Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть расстояние между пластинами равно се, а площадь каждой пластины А. Как мы показали раньше, емкость равна лам (10.1) а заряд и потенциал конденсатора связаны соотношением е'л =--СК (10.2) Далее, экспериментальный факт состоит в том, что если мы положим между пластинами кусок изолирующего материала, например стекла нли плексигласа, то емкость возрастет. Это, разумеется, означает, что при том же заряде потенциал стал меньше.
Но разность потенциалов есть интеграл от электрического поля, взятый поперек конденсатора; отсюда мы должны заключить, что электрическое поле внутри конденсатора стало меньше, хотя заряды пластин и не изменились. Но как может зго быть? Нам известна теорема Гаусса, которая утверждает, что полный поток электрического поля прямо связан с находящимся внутри объема электрическим зарядом.
Рассмотрим входящую в теорему Гаусса поверхность Я, изображенную пунктиром на фиг. 10.1. Поскольку электрическое поле в присутствии диэлектрика уменыпается, мы заключаем, что полный заряд внутри поверхности должен теперь быто меньше, чем до внесения изолятора. Остается сделать единственный вывод,что на поверхности диэлектрика должны находиться положительные заряды. Раз поле уменьшилось, но все же не обратилось в нуль, значит, этот положительный заряд меншпе отрицательного заряда в проводнике.
Итак, явление это можно объяснить, если мы поймем, почему на одной поверхности диэлектрика, помещенного в электрическое поле, индуцируется положительный заряд, а на другой — отрицательный. 197 Проводков Пуоводннн Ф и г. 10.2. Если поместить пластинку проводника внутрь плоского конденсатора, навгдгннме гарядм обрапгягп поле е проводнике е нуль. Все было бы понятно, если бы речь шла о проводнике. Пусть у нас был бы, например, конденсатор, расстояние мея'ду пластинами которого равно гг, и мы вставили бы между этими пластинами незаряженный проводник толщиной Ь (фиг. 10.2). Электрическое поле индуцирует полон'ительный заряд на верхней поверхности и отрицательный заряд на нижней поверхности, так что в результате поле внутри проводника погашается, Во всех остальных местах поле такое в'е, какое было без проводника, поэтому оно равно поверхностной плотности зарядов, деленной на е,; но расстояние, по которому мы должны интегрировать, чтобы получить напряжение (разность потенциалов), стало меньше.
Напряжение равно )г = — (г) — Ь). ег Окончательное выражение для емкости похоже на (10.1), где г) пу;кно заменить разностью (гг — Ь): еоА д [1 — (Ыд)) ' Емкость увеличилась в некоторое число раз, зависящее от Ьггг, доли объема, занятого проводником. Отсюда мы получаем модель того, что происходит в диалектриках: внутри материала имеется множество мелких проводящих слоев. Беда такой модели состоит в том, что в ней должна Ф и г. 10.3. Модель диглекпгрика; маленькое проводягние шарики, вставлгнние внугпрь идеального иголя"'ора.
иметься выделенная ось — перпендикуляр ко всем слоям, а у большинства диэлектриков такой оси нет. Эту трудность, однако, можно устранить, предположив, что все изолирующие материалы содержат маленькие проводящие шарики, отделенные одна от другой изолятором (фиг. 10.3). Появление диэлектрической проницаемости тогда объясняется действием зарядов, индуцнруемых в каждом шарике. В этом и состоит одна из самых первых физических моделей диэлектриков, предложенная для объяснения явления, которое наблюдал Фарадей. Точнее, предполагалось, что каждый атом материала есть идеальный проводник, изолированный от остальных атомов.
Диэлектрическая проницаемость х тогда должна была определяться долей того объема, который занимают проводящие шарики. Теперь, однако, пользуются другой моделью. ф 9. Вектор толяркзаз1ытз Р Продолжив наш анализ, мы обнаружим, что иден о проводящих и непроводящих участках не так уж существенна. Любой из маленьких шариков действует как диполь, момент которого создается внешним полем, Для понимания диэлектриков существенной является иден о том, что в материале возбувздается множество маленьких диполей. Почему онн возбуждаются— то ли потому, что в материале есть проводящие шарики, то ли по каким-либо другим причинам — абсолютно несущественно. Почему поле должно индуцировать дипольный момент у атома, хотя атом не является проводящим шарнком9 Мы обсудим этот вопрос гораздо подробнее в следующей главе, которая будет посвящена внутреннему механизму диэлектрических материалов.
А сейчас мы дадим лишь один пример, только чтобы проиллюстрировать возмоязный механизм. Атом имеет ядро с положительным зарядом, окруженное отрицательными электронами. В электрическом поле ядро притягивается в одну сторону, а электроны в другую. Орбиты или плотности вероятности электронов (или какая-либо другая картина, используемая в квантовой механике) несколько искажаются (фиг. 10.4); центр тяжести отрицательных зарядов сместится и больше не будет совпадать с полон~ительным зарядом ядра. Мы уже обсуждали такое распределение заряда.
Если взглянуть на него издалека, то подобная нейтральная конфигурация в первом приближении эквивалентна маленькому диползо. Если поле не чересчур велико, естественно считать величину индуцированного дзшольного момента пропорциональной полю. Иначе говоря, небольшое поле сместит заряды чуть-чуть, а более сильное поле раздвинет их дальше — пропорционально величн- 199 Ф и г. 1д,а, Распределение слектропов стока в влеаьприаеском поле сдвигаетаа относительно одра. распределение ллепюронав не поля, пока смещение не станет чересчур большим. До Е конца этой главы мы будем считать, что дипольный момент в точности пропорционален полю. Предположим теперь, что в каждом атоме заряды д разделены промежутком Ь, так что цб есть дипольный момент одного атома.
(Мы пииюм 6, потому что и уже использовано для обозначения расстояния мел ду пластинами.) Если в единице объема имеется Л" атомов, то дипольный момент в единице обьельа равен Аьдб. Этот дипольный момент в единице объема мы запишем в виде вектора Р. Нет необходимости подчеркивать, что он лежит в направлении всех отдельных дипольпых моментов, т. е. в направлении смещения зарядов Ь: (10,4) Вообще говоря, Р будет меняться в диэлектрике от точки к точке.
Но в каждой точке Р пропорционален электрическому полю Е. Константа пропорциональности, которая определяется тем, насколько легко можно сместить электрон, зависит от сорта атомов в материале. О том, что действительно определяет поведение этой константы и степень ее постоянства для больших полей, а также о том, чтб происходит внутри разных материалов, мы поговорим позже. А пока мы просто предположим, что существует какой-то механизм, благодаря которому индуцируется дипольный момент, пропорциональный электрическому полю. ф 3.
11оляринациоиимо наряды Посмотрим теперь, что дает эта модель для конденсатора с диэлектриком. Рассмотрим сначала лист материала, в котором на единицу объема приходится днпольный момент Р. Получится ли в результате в среднем какая-нибудь плотность зарядове Нет, если Р постоянен. Если полоягительные и отрицательные заряды, смещенные относительно друг друга, имеют одну и ту же среднюю плотность, то сам факт их смещения не приводит к появлению суммарного заряда внутри объема. С другой стороны, если бы Р в одном месте был больше, а в другом меньше, то это означало бы, что в некоторые области попало больше зарядов, чем оттуда вышло; тогда мы бы могли получить объемную плотность заряда.
В случае плоского конденсатора предположим, что Р— величина постоянная, поэтому достаточно будет только посмотреть, чтб происходит на поверхностях. На одной поверхности отрицательные заряды (электроны) эффективно выдвинулись па расстояние 6, а на другой поверхности они сдвинулись внутрь, оставив положительные заряды снаружи на эффективном расстоянии 6. Возникает, как показано на фнг. 10.5, поверхностная плотность зарядов, которую мы будем называть поляризаегионным зарядом. Зтот заряд можно подсчитать следующим образом. Если площадь пластинки равна А, то число электронов, которое окажется на поверхности, есть произведение А и Ле (числа электронов на единицу объема), а также смещения 6, которое, как мы предполагаем, направлено перпендикулярно к поверхности. Полный заряд получится умножением на заряд электрона де.
Чтобы найти поверхностную плотность поляризационяых заряцов, индуцируемую на поверхности, разделим на А. Величина поверхностной плотности зарядов равна о„а = Д'Д,б. йе и г. 10.д. Даолененреен е однородном ноле полотателоные,еарлды еле еталаео на рат лолнне д отное талано отрицоеоелоныл. 201 Е освос опоч «, (10.6) Заметьте, что поле Е, между металлической пластиной и поверхностью диэлектрика больше поля Е; оно соответствует только ос„«. Но нас здесь интересует поле внутри диэлектрика, которое занимает почти весь объем, если диэлектрик заполняет почти весь промежуток мея«ду пластинами. Используя формулу (10.5), можно написать о,.„„« — Р «о Из этого уравнения мы не можем определить электрическое поле, пока не узнаем, чему равно Р.
Здесь мы, однако, предпо- лагаем, что Р зависит от Е и, более того, пропорционально Е. Эта пропорциональность обычно записывается в виде Р = )(з, Е. (10.8) Постоянная у (греческое «хи») называется диэлектрической, восприимчивостью диэлектрика. Тогда выражение (10.7) приобретает вид (10.9) откуда мы получаем множитель 1!(1+2), показывающий, во сколько раз уменьшилось поле. 202 Но она равна как раз длине Р вектора поляризации Р [формула (10.4)[: (10.5) Поверхностная плотность зарядов равна поляризации внутри материала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
