Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 45
Текст из файла (страница 45)
12.4). Следовательно, в пленке имеется поверхностное натяжехие, аналогичное одномерному натяжению растянутой веревки. Определим величину поверхностного натяжения т как силу на единицу длины, которая как раз удержала бы вместе две стороны разреаа (см. фиг. 12.4). Предположим теперь, что мы смотрим на вертикальное поперечное сечение мембраны. Оно будет иметь вид некоторой кривой, похожей на изображенную на фиг.
12.5. Пусть и— вертикальное смещение мембраны от ее нормального положе- Ф и г. 12Х лопкоя регииовоя п.генка, натянрспая ма Чилиссдр (ссекто вроде барабана). Бакой срорми бубет поверхность, сли пленку приподнять в слепке А и опуспсить е тоеке ВР Ф и г. 12.4. Повервностное натяжение с натянупзой, резиновой пленки есть сила отнесенная п единице длина и направленная перпендикулярно линии разреза, ния, а х и у — координаты в горизонтальной плоскости. (Приведенное сечение параллельно оси х.) Возьмем небольшой кусочек поверхности длиной Лх и шириной Лу. На него действуют силы вследствие поверхностного натяжения вдоль каждого края.
Сила на стороне 1 (см. фиг. з2.5) будет равна т Ар и направлена по касательной к поверхности„ т. е. под углом О, к горизонтали. Вдоль стороны 2 сила будет равна твЛу и направлена к поверхности под углом О,. (Подобные силы будут и на двух других сторонах кусочка, но мы пока забудем о них.) Результирующая сила от сторон 1 и 2, действующая на кусочек вверх, равна Лг =твпд з1п Ов — тзпу з1п 01. Мы ограничимся рассмотрением малых искажений мембраны, т. е. малых изгибов и наклонов: тогда мы смозкем заменить ззвО на 1я О и записать как ди/дх. Сила при зтих условиях дается выражением Величина в скобках может быть с тем же успехом записана (для малых Лх) как — (т — ) Лх; Ф и е. 12Х Поперечное сечение изогнутой пленки. тогда йг"= —.
~т — ) Лхйу. а Г аит дл ~ длг' Имеется и другой вклад в ЛР от сил на двух других сторонах; полный вклад, очевидно, равен ~д (т д )+ (т д )~ Ахиу. (12.16) Искривления диафрагмы вызваны внешними силами. Пусть Г означает направленную вверх силу на единичную площадку пленки (своего рода «давление»), возникающую ош внешних сил. Если мембрана находится в равновесии (статический случай), то сила зта должна уравновешиваться только что вычисленной внутренней силой (уравнение (12.16)). Иначе говоря, ЛР != —. Л«Лу ' Уравнение (12 16) тогда может быть записано в виде 1= — р (ту") (12. 17) где под знаком р мы теперь подразумеваем, конечно, двухмерный оператор градиента (дГдх, дГду).
У нас есть дифференциальное уравнение, связывающее и(х, у) с приложенными силами )(х, у) и поверхностным натяжением пленки т(х, у), которое, вообще говоря, ыожет меняться от места к месту. (Деформации трехмерного упругого тела тоже подчиняются таким уравнениям, но мы ограничимся двухмерным случаем.) Нас будет интересовать только случай, когда натяжение т постоянно по всей пленке.
Тогда вместо (12 17) мы можем записать д»и= — — . (12.18) Снова мы получили такое ясе уравнение, как в электростатике! Но на сей раз оно относится к двум измерениям. Смещение и соответствует ц, а ГГт соответствует р/е . Поэтому тот труд, который мы потратили на бесконечные заряженные плоскости, или параллельные провода большой длипы, или заряя<енные цилиндры, пригодится для натянутой мембраны. Предположим, мы подтягиваем мембрану в каких-то точках на определенную высоту, т.
е. фиксируем величину и в рядо точек. В злектрическом случае это аналогично заданию определенного потенциала в соответствующих местах. Например, мы можем устроить положительный «потенциал», если подопрем мембраяу предметом, который имеет такое же сечение, как и соответствующий цилиндрический проводник.
Если, скажем, мы подопрем мембрану круглым стержнем, по- В) и е. л2.6. Поперечное сечение натянутой резиновой оленки, подпертой круелим стержнем. Функция и)х, у) то те, что и иотенуиол гг Сх, у) огя оч нь длинн го га»ягкенного етеуиеня. верхность примет форму, изображенную на фиг. 12.6. Высота и имеет такой же внд, как электростатический потенциал заряженного цилиндрического стержня. Она спадает, как 1в(1)'г). (Наклон поверхности, который соответствует электрическому полю Е, спадает, как 1)'г,) Натянутую резиновую пленку часто испольэовали для решения слон ных улектрических задач экспериментальным путем.
Аналогия используется в обратную сторону! Для подъема мембраны на высоту, соответствующую потенциалам всего набора электродов, подставляют разные стержни и полоски. Затем измерения высоты дают электрический потенциал в электростатической задаче. Аналогия проводится даже еше далыве, Если на мембране поместить маленькие шарики, то их движение примерно схоже с движением электронов в соответствующем электрическом поле. Таким способом можно воочию проследить за движением «электронов» по их траекториям.
Этот метод был использован для проектирования сложной системы многих фотоумножительных трубок (таких, например, какие используются в сцинтилляционпом счетчике или для управления передними фарами в автомашине кадилчак). Метод используется и до сих пор, но его точность не очень велика. Для более точных расчетов лучше находить поле численным путем с помощью больших электронных вычислительных машин. ф А Диффря««я нейм»1)онов; сйбсу)««чсск««-симз«еуе»2)июнь«««ис«конник в однородной среде Приведем еще один пример, дающий уравнение того же вида, но на сей раз относящееся к диффузии. В гл.
43 (вып. 4) мы рассмотрели диффузию ионов в однородном газе и диффузию одного газа сквозь другой. Теперь возьмем другой пример— диффузию нейтронов в материале типа графита. Мы выбрали графит (разновидность чистого углерода), потому что углерод не поглощает медленных нейтронов. Нейтроны путешествуют в нем свободно. Они проходят по прямой в среднем несколько сантиметров, прежде чем рассеются ядром и отклонятся в сторону. Так что если у нас есть большой кусок графита толщиной в несколько метров, то нейтроны, находившиеся сначала длектричеткее пиле к е:.':..й ' '.'.': ',.м .
мп ::~~':;,:,::~4:: /( '-".:::!'.: у- ' 'Г" е ! ! ! гв и г, 7в.7. Нейтрона рождаются однородно вну>при сфера радиуса а в большою графитовои блоке и диффундируютнаружу. Няотноео>ь нейтронов Л кояукена как функуия г, расстояния от уенп>ра истопника. Справа понтона веектро то>пимееквя оноеоеия> оепорвдно еарткенпоя еф>ера, примем К соответвпву т ек а Ю еовтвепютвгет Е. в одном месте, будут переходить в другие места. Мы опишем их усредненное поведение, т. е. их средний лоток. Пусть Л(х, у, к)Л!е — число нейтронов в злементе объема И' в точке (х, у, х). Движение нейтронов приводит к тому, что одни покидают Мг, а другие попадают в него.
Еслк в одной области оказывается нейтронов больше, чем в соседней, то оттуда их будет переходить во вторую область больше, чем наоборот; в результате возникнет поток. Повторяя доказательства, приведенные в гл. 43 (вып. 4), можно описать поток вектором потока !. Его компонента У„есть результирующее число нейтронов, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х. Мы получим тогда де ' (12.1>)) где коэффициент диффузии Хг дается в терминах средней скорости р и средней длины свободного пробега 1 между столкаовеннями: В= — ео. е 3 Векторное уравнение для Х имеет вид ,? = — юр/у.
(12. 20) 'у'( зз)?Л)=о д/У 3> (12. 22) В статическом случае, когда дЛ>/дс =.О, мы снова имеем уравнение (12.4)! Мы можем воспользоваться нашими знаниямп в электростатике для решения задач по диффузии нейтронов, Давайте же решим какую-нибудь задачу. (Пожалуй, вы недоумеваете: зачем решать новую задачу, если мы уже решили все задачи в электростатике? На этот раз мы можем решить быстрее именно потому, что электростатические задачи действительно уже решены)) Пусть имеется блок материала, в котором нейтроны (ска>кем, за счет деления урана) рождаются равномерно в сферической области радиусом а (фиг.
12.7). Мы хотели бы узнать, чему равна плотность нейтронов повсюду? Насколько однородна плотность нейтронов в области, где они рождаются? Чему равно отношение нейтронной плотности в центре к нейтронной плотности на поверхности области рождения? Ответы найти легко. Плотность нейтронов в источнике Я„ стоит вместо плотности зарядов р,поэтому наша задача такая же, как задача об однородно заряженной сфере. Найти Л' †в равно что найти потенциал >р. Мы уже нашли поля внутри н вне однородно заряженной сферы; для получения потенциала мы можем их проинтегрировать. Вне сферы потенциал равен (?/4яз,г, где полный заряд ~? дается отношением 4казр/3.
Следовательно, ов (12.23) Для внутренних точек вклад в поле дают только заряды Яг), находящиеся внутри сферы радиусом г; ()(г) =4яг>р/3, следо- Скорость, с которой нейтроны проходят через некоторый элемент поверхности Иа, равна з.пда (где и, как обычно,— единичный вектор нормали). Результирующий поток из влез>енгаа объема тогда равен (пользуясь обычным гауссовым доказательством) р эйли.
Этот ноток приводил бы к уменьшению числа нейтронов в М', если нейтроны не генерируются внутри ЛГ (с помощью какой-нибудь ядерной реакции). Если в объеме присутствуют источники, прокзводящие Я нейтронов в единицу времени з единице объема, то результирующий поток из Ле' будет равен (о — (дЛ'/дсЦ Л)>. Тогда получаем р Я=Я вЂ” ду. (12.21) Номбннируя (12.21) и (12.20), получаем уравнение диУ)фузии нейтронов вательно, ру (12.24) Поле растет линейно с г. Интегрируя й, получаем гр: г()рнуур, + Константа. ры ае, На расстоянии радиуса а гр,„, „должен совпадать с гс,„„ю поэтому постоянная долясна быть ранна раг~2ею (Мы предполагаем, что потенциал гр равен нулю на больших расстояниях от источника, а это для нейтронов будет отвечать обращению Л в нуль.) Следовательно, ггвиутР= з ( у з ) (12.25) (12.27) 11а фиг 12.7 представлена зависимость Ф от г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
