Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Зту скалярную функцию мы называем электростатическим потенгбиалом в произвольной точке. Электростатический нотенг)иал р фЬР)= — ~Е йе. (4.22) Ре Часто очень удобно брать отправную точку на бесконечности. Тогда потенциал ф одиночного заряда в начале координат, взятый в произвольной точке (х, у, з), равен (см. уравнение (4.20)! ер (х, у, з) = „~ (4.23) работа переноса единичного заряда от а до Ь от пути не зависит: Электрическое поле нескольких зарядов можно записать в виде суммы электрических полей от первого заряда, от второго, от третьего и т.
д. Интегрируя сумму для того, чтобы определить потенциал, мы придем к сумме интегралов. Каждый из них — это потенциал соответствующего заряда. Значит, потенциал ~р множества аарядов есть сумма потенциалов каждого из зарядов по отдельности. Таким образом, и для потенциалов существует принцип наложения. Пользуясь такими же аргументами, кан и тогда, когда мы искали электрическое поле группы зарядов или распределения зарядов, мы можем получить окончательные формулы для потенциала ~р в точке, обозначенной как (1): т(1) =.Х (4.24) или ( ) 1 ~р(2)лк~ (4.25) Не забывайте, что потенциал ~р имеет физический смысл: это потенциальная энергия, которую имел бы единичный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из некоторой отправной точки. Но работа против действия силы на том же отрезке равна ЛИ1 = — ~ Е дз = -- Е„йх.
Мы видим, что Е дй к= (4.26) Равным образом, Е = — дд~/ду, Е,= — дпдз; все это в обозна- У чениях векторного анализа можно подытожить так: (4.27) Е = — ру. С какой стати нас заинтересовал потенциал ~? Силы, действующие на ааряды, даются величиной Š— электрическим полем. Вся соль в том, что Е из ~р очень легко получить, не труднее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одинаковымн у и з, но с разными х: у одной х, у другой х+Лх; поинтересуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести единичный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — горизонтальная линия от х до х+Лх.
Работа равна равности потенциалов в двух точках Л)р=~р(х+Лх, у, г) — <р(х, р, з)= — Лх. дв Это дифференциальная форма уравнения (4.22), Любую задачу, в которой заряды заданы, можно решить, вычислив по (4.24) или (4.25) потенциал и рассчитав по (4.27) поле. Уравнение (4.27) согласуется также с тем, чтб получается в векторном анализе: с тем, что для любого скалярного поля ь ) асср лэ = ср (о) — ср (а).
(4.28) Согласно уравнению (4.25), скалярный потенциал ~р представляется трехмерным интегралом, подобным тому, который мы писали для Е. Есть ли какая выгода в том, что вместо Е вычисляется ~р? Да. Для вычисления ~р нужно взять один интеграл, а для вычисления Š— три (ведь это вектор). Кроме того, обычно 1/г интегрировать легче, чем х~'г'. Во многих практических случаях оказывается, что для получения электрического поля легче сперва подсчитать ~, а после взять градиент, чем вычислять три интеграла для Е.
Это просто вопрос удобства. Но потенциал ~р имеет и глубокий физический смысл. Мы показали, что Е закона Кулона получается нз Е= — афтаб <р, где ~р дается уравнением (4.22). Но если Š— это градиент скалярного поля, то, как известно из векторного исчисления, ротор Е должен обратиться в нуль: т ХЕ =О. (4.29) Но это и есть наше второе основное уравнение электростатики— уравнение (4.6). Таким образом, мы показали, что аакон Кулона дает поле Е, удовлетворяющее атому условию.
Так что до сих пор все в порядке. На самом деле то, что УХЕ равно нулю, было доказано еще до того, как мы определили потенциал. Мы показали, что работа обхода по замкнутому пути равна нулю, т. е. фЕ де=О по любому пути. Мы видели в гл. 3, что в таком поле рХЕ должно быть всюду равно нулю.
Электрическое поле электро- статики — это поле без роторов. Вы можете потренироваться в векторном исчислении, доказав равенство нулю вектора УХЕ другим способом, т. е. вычислив компоненты вектора рХЕ для поля точечного заряда по формулам (4.11). Если получится нуль, то принцип наложения обеспечит нам обращение р ХЕ в нуль для любого распределения зарядов. Следует подчеркнуть важный фант. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал. Если вы вдумаетесь в зто, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, 78 сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична.
То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1!г», не имело никакого значения, при любой зависимости от г получилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е вытекают на самом деле только из симметрии и направленности злектростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (ь29) может содержать в себе только часть законов злектричества. й 5. 11от»»ом»»оля Е Теперь мы хотим вывести уравнение, которое непосредственно и в лоб учитывает тот фант, что закон силы — «то аакон обратных квадратов. Кое-кому кажется «вполне естественным», что поле меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, потому что «пменно так, мол, все распространяется».
Возьмите световой источник, нз которого льется поток света; количество света, проходящее через основание конуса с вершиной в источнике, одно и то же независимо от того, насколько основание удалено от вершины. Это с необходимостью следует кз сохранения световой знергии. Количество света на единицу площади — интенсивность — должно быть обратно пропорционально площади, вырезанной конусом, т. е. квадрату расстояния от источника.
Ясно, что по той же причине и алектрическое поле должно изменяться обратно квадрату расстояния! Но здесь ведь нет ничего похожего на «ту же причину». Ведь никто не может сказать, что электрическое поле есть мера чего-то такого, что похоже на свет и что поэтому должно сохраняться. Если би у нас была такая «модель» электрического поля, в которой вектор поля представлял бы направление и скорость (ну, например, был бы током) каких-то вылетающих маленьких «дробинок», и если бы эта модель требовала, чтобы число дробинок сохранялось и нн одна не могла пропасть после вылета иа заряда, вот тогда мы могли бы говорить, что «чувствуем» неизбежность.
закона обратных квадратов. С другой стороны, непременно должен был бы существовать математический способ вырал«ения этой физической идеи. Если бы электрическое поле было подобно сохраняющимся дробинкам, то оно менялось бы обратно пропорционально квадрату расстояния и мы могли бы описать такое поведение некоторым уравнением, т. е. чисто математическим путем. Если мы не утверждаем, что злектрическое поле сделано из дробинок, а понимаем, что зто просто модель, помогающая нам прийти к правильной математической теории, то ничего плохого в таком способе рассуждений нет. Предполол«им, что мы на мгновение представили себе электрическое поле в виде потока чего-то сохраняющегося и текущего 79 иь Ф и г..!.о.
Поток Е ие аоверкноети о' равен нулю. Ъееееойееред ) Е„е)а=0 (4.30) на этой поверхности. Теперь покажем, что две «торцевые».поверхности могут быть беэ ущерба для величины интеграла (4.30) перекошены относительно радиуса. Хотя это верно всегда, но для наших целей 60 повсюду, за исключением того места, где расположен сам варяд (должен же этот поток откуда-то начинаться!). Представим что-то (что именно — нева>кис), вытекающее из заряда в окружающее пространство. Если бы Е было вектором такого потока (как Ь вЂ” вектор теплового потока), то вблизи от точечного источника оно обладало бы зависимостью Пгв.
Теперь мы клепаем испольэовать эту модель для того, чтобы глубже сформулировать закон обратных квадратов, а не просто говорить об «обратных'квадратахо. (Вам может показаться удивительным, почему вместо того, чтобы сходу, прямо и открыто сформулировать столь простой закон, мы хотим трусливо протащить то же самое, но с заднего хода. Немного терпения! Это окажется небесполезным.) Спросим себя: чему равно «вытекание» Е из произвольной замкнутой поверхности в окрестности точечного зарядами Для начала возьмем простенькую поверхность — такую, как показано на фиг. 4.5. Если поле Е похоя«е на поток, то суммарное вытекание иэ этого ящика доля«но быть равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
