рождение) тепловой энергии за счет перехода в другио виды внутренней энергии в данном объеме. Если и— внутренняя энергия в едипице объема, то — ди/Л будет тоже играть роль «источника» тепловой энергии.
Итак, имеем во т ')« =в в» (12.5) Мы не собираемся здесь обсуждать полное уравнение, величины в котором изменяются со временем, потому что мы проводим аналогию с злектростатикой, где ничто не зависит от времеяи. Мы рассмотрим только задачи с постоянныэ«потоком тепла, в которых постоянные источники создают состояние равновесия.
В таких случаях Ъ' 1» =- в. (12.6) Нужно иметь, конечно, еще одно уравнение, которое описывает, как поток течет в разяых местах. Во многих веществах поток тепла примерно пропорционален скорости изменения температуры с положением: чем больше разность температур, тем больше поток тепла. Мы знаем, что вектор потока тепла пропорционален градиенту температуры. Константа пропорциональности К, зависящая от свойств материала, называется коэффициентом теплопроводности Ь=- — Кт Т.
(12.7) Если свойства материала меняются от точки к точке, то К=К (х, р, г) и есть функция положения. [Уравнение (12.7) не столь фундаментально, как (12.5), выра«кающее сохранение тепловой энергии, потому что оно зависит от характерных свойств вещества.) Подставляя теперь уравнение (12.7) в (12.6), получаем (12.8) т (КЧТ) = — в что в точности совпадает по форме с (12.4). Задачи с постоянны.ч потоков«тепла и задачи электростатики одинаковы. Вектор Ф и е.
12.1. Послов телла в с.сучке цилиндрической симметрии (а) и соответствующая вадача ив вяектричества (6). потока тепла )ч соответствуетЕ, а температура Т соответствует ф. Мы уэко отмечали, что точечный тепловой источник создает поле температур, Еl'~~ меняв>щееся, как 1/г, и поток тепла, меняющийся, как 1/г'.
Это есть не более чем простой перенос утверждевв ний электростатики, что точечный заряд дает потенциал, менвпощийся, как 1/г, и электрическое поле, меняющееся, как 1/г'. Вообще мы можем решать статистические тепловые заб дачи с той же степенью легкости, как и задачи электростатики. Рассмотрим простой пример. Пусть имеется цилиндр с радиусом а при температуре Т„поддерживающейся за счет генерации тепла в цилиндре.
(Это может быть, скажем, проволока, по которой течет ток, или трубка с конденсацией пара внутри цилиндра.) Цилиндр покрыт концентрической обшивкой из нзолирувощего материала с теплопроводностыо К. Пусть внешний радиус изоляции равен Ь, а в наружном пространстве поддерживается температура Т, (фиг. 12. 1, а). Нам нужно определить скорость потери тепла проволокой или паропроводом (все равно чем), проходящим по центру цилиндра.
Пусть полное количество тепла, теряемого на длине трубы /., равно 6, его-то мы и хотим найти. Как надо решать такую задачу? У нас есть дифференциальные уравнения, но поскольку они такие нве, как в электростатике, то математическое решение их нам уже известно. Аналогичная задача злектростатнки относится к проводнику радиусом а при потенциале ф„отделенном от другого проводника радиусом Ь при потенциале фв, с концентрическим слоем диэлектрика между ними (фиг. 12.1, б). Далее, поскольку поток тепла )в соответствует электрическому полю Е, то наша искомая величина 6 соответствует потоку электрического поля от единичной длины (другими словами, электрическому заряду на 2ягТ,Ь= С, илн Ь=,— ' 2яА' (12.9) Поток тепла пропорционален градиенту температуры )е= — КрТ, или в данном случае величина )е равна Ь =- — К вЂ” . Вместе с (12.9) это дает Д7" С Л 2пКЕг (12 10) Интегрируя от г= — а до г=6, получаем Т.— Т = — 1а— С Ь 2пКХ, а (12.11) Разрешая относительно С, находим 2яКК (Т,— Та) (12.12) 1п (6/а) Этот результат в точности соответствует формуле для заряда цилиндрического конденсатора: 0— 2яеаа (ср~ — <ре) 1и (Ыа) Задачи одинаковые и имеют одинаковые решения.
Зная электро- статику, мы тем самым знаем, сколько тепла теряет изолированная труба. Рассмотрим еще один пример. Пусть мы хотим узнать поток тепла в окрестности точечного источника, расположенного неглубоко под поверхностью земли или же вблизи поверхности единице длины, деленному на е,). Мы решали электростатическую задачу с помощью закона Гаусса. Нашу задачу о потоке тепла будем решать таким же способом.
Из симметрии задачи мы видим, что Ь зависит только от расстояния до центра. Поэтому мы окружим трубку гауссовой поверхностью — цилиндром длиной Ь и радиусом г. С помощью закона Гаусса мы выводим, что поток тепла Ь, умноженный на площадь поверхности 2яг1., должен быть равен полному количеству тепла, рождаемому внутри, т. е. тому, что мы назвали С: болыпого металлического предмета. В качестве локализованного источника тепла может быть и атомная бомба, которая взорвалась под землей и представляет собой мощный источник тепла, или же неболыпой источник радиоактивности внутри железного блока — возможностей очень много. Рассмотрим идеализированную задачу о точечном источнике тепла, мощность которого 6, на расстоянии а под поверхностью бесконечной однородной среды с коэффициентом теплопроводности К.
Теплопроводностью воздуха вад поверхностью среды мы пренебрежем. Ыы хотим определить распределение температуры на поверхности среды. Насколько горячо будет прямо над источником и в разных местах на поверхности? Как же решить эту задачу? Она похожа на задачу по электростатике, в которой имеются два материала с разной диэлектрической проницаемостью я по оое стороны от разделяющей их границы.
Здесь что-то есть! Возможно, это похоже на точечный заряд вблизи границы между диэлектриком и проводником или что-нибудь вроде этого. Посмотрим, чтб происходит вблизи границы. Физическое условие состоит в том, что нормальная составляющая Ь на поверхности равна нулю, поскольку мы предположили, что потока из блока нет. Мы должны задать вопрос: з какой электростатической задаче возникает условие, что нормальная компонента электрического поля Е (представляющая собой аналог и) равна нулю у поверхности? Нет такой! Это один из тех случаев, к которым следует относиться с осторожностью.
По физическим причинам могут быть определенные ограничения тех математических условий, которые возникают в каком-либо случае. Поэтому если мы проанализировали дифференциальное уравнение только для некоторых ограниченных примеров, то вполне можем упустить ряд решений, возникающих в других физических условиях. Например, нет материала, обладающего диэлектрической нроницаемостью, равной нулю, а теплопроводность вакуума равна нулю. Поэтому нет электростатического аналога идеального теплоизолятора. Мы можем, однако, попытаться использовать те же методы.
Попробуем вообразить, что произошло бы, если бы диэлектрическая проницаемость была равна нулю. (Разумеется, в реальных условиях диэлектрическая проницаемость никогда не обращается в нуль. Но может представиться случай, когда вещее~во имеет очень большую диэлектрическую проницаемость, так что диэлектрической проницаемостью воздуха вне среды можно пренебречь.) Как же найти электрическое поле, у которого нет составляющей, перпендикулярной к поверхности? Иначе говоря, такое поле, которое всюду касательно к поверхности? Вы заметите, что эта задача обратна задаче о точечном заряде вблизи проводящей плоскости. Там нам нужно было поле, перпендикулярное 6 Т=— 4лКг (12 ЛЗ) (Это, конечно, полностью аналогично /р= /1//4леьг.) Температура точечного источника и, кроме того, его изображения равна Т С + С 4лКг, 4лКге (12.14) Эта формула дает нам температуру всюду внутри блока.
Несколько изотермнческнх поверхностей приведено на фнг. 12.2. Показаны также линии Ь, которые можно получить из выражения Ь = — К'рТ. В самом начале мы интересовалясь распределением / / /,/' / l / г :Ъ - ф=- - Кнб 1 --- // температуры на поверхности. Для точки па поверхности, Сб и е. 1з.з. Поток тепла и изотерми р точечного источника те//ла, расположепного на расстопнии а под поеераностью тела с *орошей //геплопроеод//остью. В е тела показано з/ннмое и обро кение источника. т Гемаерсюрра пееерзнепае а га р к поверхности, потому что проводник всюду находился при одном и том же значении потенциала. В задаче об электрическом поле мы придумали решение, вообразив за проводящей плоскостью точечный заряд. Можно воспользоваться снова этой же идеей.
Попытаемся выбрать такое «изображение» источника, которое автоматически обращало бы в нуль нормальную компоненту поля вблизи поверхности. Решение показано на фнг. 12.2. Электрическое изображение источника с тем же знаком и той же величины, находящееся на расстоянии а над поверхностью, дает поле, горизонтальное повсюду у поверхности. Нормальные компоненты от обоих источников взаимно уничтожаются. Итак, наша задача о потоке тепла решена.
Температура во всем пространстве одинакова по непосредственной аналогии с потенциалом от двух одинаковых точечных зарядов. Температура Т на расстоянии г от одного точечного источника 6 в бесконечной среде равна находящейся на расстоянии р от оси, г, = гв = 'г' р' + ав, следовательно, 1 2С Тна поверхности=л (12.15) ел р рв ао Эта функция также изобран ена на фнг. 12.2. Естественно, что температура прямо над источником выше, чем вдали от него.
Такого рода задачи часто приходится решать геофизикам. Теперь мы видим, что это те же самые задачи, которые мы решали в электричестве. Э 3. НббумлтРР)Рнббн лнлгбРиубы Рассмотрим теперь совсем другую область физики, в которой тем не менее мы придем снова к точно таким Рке уравнениям.
Возьмем тонкую резиновую пленку — мембрану, натянутую на большую горизонтальную раму (наподобие кожи на барабане). Нажмем на мембрану в одном месте вверх, а в другом— вниз (фнг. 12,3). Сможем лн мы описать форму поверхности? Покажем, как можно решить эту аадачу, когда отклонения мембраны не очень велики. В пленке действуют силы, потому что она натянута. Если сделать в каком-нибудь жесте пленки небольшой разрез, то два края разреза разойдутся (фнг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
