Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Составите ли вы суперпозицию двух решений для отдельных плоскостей или построите гауссов ящик, охватывающий обе плоскости, в обоих случаях легко видеть, что поле снаружи плоскостей равно нулю (фиг. 5.7, а), Но, заключив в ящик только одну или только другую поверхность, как показано на фиг. 5.7, б или в, мы легко обнаружим, что поле Ф и г. д.У. Поле между двумя ва- рлженними листами равно а/ео. а Еио Е (между плоскостями) = —, и "г Е (снаружи) О. (5.5) (5.6) ф е. Однородно заряженный тиару заряженная сфера В гл. 4 мы уже применяли закон Гаусса, когда должны были найти поле вне однородно заряженной шаровой области. Гот же метод может дать нам и поле в точках внунгри шара.
Этот расчет, например, монгет быть использован для получения хорошего приближения к полю внутри атомного ядра. Вопреки тому, что протоны в ядре взаимно отталкиваютсгп опн из-за сильного ядерного притяжения распределены по всему ядру почти одноро)(но. Пусть у нас имеется сфера радиуса В, однородно наполненная зарядами. Пусть заряд в единице объема равен р. Снова, используя соображения симметрии, мояшо предположить, что поле радиально и в точках, равноудаленных от центра, по величине одинаково. Чтоб определить поле в точке на расстояй8 между плоскостями доллсно быть вдвое больше поля отдельной плоскости.
Итог таков: йь и е, б,д. Закон Гаусса можно применить для определения коля внутри однородно зараженного тара. нии г от центра, представим сферическую гауссову поверхность радиуса г (г ='Л), как показано на фиг. 5.8. Поток из нее равен 4ягЯЕ. Заряд внутри нее равен внутреннему объему, умноженному на р, т. е. е — яг р. 3 Применяя закон Гаусса, получаем величину поля Е = — "" (г(Е). (5.7) Вы видите, что прн г=Е эта формула дает правильный результат.
Электрическое поле пропорционально расстоянию от центра и направлено по радиусу наружу. Аргументы, которые мы только что приводили для однородно заряженного шара, можно применить и к зарянеенной сфере. Опять предполагая радиальность и сферическую симметрию поля, из закона Гаусса немедленно получаем,что поле вне сферы во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферы — нуль (если мы проведем гауссозу поверхность внутри сферы, то внутри нее зарядов не окажется). Ф сз.
Точен лн яеекон Кулонгеу Если мы вглядимся чуть пристальнее в то, как поле внутри сферы оказывается нулевым, то лучше поймем, почему закон Гаусса обязан своим происхождением закону Кулона, т. е. точной зависимости силы от второй степени расстояния. Возьмем Ф и е. б.д. Во валкой точке Р а>утри варлпеенной еферичеекой оболочки поле равно нулин произвольную точку Р внутри однородно заряженной сферической поверхности. Представим узкий конус, который начинается з точке Р и тянется до поверхности сферы, вырезая там небольшой сферический участок Ла> (фиг. 5.9).
В точности симметричный конус по другую сторону вершины вырежет на поверхности площадь Дав. Если расстояния от Р до этих двух элементов площади равны г, и г, то площади находятся в отношении Дав е' Да, Г', (Вы можете доказать зто для любой точки шара с помощью геометрии.)- Если поверхность сферы заряжена равномерно, то заряд Ло на каждом элементе поверхности пропорционален его площади Да, Дч> Да> Тогда закон Кулона утверждает, что величины полей, создаваемых в Р этими двумя элементами поверхности, находятся в отношении К д~~г~ ч>/е~ Поля в точности взаимно уничтожаются. Таким способом можно разбить на пары всю сферу.
Значит, все поле в точке Р равно нулю. Но вы видите, что этого не было бы, окажись показатель степени г в законе Кулона не равным в точности двойке. Справедливость закопа Гаусса зависит от закона обратных квадратов Кулона. Воли бы закон силы ие подчинялся в точности зависимости 1/г', то поле внутри однородно заряженной сферы не было бы в точности равно нулю. Например, если бы поле менялось быстрее (скажем, как 1/г'), то часть сферы, которая ближе к точке Р, создала бы в точке Р более сильное поле, чем дальняя часть. Получилось бы (для положительного поверхностного заряда) радиальное поле, паправлекное к центру. Этп заключения подсказывают нам элегантный путь проверки точности выполнения закона обратных квадратов. Для этого нужно только узнать, в точности ли поле внутри однородно заряженной сферы равно нулю.
Наше счастье, что такой способ существует. Ведь обычно трудно измерить физическую величину с высокой точностью. Добиться однопроцентпой точности было бы нетрудно, по как быть, если нам понадобится измерить закон Кулона с точностью, скажем, до одной миллиардной? Можно почти ручаться, что измерить с такой точностью силу, действующую между двумя заряженными телами, не способны даже лучшие приборы. Но если только нужно убедиться в том, что поле внутри сферы меньше некоторого значения, то можно провести довольио точное измерение справедливости закона Гаусса и тем самым проверить обратную квадратичную зависимость в законе Кулона.
В сущности происходит сравкение закона силы с идеальным законом обратных квадратов. Именпо такие сраввения одинаковых, или почти одинаковых, вещей обычно становятся основой самых точных фивических измерений. Как же наблюдать поле впутри заряженной сферы? Один из способов — это попытаться зарядить тело, дотронувшись им до внутренней части сферического проводника. Вы знаете, что если коснуться металлическим шариком заряженного тела, затем электрометра, то приоор зарядится и стрелка отклонится от нуля (фиг.
5.10, а). Шар собирает на себя заряды, потому что снаружи зараз елкой сферы имеются электрические поля, заставляющие заряды переходить на шарик (или с него). А если вы проделаете тот же опыт, коспувшись шариком ввутренности ааряженной сферы, то увидите, что к электрометру заряд ие подводится. Из такого опыта сразу видно, что внутреннее поле составляет в лучшем случае несколько процентов от внешнего и что аакон Гаусса верен, по крайней мере, приближенно. Кажется, первым, заметившим, что поле внутри заряжеииой сферы равно нулю, был Бенджамен Франклин. Это показалось ему странным.
Когда он сообщил об этом Пристли, тот заподозрил, что это связано с законом обратиых квадратов, потому что было известно, что сферический слой вещества не создает внутри себя поля тяготения. Но Кулон измерил обратпу1р квадратичную зависимость только через 18 лет, а закоя Гаусса 1й Ф и г. д.10. Внутри еаякнутой проводящей оболочки влектпричеекое поле равно Нрлкв.
появился на свет и того позже. б Закон Гаусса был проверен очень тщательно; для этого электрометр помещали внутрь большой сферы и наблюдали, отклонится ли стрелка, когда сферу зарядят до высокого напряжения. результат всегда получался отрицательным. Если знать геометрию аппарата и чувствительность прибора, можно рассчитать наименьшее поле, которое еще доступно наблюдению. Из этого числа мояоно установить верхний предел отклонения показателя степени от двух. Если записать зависимость электростатической силы от расстояния в виде г к+', то можно определить верхнюю границу с. Этим способом Максвелл узнал, что е меньше 1/10000.
Опыт был повторен и усовершенствован в 1936 г. Плимптоном и Лафтоном. Они обнаружили, что кулонов показатель отличается от 2 меньше чем на одну миллиардную. Зто подводит нас к интересному вопросу: как точно выполняется закон Кулона в различных обстоятельствах? В только что описанных опытах измерялась зависимость ноля от расстояния на расстояниях порядка десятков сантиметров. А что можно сказать о внутриатомных расстояниях, скажем внутри атома водорода, где, как мы считаем, электрон притягивается к ядру по тому же закону обратных квадратове Конечно, для описания механической части поведения электрона нужна квантовая механика, по сила здесь — по-преялнему привычная электростатическая сила.
В постановке задачи об атоме водорода известна потенциальная энергия электрона как функция расстояния от ядра, и тогда закон Кулона приводит к потенциалу, обратно пропорциональному первой степени расстояния, С какой точностью этот показатель известен па таких малых расстоянияхе В итоге очень тщательных измерений относительного расположения уровней энергии водорода, проведенных в 1947 г. ваз Лэмбом и Ризерфордом, нам теперь известно, что и на расстояниях порядка атомных, т. е. порядка ангстрема (10 ' см), пока- ватель выдерживается с точностью дб одной миллиардной.
Такая точность измерений Лэмба и Ризерфорда оказалась возможной опнть благодаря одной физической «случайности». Среди состояний атома водорода есть два таких, у которых энергии должны быть почти одинаковыми лишь в том случае, если потенциал меняется точно по закону 1/г. Измерялась очень малая разкш/а в энергиях по частоте Й фотонов, испускаемых или поглощаемых при переходах из одного состояния в другое (согласно формуле АЕ=Ьы). Расчеты показали, что ЬЕ заметно отличалась бы от наблюдавшегося значония, если бы показатель степени в законе силы 1/г' отличался бы от 2 только на одну миллиардную.
А верен ли этот закон и на еще меньших расстояниях? В ядерной физике измерения показали, что на типично ядерных расстояниях (порядка 10 " см) существуют электростатические силы и что меннются они все еще как обратные квадраты расстояний. Одно из свидетельств в пользу этого мы разберем в следующих главах. Мы уверены, таким образом, что закон Кулона еще выполняется и на расстояниях около 10 '" см. А что можно сказать о расстоянии 10 '1 см? Этот интервал исследовали, бомбардируя протоны очень энергичнымн электронами и следя за тем, как они рассеиваются. Сегодняшние данные указывают на то, что на этих расстояниях закон терпит крах.
Электрические силы на расстояниях меньше 10 " см оказываются чуть ли не в 10 раз слабее. Этому есть два обьяснения. То ли закон Кулона на таких маленьких расстояниях не действует, то ли эти тела (электроны и протоны) не являются точечными зарядами. Возможно, что один из них как-то размазан (а моясет, и оба). Большинство физиков предпочитают думать, что размазан заряд протона. Мы знаем, что протоны сильно взаимодействуют с мезонами. Это означает, что протон время от времени существует в виде нейтрона с я~-мезоном вокруг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
