Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Конечно, в специальном журнале статья будет выглядеть гораздо приятнее (да и понятнее), если все записано в векторном виде. Но там надо экономить еще и место. ф А Днтольньгй потпенз)иал как гууадментп Мы хотели бы теперь отметить любопытное свойство формулы диполя (6.13). Потенциал можно записать также в виде р= — ~, р1( —,). (6.16] Действительно, вычислив градиент 1/г, вы получите р( — „, = —,э= — —,.у > и (6 16) совпадет с (6.13). Ф и г.
д.д, Потенциал е точке Р от точечного варяда, поднятого на Дя над началом координат, равен потенциалу в пгочке Р (на Дг ниже Р) того же гаряда, но помещенного в начале координат. Как мы догадались об этом? Мы просто вспомнили, что е,lга уже появлялось в формуле для ноля точечного заряда и что поле — это градиент потенциала, изменяющегося как 1/г.
Существует н физическая причина того, что дипольный потенциал может быть записан в форме (6.16). Пусть в начало координат помещен точечный заряд д. Потенциал в точке Р(к, р, з) равен Фг =,. (Множитель 1/4яео опустим, а в конце мы его можем снова вставить.) Если заряд +д мы сдвинем на расстояние Ь», то потенциал в точке Р чуть изменится, скажем на Ьгр+. На сколько же именно) Как раз на столько, на сколько изменился бм потенциал, если б ааряд оставили в покое, а Р сместили на столько же вниз (фиг. 6.5).
Иначе говоря, Лгр = — — Лз грг дг где Лз означает то же, что н г((2. Беря фа=а/г, мы получаем для потенциала положительного заряда (6.17) Повторяя те же рассуждения с потенциалом отрицательного заряда, можно написать гр-= + (6 18) А общий потенциал — просто сумма (6.17) и (6.18): гр=% +гр = — д ( — ) г(= — д Ю дг(. (6.19) 115 При других расположениях диполя смещение положительйого заряда мох<но изобразить вектором Дг+, а уравнение (6.17) представить в виде Д(р+ — — — агро.
Дг„, где Дг впоследствии надо будет заменить на д/2. Завершая доказательство так, как это было сделано выше, мы приведем уравнение (6 19) к виду ф= 17'®И. Зто то же уравнение, что и (6 16). Надо только заменить дд на р и вставить потерянный по дороге множитель 1/4яе,.
Взглянув на это уравнение по-иному, видим, что дипольный потенциал (6.13) мокше толковать как % = Р''рб~в (6.20) где Ф„= 1/4яз г — потенциал единичного точечного заряда. Хотя потенциал данного распределения зарядов всегда может быть найден прн помощи интегрирования, иногда поясно сберечь время, применив какой-нибудь хитроумный прием. Например, на помощь часто приходит принцип наложения. Если нам дано распределение зарядов, которое можно составить из двух распределений с уже известными потенциалами, то искомый потенциал легко получить, просто сложив уже известные между собой. Наш вывод формулы (6.20) — один из примеров применения этого приема.
А вот и другой. Пусть имеется сферическая поверхность, на которой поверхностный заряд распределен пропорционально косинусу полярного угла. Интегрировать такое распределение— задача, откровенно говоря, не из приятных. Но как ни странно, на помощь приходит принцип наложения. Представьте себе шар с однородной объемной плотностью положительных зарядов и другой шар с такой же однородной объемной плотностью зарядов, но противоположного знака. Первоначально они вложены друг в друга, образуя нейтральный, т. е. незаряженный шар. Если затем положительный шар чуть сместить по отношению к отрицательному, то нутро незаряженного шара так и останется незаряженным, но на одной стороне возникнет небольшой положительный заряд, а на противоположной — такой же отрицательный (фиг.
6.6). И если относительное смещение двух шаров мало, то эти заряды эквивалентны существованию поверхностного заряда (на сферической поверхности) с плотностью, пропорциональной косинусу полярного угла. Когда же нам понадобится потенциал этого распределении, то брать интегралы не нужно. Мы внаем, что потенциал каждого заряженного шара — в точках вне его — совпадаетс потенциалом точечного ааряда. А два смещенных шара — все равно, что нэ Ф и г.
д.д. ггве равномерно гаряженные ссдеры, вложенные друе е друга и слегка смеогенные, гкеивалентны неоднородному распределению поверкносагного заряда. а + б = е два точечных заряда; значит, искомый потенциал и есть как раз потенциал диполя. Таким путем можно показать, что распределение зарядов на сфере радиуса а с поверхностной плотностью о =. о, соз О е создает снаружи сферы такое же поле, как и диполь с моментом 4ногаг Р=— 3 Можно также показать, что внутри сферы поле постоянно н равно Е ве 3'в Если Π— угол с положительной осью з, то электрическое поле внутри сферы направлено по отрицательной оси и Рассмотренный нами пример отнюдь не досужая выдумка составителя задач; он нам встретится еще в теории диэлектриков.
ф б. Дитгольиое тггтиблиагсвиив для тгуоиявольтгоео тзасгг4эеделеиия Столь же интересно и не менее важно поле диполя, возникающее при других обстоятельствах. Пусть у нас есть тело со словсным распределением заряда, скажем, как у молекулы. воды (см. фиг. 6.2), а нас интересует только поле вдали от него. Мы покажем, что можно получить сравнительно простое выражение для полей, пригодное для расстояний, много больших, чем размеры тела. Мы можем смотреть на это тело, как на скопление точечных зарядов вг в некоторой ограниченной области (фиг. 6.7).
(Позже, если понадобится, мы в; заменим на РЛ'.) Пускай заряд де удален от начала координат, выбранного где-то внутри группы зарядов, на расстояние йг Чему равен потенциал в точке Р, расположенной где-то на отлете, на расстоянии й, много большем, чем самое большое из г);? Потенциал всего нашего скопления выражается формулой (6.21) 4не,С ~ус И? е, В.7, Вичиеяение екчиояа е точке Р, но уВояенноз от кки еарядое. где г,' — расстояние от Р до заряда д; (длина вектора К вЂ” д;).
Если расстояние от зарядов до Р (до точки наблюдения) чрезвычайно велико, то каждое из г; можно принять за Л. Каждый член в сумме станет равным д,/В, и 1/Л моя<но будет вынести из-под знака суммы. Получит~я простой результат Ф = ~~~~ й =— е 4нео к 4наон (6.22) где 47 — суммарный заряд тела. Таким образом, мы убедились, что из точек, достаточно удаленных от скопления зарядов, оно кажется просто точечным зарядом. Этот результат в общем не очень удивителен. Но что, есчи положительных и отрицательных зарядов в группе окажется яоровну? Суммарный заряд 47 тогда будет равен нулю. Это не такой уж редкий случай; мы внаем, что большинство тел нейтрально. Нейтральна молекула воды, но заряды в ней размещаются отнюдь не в одной точке, так что, приблизившись вплотную, мы долокны будем заметить какие-то признаки того, что заряды разделены.
Для потенциала произвольного распределения зарядов в нейтральном теле мы нуждаемся в приближении, лучшем, чем даваемое формулой (6.22). Уравнение (6.21) по-прежнему годится, но полагать г; =В больше нельзя. Для г; нужно выражение поточнее. В хорошем приближении ге можно считать отличающимся от Л (если точка Р сильно удалена) на проекцию вектора б на вектор К (см. фиг. 6.7, но вы должны только представлять себе, что Р намного дальше, чем показано). Ияымк словами, если е, — единичный вектор в направлении К, то за следующее приближение к г,. нужно принять га  — и, е,.
(6.23) Но нам ведь нужно не г„а юг;; оно в нашем приближении (с учетом о(;(<В) равно (6.2$) $18 Подставив зто в (6.21), мы увидим, что потенциал равен (6.25) Многоточие указывает члены высшего порядка по о//т', которыми мы пренебрегли. Как и те члены, которые мы выписали, это последующие члены разложения 1/гс в ряд Тэйлора в окрестности 1/В по степеням с(;/В. Первый член в (6.25) мы унсе получили; в нейтральных телах он пропадает.
Второй член, как и у диполя, зависит от 1/Вз. Действительно, если мы определим (6.26) как величину, описывающую распределения зарядов, то вто- рой член потенциала (6.25) обратится в 4пеа Нэ 1 р.е„ (6.27) ф 6. 11оля варилсеннысс нроводнннов Мы покончим на этом с примерами таких физических задач, в которых распределение зарядов известно с самого начала. Такие задачи решаются без особых затруднений, в худшем случае требуя нескольких интегрирований.
Теперь мы обратимся 119 т. е. как раз и дипольнай потенциал. Величина р называется дипольным момепгпом распределения. Это обобщение нашего прежнего определения; оно сводится к нему в частном случае точечных зарядов. В итоге мы выяснили, что достаточно далеко от любого набора зарядов потенциал оказывается дипольным, лишь бы этот набор был в целом нейтральным. Он убывает, как ИР, и меняется, как соз 6, а величина его зависит от дипольного момента распределения зарядов. Именно по этой причине поля диполей и важны; сами же по себе пары точечных зарядов встречаются крайне редко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
