Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Но тогда она уже не будет «пустой». Мы показали, что если полость целиком окружена проводником, то никакое статическое распределение зарядов снаружи никогда не создаст поля внутри. Это объясняет принцип «защиты» электрического оборудования, которое помещается в металлическую коробку. К тем же рассуждениям можно прибегнуть, если нужно показать, что никакое статическое распределение зарядов внутри замкнутого сплошного проводника не может создать поля вне его. Защита действует в обе' стороны! В злектростатике (но не в изменяющихся полях) поля по обе стороны сплошной проводящей оболочки полностью не зависят одно от другого.
Теперь вы понимаете, почему удалось проверить закон Кулона с такой точностью. Форма полой оболочки не имела аначения. Она вовсе не должна была быть круглой, она могла быть и кубом! Если закон Гаусса точен, то поле внутри всегда равно нулю. Вы понимаете теперь, почему вполне безопасно сидеть внутри высоковольтного генератора Ван-де-Граафа в миллион вольт, не боясь, что вас ударит ток, — Вас охраняет сам Гаусс! Г.о о во 6 $1.Уравнения электростатического потенциала р2.Электрический диполь ф Х. Уравнения алентросонатнгоаеского нооненцнала $3.
Замечания о векторных уравнениях В этой главе мы расскажем о поведении электрического поля в тех или иных обстоятельствах. Вы познакомитесь с тем, как ведет себя электрическое поле, и с Некоторыми математическими методами, используемыми для определения поля. Отметим для начала, что математически вся задача состоит в решении двух уравнений— максвелловских уравнений электростатики: Ч Е=Е (6.1) го ЧхЕ=О. (6.2) Фактически оба эти уравнения можно объединить в одно. Из второго уравнения сразу же следует, что поле может считаться градиентом некоего скаляра (см. гл. 3, т 7): ЧФ. (6.3) ь4.Дппольпый потенциал как градиент б5.Дппольное приближение для произвольного распределения фб.Поля заряженных .проводников й/.
Метод иэображений д8.Точечный заряд у проводящей плоскости ((9.Точечнгай заряд у проводящей сферы Электрическое поле каждого частною вида можно, если куя<но, полностью описать с помощью потенциала поля ф. Дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять ф, получится, если (6.3) подставить в (6.1): Ч т= Р оо (6.6) ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ Ч'Чод = — — ° Р го Расходимость градиента ор — это то же, что действующее на <р: о доф доф доф Ч'ЧЧ'= Чоф=д о +д — „о +д,, (6 б) так что уравнение (6.4) мы запишем в виде 410.
Конденсаторы; параллельные пластины б! 1. Пробой при высоком напряженки $12.Ионный микроскоп ХХовтаорноньггл. 23 (вып. 2) «Резонанс» Оператор уе называется лапласианом, а уравнение (6.6)— уравнением Пуассона. Весь предмет электростатики с математической точки зрения ваключается просто в изучении решений одного-единственного уравнения (6.6).
т(ак только из (6,6) вы найдете у, поле Е немедленно получается иэ (6.3). Обратимся сперва к особому классу задач, в которых р задано как функция х, у, з. Такая задача почти тривиальна, потому что решать уравнение, (6.6) в общем случае мы уже умеем. Мы ведь показали, что если р в канздой точке известно, то потенциал в точке (1) равен ц>(1)' ~г(з) ~У. (6.7) где р(2) — плотность заряда, Л'з — элемент объема в точке (2), а г„— расстояние между точками (1) и (2). Решение дифференциального уравнения (6.6) свелось к интеерйрованию по пространству. Решение (6;7) нужно отметить особо, потому что в физике часто встречаются ситуации, приводящие к уравнениям, которые выглядят так: у' (от чего-то) =(чему-то еще). и (6.7) является прототипом решения любой такой задачи.
Проблема расчета электростатического полн, таким образом, решается совершенно честно, если только положения всех зарядов известны. Давайте посмотрим на нескольких примерах, как действует эта формула. ф й. Электрчеееепсий дтеполь Сначала возьмем два точечных заряда +д и — д, разделеннмх промежутком И.
Проведем ось з через заряды, а начало координат поместим посредине между ними (фиг. 6.1). Тогда по формуле (4.24) потенциал системы двух зарядов дается выражением я)(х, у, 3)= 4 Ч вЂ” Ч 6.8 ьзее е ' / л 3 1. (.) (х — — ) +ее+уе ~/ (е+ — ) +зе+уе Мы не собираемся выписывать формулу для электрического поля, но всегда при желании можем зто сделать, раз мы знаем потенциал. Так что задача двух зарядов решена. Существует важный частный случай этой задачи, когда заряды расположены близко друг к другу, иными словами, когда нас интересует поле на таких расстояниях от зарядов, что по сравнению с нвми промежуток между зарядами кажется незначительным.
Такую тесную пару зарядов называют диполен. Диполи встречаются очень часто. $09 Ф а е. д.1, Дипольс деа еаряда (Г у я) +о и — о, удаленные друг опе друга на рассепомоае Ы. «Дипольную» антенну можно часто приближенно рассматривать как два заряда, разделенные небольтпим расстоянием (если нас не интересует поле у самой антенны). (Обычно интерес представляют антенны с двилсуи1илеисл зарядами; уравнения статики тогда неприменимы, но для некоторых целей они все лсе представляют весьма сносное приближение.) Важнее, пох<алуй, диполи атомные. Если в каком-то веществе есть электрическое поле, то электроны и протоны испытывают влияние противоположных сил и смещаются друг относительно друга.
Вы помните, что в проводнике некоторые электроны сдвигаются к поверхности, так что внутреннее поле обращается в нуль. В изоляторе электроны не могут сильно разойтись; им мешает притяжение ядра. И все же они как-то смещаются. Так что хотя атом (нли молекула) и остается нейтральным, во внешнем электрическом поле все же возникает еле заметное разделение пололгительных и отрицательных зарядов, и атом становится микроскопическим диполем.
Если нам нужно знать поле этих атомных диполей поблизости от предмета обычных размеров, то мы имеем дело с расстояниями, болыпимн по сравнению с промежутками между зарядами. В некоторых молекулах из-за самой их формы заряды несколько разделены даже в отсутствие внешних полей. В молекуле воды, например, имеется отрицательный заряд на атоме кислорода и положительный заряд на обоих атомах водорода, которые расположены несимметрично (фиг. 6.2).
Хоть заряд всей молекулы равен нулю, все же имеется распределение заряда с небольшим преобладанием отрицательного заряда на одной стороне и положительного на другой. Это расположение, конечно, не такое простое, как у двух точечных зарядов, но если смотреть на него издалека, оно действует как диполь.
Как мы увидим чуть позже, поле на больших расстояниях нечувствительно к мелким деталям расположения. иэ еа ы г. 6.2. Молекула воды НеО. Взглянем теперь на поле двух зарядов противоположных знаков, расстояние Ы между которыми мало. Если ег станет нулем, два заряда сойдутся в одном месте, два потенциала сократятся, поле исчезнет. Но если они не совсем слились, то можно получить хорошее приближение к потенциалу, разложив слагаемые в (6.8) в ряд по степеням малой величины гг (по формуле бинома Ньютона). Оставляя только первые степени ег, мы напи- шем Удобно обозначить Тогда х'+ уз+ гг = га. (г — — ) +х'+у' гз — Ы=гг(1 — —;) Подобно этому, и )Г(г+ — ) +хг+уг Вычитая эти два члена, имеем для потенциала 1 х еу(х, у, г)= — — гФ.
(6,9) Потенциал, а значит, и поле, являющееся его производной, 1Н Разлагая в биномиальный ряд (1 — (Ы/гг)]-' и отбрасывая члены с высшими степенями гг, мы получаем Ф ы о, 6.8. Векторные обоанокеяыя дяя дыяояя. пропорциональны дд — произведению заряда на расстояниямежду зарядами.
Это произведение называется дипольним яоояоентаге пары зарядов, и мы обозначим его символом р (не путайте с импульсом!): (6.10) Уравнение (6.9) можно также записать в виде <р(х, у, г)= —,' (6 11) 'ы>оо так как г/г=созО, где Π— угол между осью диполя и радиус- вектором к точке (х, у, «) (см. фиг. 6.1). Потенциал диполя убывает как 1/г' при фиксированном направлении (а у точечного заряда он убывает как 1/г).
Электрическое поле Е диполя поэтому убывает как 1/го. Мы ма>кем записать нашу формулу и в векторном виде, если определим р, как вектор, абсолютная величина которого равна р, а направление выбрано вдоль оси диполя от д к д„. Тогда сов О=р е„, (6.12) где е,— единичный радиальный вектор (фиг. 6.3). Кроме того, точку (х, у, «) молоко обозначить буквой г. Итак, Дипольный потенциал:, ц(г)= — —,"= — —. 1 ре„1 рг (6.13) лпяо к' бакр ео Эта формула справедлива для диполя произвольной ориентации и положения, если г — вектор, направленный от диполя к интересующей нас точке. Если нас интересует электрическое поле диполя, то нужно взять градиент ц>.
Например, г-компонента поля есть — д>р/дг. Для диполя, ориентированного вдоль оси г, мы можем испольэовать (6.9): И2 Ф а г, В,в. Электрическое коле диколл. ИЛИ р Зсоз'0 — 1 4лго гз (6.14) А х- и у-компоненты равны р Згх 4лгз ез р Ззр Е У 4аг~ «з Из этих двух компонент можно составить компоненту, перпендикулярную к оси г, которая называется поперечной компонентой Ел.' р Зз г Ел=-з.л Ез ( Е = — —,Р х'+Уг вли р 3 соз 0 о|п 0 (6.15) х еко ез Поперечная компонента Еь лежит в плоскости ху и направлена прямо от оси днполя. Полное поле, конечно, равно Е= — 3е Ег+Ез . Поле диполя меняется обратно пропорционально кубу расстояния от диполя. На оси при 0 =0 оно вдвое сильнее, чем при 9=90'. При обоих этих углах злевтрическое поле обладает только г-компонентой.
Знаки ее при г=О и при г=.90' противоположны (фиг. 6.4). 11З 9 З. Залгечання о вентяорныгс уравнетняод Здесь, пожалуй, уместно сделать общее замечание, касающееся векторного анализа. Хотя его теоремы и доказаны в общем виде, однако, приступая к расчетам и анализу какой-либо задачи, следует с толком выбирать направление осей координат. Вспомните, что когда мы вычисляли потенциал диполя, то ось выбиралась не как попало, а мы направили ее по оси диполя.
Это намного облегчило нашу задачу. Потом уже уравнения были переписаны в векторной форме и сразу перестали зависеть от выбора системы координат. Теперь стало возможным выбирать какую угодно систему координат, зная, что формула отныне всегда будет справедлива. Вообще нет смысла вводить произвольную систему координат, где оси направлены под каким-то сложным углом, осли можно в данной задаче выбрать систему получше, а уже в самом конце выразить результат в виде векторного уравнения. Так что старайтесь использовать то преимущество векторных уравнений, что они не зависят ни от какой системы координат. С другой стороны, если вы хотите подсчитать дивергенцию какого-то вектора, то вместо того, чтобы смотреть на р.Е в вспоминать, что это такое, лучше расписать это в виде ае„ак, аь, — "+ — ~+ — ' Эз ду дз Если вы затем вычислите по отдельности х-, у- и з-компоненты электрического поля и продифференцируете, то получите искомую днвергенцию.
Часто при этом испытывают такое чувство, как будто произошло что-то некрасивое — словно, расписав вектор покомпонентно, потерпели неудачу; все время каягется, будто все действия надо проделывать только с векторными операторами р. Но часто от них нет никакого проку. Когда вы впервые сталкиваетесь с какой-то новой задачей, то, как правило, полезно расписать все в компонентах, чтобы удостовериться, что вы правильно представляете себе, чтб происходит. Нет ничего некрасивого в том, что в уравнения подставляются числа, и нет ничего неприличного в том, чтобы подставлять производные на место причудливых символов. Наоборот, в этом-то н проявляется ваша мудрость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
