Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Заметьте, что интеграл берется по всему замкнутому пути, а не от одной точки до другой, как зто делалось раньше. Кружочек на анаке интеграла должен нам напоминать об этом, Такой интеграл называется циркуляцией векторного поля по кривой Г. Название связано с тем, что первоначально так рас- считывали циркуляцию жидкости. Но название зто, как и поток, было распространено на любые поля, даже такие, в которых «циркулировать» нече»«у. Забавляясь той же игрой, как с потоком, мы можем показать, что циркуляция вдоль контура есть сумма циркуляций вдоль двух меньших контуров. Положим, что, соединив две точки (1) н (2) первоначальной кривой с помощью некоторой линии, мы разбили кривую на два контура Г, и Г» (фиг.
3.8). Контур Г, состоит из Ä— части первоначальной кривой слева от (т) и (2) и «соединения» Г,». Контур Г» состоит из остатка первоначальной кривой плюс то же соединение. Циркуляция вдоль Г, есть сумма интеграла вдоль Г„и вдоль Г,„. Точно так же и циркуляция вдоль Г» есть сумма двух частей, одной вдоль Г», другой — вдоль Г,». Интеграл вдоль Г,» для кривой Г, имеет знак, противоположный тому знаку, который он имел для кривой Г„потому что направления обхода противоположны (в обоих криволинейных интегралах направ. ления поворота нужно брать одни и те»ке). Повторяя прежние аргументы, мы можем убедиться, что сумма двух циркуляций даст как раз криволинейный интеграл вдоль первоначальной кривой Г. Интегралы по Г,» сократятся.
Циркуляция по одной части плюс циркуляция вдоль другой равняется циркуляции вдоль впешнейлинии. Этот процесс разрезания болыпого контура на меньшие можно продолжить. При сложении циркуляций по меньшим контурам смежные части будут сокращаться, так что сумма их сведется к циркуляции вдоль единственного первоначального контура. Теперь предпололеим, что первоначальный контур — это граница некоторой поверхности.
Существует бесконечное мнолсество поверхностей, границей которых служит все тот х«е первоначальный замкнутый контур. Наши результаты не зависят, однако, от выбора этих поверхностей. Сперва мы разобьем— наш первоначальный контур на множество малых контуров, 60 Ф и г. 8.9. Некоторая яоеврхность, ограниченная контуром Г.
Поверхность раеделена на мнотвстео маленьких уча тков, нохсднй нримерно в угорме квадрата. Циркуллцня ко Г ессль сумма циркуляций ао всем маленьким контурам. лежащих иа выбранной поверхвости (фиг. 3.9). Какой бы ии была форма поверхности, ио если малые коитуры сделать достаточко малыми, всегда можно будет считать каждый из иих замыкающим достаточно плоскую поверхность. Кроме того, каждый из иих можно сделать очень похожим иа квадрат. И циркуляцию вокруг большого контура Г можно найти, подсчитав циркуляции по всем квадратикам и сложив их. 3) 6.
Ща1гкуугяг1ая ггп ггвад1гату; ыгеалпевиа Сги окса Как вам найти циркуляцию по каждому квадратику? Все зависит от того, как квадрат ориентирован в пространстве. Если ориентация его подобрана удачно (к примеру, ок расположен в одной из координатных плоскостей), то' расчет сделать легко. Так как пока мы иеделаливикакихпредполоокеиий об ориентации осей координат, мы вправе выбрать их так, чтобы тот квадратик, иа котором мы сосредоточили свое виимание, оказался в плоскости ху (фиг.
З.гО). Если результат расчета будет выражен в векторной записи, то можно говорить, что ои ие зависит от специальной ориентации плоскости. Ф и г. 8.10. Вычисление циркуляции вектора С ко маленькому квадратику. 61 Мы хотим теперь найти циркуляцию поля С по нашему квадратику. Криволинейное интегрирование легко проделать, если квадратик сделать таким маленьким, чтобы вектор С на протяжении одной стороны квадрата менялся очень мало. (Это предположение выполняется тем лучше, чем меныпе квадратик, так что на самом деле речь идет о бесконечно малых квадратиках.) Отправившись от точки (х, у) — в левом нижнем углу фигуры,— мы обойдем весь квадрат в направлении, указанном стрелками.
Вдоль первой стороны, отмеченной цифрои 1, касательная составляющая равна С„(1), а расстояние равно Лх. Первая часть интеграла равна С„(1) Лх. Вдоль второй стороны получится С (2) Лу. Вдоль третьей мы получим — С,(3) Лх, а вдоль четвертой — С (4) Лу. Знаки минус стоят потому, что У нас интересует касательная составляющая в направлении обхода.
Весь криволинейный интеграл тогда равен фС Из=С„(1) Лх+С (2) Лу — С„(3)Лх — Ст(4) Лу. (3 31) Посмотрим теперь на первый и третий члены. В сумме оня дают (С„(1) — С„(3)1 Лх, (3.32) Вам может показаться, что в принятом приближении зта разность равна нулю. Но зто только в первом приближении. Мы можем быть более точными и учесть скорость изменения С„, тогда можно написать С„(3) =С„(1) -1- —" Лу.
(3.33) В следующем приближении пойдут члены с (Лу)', но ввиду того, что нас интересует в конечном счете только предел при Лу — О, то зтими членами можно пренебречь. Подставляя (3.33) в (3.32), мы получаем 1ГС„(1) — С„(3)1 Л у = — —. Л х Л у.
(3.34) Производную при нашей точности можно брать в точке (х, у). Подобным же образом оставшиеся два члена можно написать в виде дС„ С„(2) Лу — С (4) Лу= — ~ ЛхЛу, (3.35) и циркуляция по квадрату тогда равна (3.36) Интересно, что в скобках получилась как раа х-компонента ротора С. Множитель ЛхЛу — зто площадь нашего квадрата.
Так что циркуляцию (3.36) можно записать как ('р х С), Л а. Но з-компонента это на самом деле компонента, нормальная з2 Ф и в. о.11. Циркуляцея вектора С по Г раева аоверяноопному интегралу от нормальной компонента вектора уХ С. пхс к элементу поверхности. Поэтому циркуляцшо вокруг квад- ратика можно задать и в инвариантной векторной записи: фС оеЬ=(1ехС)„Ла=(рхС) КЛа. (3.37) В результате имеем: циркуляция произвольного вектора С по бесконечно малому квадрату равна произведению составляющей ротора С, нормальной к поверхности, на площадь квадрата. Циркуляция по произвольному контуру Г легко теперь может быть увязана с ротором векторного поля. Натянем на контур любую подходящую поверхность Я (как на фиг.
3.11) и сложим между собой циркуляции по всем бесконечно малым квадратикам.на этой поверхности. Сумма может быть записана в виде интеграла. В итоге получится очень полезная теорема, называемая теоремой Стокса (по имени физика Стокса). тковкмА стОксА фС оез= ) (рхС)„о)а, (3.38) где Я вЂ” произвольная поверхность, ограниченная контуром Г. Теперь мы должны ввести соглашение о знаках. На приведенной ранее фиг. 3.10 ось г показывает на вас, если система координат «обычная», т. е.
«правая». Когда в криволинейном интеграле мы брали «положительное» направление обхода, то циркуляция получилась равной г-компоненте вектора 1е Х С. Обойди мы контур в другую сторону, мы бы получили противоположный знак. Как вообще узнавать, какое направление надо выбирать для положительного направления «нормальной» компоненты вектора т ХС? «Положительную» нормаль надо всегда связывать с направлением так, как это сделано было на фиг. 3.10. Общий случай показан на фиг.
3.11. 63 Для запоминания годится «правило правой руки». Если вы расположите пальцы вашей правой руки вдоль контура Г, чтобы кончики пальцев показывали положительное направление, обхода ((з, то ваш большой палец укажет направление положительной нормали к поверхности Я. й е. 1лоля без рот)»оров ы поля без диве[огенцг«й Теперь перейдем к некоторым следствиям из наших новых теорем. Возьмем сперва случай вектора, у которого ротор (или вихрь) повсюду равен нулю.
Тогда, согласно теореме Стокса, циркуляция по любому контуру — нуль. Если мы теперь возьмем две точки (1) и (2) на замкнутой кривой (фиг. 3.12), то криволинейный интеграл от касательной составляющей от (1) до (2) не должен зависеть от того, какой иа двух возмол(ных путей мы выбрали. Можно заключить, что интеграл от (1) до (2) моя(ет зависеть только от расположения этих точек, т. е.
что он есть функция только от координат точек. Той же логикой мы пользовались в вып. 1, гл. 14, когда доказывали, что если интеграл от некоторой величины по произвольному аамкнутому контуру всегда равен нулю, то этот интеграл может быть представлен в виде разности функций от координат двух концов.
Это позволило нам изобрести понятие потенциала. Мы доказали далее, что векторное поле является градиентом атой потенциальной функции [см. зып. 1, уравнение (14.13)]. Отсюда следует, что любое векторное поле, у которого ротор равен нулю, может быть представлено в виде градиента некоторой скалярной функции, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
