Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(2. 44) (Знак минус написан потому, что тепло течет в сторону понижения температуры.) Уравнение (2.44) — это дифференциальное уравнение теплопроводности в массиве вещества. Вы видите, что зто чисто векторное уравнение. С обеих сторон стоят векторы (если к число). Это обобщение на произвольный случай частного соотношения (2.42), верного для прямоугольной плиты. Мы с вами долгины будем научиться выписывать все соотношения элементарной физики [наподобие (2.42)) в этих хитроумных векторных обоаначениях. Они полезны не только потому, что уравнения начинают от етого выглядеть проще. В ннх намного яснее проступает физическое содержание уравнений безотносительно к выбору системы координат.
й Т..В»норис иротевводные векпьориыю тьолей Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно составить несколько комбинаций: (а) р.(рТ), (б) р Х (рТ), (в) р(7 Ь), (г) т7 (рХ[г), (д) рХ(рХй). (2.45) Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может. Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и АХ(АТ)=(АХА) Т=О, потому что АХА всегда нуль. Значит, гоС(афтаб Т) = ух(р)Т= О. (2.46) Можно понять, как это получается, если расписать одну из компонент: [ЧХ(т»Т)Ь =Як(ЧТ)» — ч»(рТ)х= д ( д ) д ( д ), (2.47) что равно нулю [по уравнению (2.8) [. Это же верно и для других компонент.
Стало быть, т7Х(рТ)=О для любого распределения температур, да и для всякой скалярной функции. Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на векторное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю А ° (АХ В) =О, (2.48) потому что АХ В перпендикулярно к А и не имеет тем самым составляющих вдоль А. Сходная комбинация стоит в списке (2.45) под номером (г): Ч (ЧхЬ) =йч(гос'п)=0. (2.49) В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах, Теперь сформулируем без доказательства две теоремы.
Они очень интересны и весьма полезны для физиков. В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля А) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Зто легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что А будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор А с необходимостью обратится в нуль. Имеется интересная теорема, утверждаю1цая, что если ротор А есть нуль, то тогда А непремеппо окажется чьим-упо градиентом; су|цествует некоторое скалярное поле ф (пси), такое, что А =дгад ф Инымн словами, справедлива ткогкмл Если чхА=О, то имеется такое, что А = чф. (2.50) ткогкми Если Ч 0=0, то имеется С; такое, что 0 = чх С.
(2.51) Перебирая всевозможные сочетания двух операторов мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые нв равны нулю. Возьмем комбинацию 7. (Чт), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты чт= ч„т+ч т+ ч,т. Далее, 7' (7 т) = 7» (7 вт) + 7у (7у т) + Рв (Чв т) = дйТ дэТ дву — + +— дхв даз дР (2.52) Сходная теорема формулируется и для случая, когда дивергенция А есть нуль.
Иэ уравнения (2.49) видно, что дивергенция ротора упобой величины равна всегда нулю. Если вам случайно встретилось векторное поле В, для которого 41т 0— нуль, то вы имеете право заключить, что Р это ротор некоторого векторного поля С. что может, вообще говоря, быть любым числом. Это скалярное поле. Вы видите, что скобок можно не ставить, а вместо этого писать, не рискуя ошибиться: Ч (ЧТ) =Ч Чт =-(Ч Ч) т =Ч т. (2.58) Молсно рассматривать Ч' как новый оператор. Это скалярный оператор. Так как он в физике встречается часто, ему дали особое имя — лаиласиан, д, д а1апласиав = — Ча =.- т, + (2.54) дас дэ' Раз оператор лапласнана — оператор скалярный, он может действовать и на вектор.
Под этим мы подразумеваем, что он применяется к каждой компоненте вектора Ч~)г (Чай„, Ч~Й~, Ч~л ). Рассмотрим еще одну возможпостгя Чх(рхЬ) [(д) в списке (2.45)). Ротор от ротора молспо написать иначе, если испольэовать векторное равенство (2.6) Ах(ВхС) =-В(А С) — С(А В). (2.55) Заменим в атой формуле А и В оператором Ч и положим С=Ь, Получится Чх(Чхй)=Ч(Ч Ь) Ь(Ч.Ч)...777 Погодите-ка! Здесь что-то не так. Как и положено, первые два члена — векторы(операторы утолили свою жажду), но последний член совсем не такой. Он все еще оператор. Ошибка в том, что мы не были осторожны и не выдержали нужного порядка членов.
Вернувшись обратно, вы увидите, что (2.55) можно с равным успехом записать в виде Ах(ВхС) =В (А ° С) — (А В) С. (2.56) Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу подстановку в (2.56). Получится Ч х (Ч х Ь) = Ч (Ч. 'и) — (Ч Ч) )а. (2.57) С этой формулой уже все в порядке. Она действительно правильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. Последний член — это лапласиан, так что с равным успехом можно написать Ч Х (Ч х )а) = Ч (Ч ')г) (2.58) Из нашего списка (2с45) двойных Ч мы разобрали все комбинации, кроме (в), Ч(Ч Ь).
В ней есть смысл, зто — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое ма>нет случайно возникнуть в каком-нибудь рас- чете. Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу: (а) 7 (тТ) = т' Т= Скалярное поле, (б) трх (зрТ) = О, (в) т(т.Ь) = Векторное поле, (г) и (УхЬ)=0, (д) Ч х (Ч х Ь) = т7(т7 Ь) — рзЬ, (Е) (У 'Ъ) ' Ь = пз Ь = Векторное попе, Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый век- торный оператор рХр. Понимаете, почему? ~ 3. 11одвоюи Мы применили наши знания обычной векторной алгебры к алгебре оператора р.
Здесь нужно быть осторожным, иначе легко напутать. Нук'но упомянуть о двух подвохах (впрочем, в нашем курсе они не встретятся). Что можете вы сказать о следующем выражении, куда входят две скалярные функции ф и ср (фи): (рф) Х (Ч'р)' Вы можете подумать, что зто нуль, потому что оно похоже на (Аа) х (А б), а зто всегда равно нулю (векторное произведение двух одина- ковых векторов АХА всегда нуль). Но в нашем примере два оператора р отнюдь не одинаковы! Первый действует на одну функцию, ф, а второй — на другую, зр.
И хотя мы изображаем их одним и тем же значком р, они все же должны рассматрп- ваться как разные операторы. Направление рзр зависит от функ- ции ф, а направление рзр — от функции зр, так что они не ооя- заны быть параллельными: (рзр) Х(р~р) ~0 (в общем случае), К счастью, к таким выражениям мы прибегать не будем.
(По сказанное нами не меняет того факта, что 'ррхрф=О в любом скалярном поле: здесь обе р действуют на одну н ту же функцию.) Подвох номер два (он тоже в нашем курсе не встретится): правила, которые мы здесь наметили, выглядят просто н красиво только в прямоугольных координатах. Например, если мы хотим написать х-компоненту выражения 7зЬ, то сразу пишем (7'Ь)к=(,у з + л з + лзз ~Аль - -Ч Ьл. (2.60) Но это выражеиие не годшпся, если мы ищем радиальную компоненту 7»Ь. Она не равна»»б„. Дело в том, что в алгебре векторов все их направления полностью определены. А когда мы имеем дело с векторными полями, то их иаправления в разных местах различны. Когда мы пробуем описать векториое поле, например, в полярных координатах, то «радиальное»направление меняется от точки к точке.
И начав дифференцировать компоненты, вы запросто можете попасть в беду. Даже в посл«санном векторном поле радиальная компонента от точки к точке меняется. Обычно безопаснее и проще всего держаться прямоугольвых координат. Но стоит упомянуть и одно исключение: поскольку лапласиаи 7«есть скаляр, то л«ожпо писать его в любой системе координат (скаже»ц в полярных координатах). Но так как зто дифференциальный оператор, то применять его надо только к векторам с фиксированным направлением компонент, т. е.
к задапяым з прямоугольных коордииатах. Итак, расписывая паши векторвые дифференциальные уравнения покомпонентно, мы будем предварительно выражать все наши векторные поля через их х-, у-, г-компоненты. Хлева 3 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ й(.Векторные интегралы; криволинейный интеграл й) 1. Явктпорные интпегрилы; $2.Поток векторного нриволитгейный нптпегрил отп рф В предыдущей главе мы видели, что братьйЗ.Поток из куба; производные от поля можно по-разному. Одни теорема Гаусса приводят к векторным полям; другие — к скалярным. Хотя формул было выведено до- за.Теплопроводность; вольно много, все их можно подытожить одним Уравнение диффуправилом: операторы д/дх, д/др и д!дз суть три зии компоненты векторного оператора р. Сейчас нам хотелось бы лучше разобраться в значении эб Ц"Ркулнцин производных поля.
Тогда мы легче почувствуем векторного поля смысл векторных уравнений поля. Мы уже говорили о смысле операции градиен- зб Пнркулнцнн та (и на скаляр). Обратимся теперь к смыслу опе- по квадрату1 раций вычисления днвергенции(расходнмости)и ~~ор~ма С~~~~а ротора (вихря). Толкование этих величин лучше всего сделать на языке векторных интегралов и й7.Поля без роторов уравнений, свяаывающих этп интегралы, Но н поля без дивер. уравнения зти, к несчастью, нельзя вывести из генцни векторной алгебры при помощи каких-либо легких подстановок, так что вам придется 58 Итоги учить их как что-то новое. Одна из этих интегральных формул практически тривиальна, а другие две — нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
