Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Значит, из любой комплексной функции Р(4) можно произвести две новые функции У (х, у) и Р(х, у). К примеру, Р())=4' дает две функции: б'(х, у)=хг — уг (7.5) дУ дк д» =да (7.7) др дУ дз дд (7.8) Отсюда немедленно следует, что каждая из функций у и р удовлетворяет уравнению Лапласа; (7.9) (7 АО) Сразу видно, что для фуккцнй (7.5) и (7.6) эти уравнения выпол яяются. Значит, всегда, отправившись от какой угодно обычной функции, можно прийти к двум функциям У ( х, у) и Г (х, у), которые обе есть решения двумерного уравнения Лапласа. Каждая функция представляет некоторый электростатический потенциал, Любая выбр анная нами функция Р(3) обязана снабдить нас решением какой-то задачи из электростатики, вернее даже двух задач, потому что решением является как У, жак и $'.
Так можно выписать сколько угодно решений: просто напридумывать множество функций и останется только найти задачи с такимн решениями. Такой подход к задачам вполне допустим, хоть он и производится задом наперед. Для примера посмотрим, к какой физической задаче приведет нас функция Р(3)=)'. Из нее мы получаем две потенциальные функции (7.5) и (7,6).
Чтобы увидеть, какую задачу решает функция П, мы найдем зквнпотенцнальные поверхности, полагая (7 равным постоянному числу А: ха уз 4 Это уравнение прямоугольной гиперболы. Перебирая разные значения А, мы получаем семейство гипербол, начерченное на фиг. 7А. Когда А=-О, то гиперболы вырождаются в пару диагоналей, проходящих через начало. Такое семейство эквипотенциальных поверхностей встречается в нескольких физических задачах. В одной из них оно 137 Мы подошли сейчас к удивительной математической теореме, столь прекрасной, что доказательство ее придется отложить до соответствующего математического курса.
(Если мы начнем заранее приоткрывать все тайны математики, она покажется вам потом скучной.) Теорема эта состоит вот в чем. Для любой анормальной» функции (что это такое, математики вам объяснят лучше) функции У и г' автоматически удовлетворяют соотно- шениям Ф и г. 7.1„два семейства ортогональных кривых, которые могут предстаелянгь собой гквипотенциальные линии двумерного глеьтростаепииеского поля. изображает детали структуры поля возле точки между двумя одинаковыми точечными зарядами. В другой оно изображает поле внутри прямого угла, образованного двумя проводящими плоскостями. Если есть два электрода, изогнутых так, как показано на фиг.
7.2, и имеющих разные потенциалы, то поле внутри угла С будет выглядеть в точности так же, как поле Ф и е, 7.3. Поле валле топки С такое жг, как на фиг. 7.1. й и г. УХ Лоле квадруколиеой линли. около начал» координат на фиг. 7.1. Сплошные линии — это эквипотепциальные поверхности, а пересекающие их штриховые — это линии поля Е. Вблизи острия или выступа электрическое поле повышается, а возле впадины или отверстия оно слабеет. Найденное нами решение отвечает также гиперболическому электроду, помещенному около прямого угла, или двум гиперболам при соответствующих потенциалах. Заметьте, что поле фиг.
7.1 имеет интересное свойство. Составляющая х электрического поля Е дается выражением Е = — — = — 2х д~р х дх Р (з) = ~ 1. (7 11) 139 т. е. электрическое поле пропорционально расстоянию от оси координат. Этот факт был использован, чтобы соадать устройство (называемое квадрупольной линзой), необходимое для фокусирования пучков частиц (см. вып. 6, гл. 29, $9). Фокусирующее поло обычно получают с помощью четырех пшерболических электродов, изображенных на фиг.
7.3. Проводя адесь линии электрического поля, мы просто перечертили с фиг. 7.1 семейство штриховых кривых вх=совз1. Эти линии достались нам совершенно бесплатно! Кривые )х=совзь перпендикулярны к кривым У=совзс, как это следует иа уравнений (7.7) и (7л8). Как только мы выбираем функцию Р(1), то получаем из У и 1е сразу же зквипотенциальные линии и линии поля.
Мы давно знаем, что можно решить на выбор любую из двух задач, смотря по тому, какое семейство кривых мы примем за эквипотенциальное. Другим примером послужит функция Если мы напишем )у реве р=у '+уя где то г" ()) = р е в е = р 1 ( сов —, + 1 з! п —, и откуда следует Г(4)= ~ ~ ыг) ~ у ~ *. (7Л2) ер и г. у.ве. Кривив поетоянныя ГГ(а, у) и у(т, у) ив уравнения (7.1в).
140 Кривые С(т, у)=-А и )г(х, у)=-В, где сГ и 7е взяты нз уравнения (7А2), проведены на фиг. 7.4. И здесь тоже можно назвать немало случаев, описываемых зтими полями. Один из самых интересных — это поле у кран тонкой пластинки. Если линия В=О направо от оси у изображает тонную заряженную пластину, то линни поля близ нее даются кривыми с различ- ен и е, т.а. Зленепраыеепое поле еоеле лроя томной ааеемлеппоа плаепеипм.
Зоеемненпоя ело сполна пымн А. Физическая картина показана на фиг. 7.5. Дальнейшие примеры — это функция Р(1) =-бч дающая нам поле снаружи прямого угла, функция Р (3) =10К3, (7 АЗ) (7.14) дающая поле заряженной нити, и функция Р(1)=у, 1 (7.15) изображающая поле двумерного аналога электрического диполя, т. е. двух параллельных прямых, заряженных противоположным знаком и помещенных вплотную друг к другу.
Большо этим вопросом в нашем курсе мы заниматься но будем; мы долнены только подчеркнуть, что, хотя техника комплексных переменных часто оказывается очень мощной, она ограничена все же только двумерными задачами; к тому же это все-таки косвенный метод. У 3. Колъебаныя плпнмы ъй1 Займемся теперь такими физическими задачами, в которых поле создается не закрепленными зарядами и не зарядами на проводящих поверхностях, а сочетанием обоих факторов.
Иными словами, полем управляют одновременно две системы уравнений: 1) уравнения электростатики, связывающие электрическое поле с распределением зарядов; 2) уравнения из другой области физики, определяющие положение или движения зарядов в поле. Сперва мы разберем один динамический пример. В яем движение зарядов контролируется законами Ньютона. Простой пример такого положения вещей наблюдается в плазме, в ионизованном газе, состоящем из ионов и свободных электронов, распределенных в какой-то области пространства.
Ионосфера (верхний слой атмосферы) служит примером такой плазмы. Ультрафиолетовые лучи Солнца отрывают от молекул воздуха электроны и создают свободные электроны и ионы. В плазме положительные ионы намного тяжелее электронов, так что можно пренебречь двихвением в ней ионов по сравнению с движением электронов.
Пусть иа будет плотностью электронов в невозмущенном равновесном состоянии. Такой же должна быть и плотность положительных ионов, потому что в невозмущенном состоянии плазма нейтральна. Теперь допустим, что электроны каким-то образом выведены из равновесия. Что тогда получится? Если плотность электронов в какой-то области возросла, они начнут отталкиваться и стремиться вернуться в прежнее положение равновесия. Двигаясь к своим первоначальным полоркениям, они наберут кинетическую энергию и вместо того, чтобы замереть в равновесной конфигурации, проскочат мимо.
Начнутся колебания. Нечто похожее наблюдается в звуковых волнах, но там возвращающей силой было давление газа. В плазме возвращающая сила — это действующее на электроны электрическое притяжение. Чтобы упростить рассуждения, мы будем заниматься только одномерным двиягением электронов — скажем, в направлении х. Предположим, что электроны, первоначально находившиеся в точке х, к моменту г сместились из положения равновесия па расстояние з (х, г). Раз онн сместились, то плотность нх, вообще говоря, изменилась. Это изменение подсчитать легко. Если посмотреть на фиг.
7.6, то видно, что электроны, вначале находившиеся между плоскостями а и Ь, сдвинулись и теперь находятся между плоскостями а' и Ь'. Количество электронов между л и Ь прежде было пропорционально лаЛх; теперь шд жв нх количество находится в промежутке шириноп Лх+Лд. Плотность 1 а' 1 1 1 1 1 Ф и г. 7.6. движасие волна в плевне.
Э птрапи ст пласассти а сдвигаттас и а', а апс Π— и д'. теперь стала эодх по и=— =дх+де =1+(д..удх) ' (7.16) Если изменение плотности мало, то можно написать [заменяя с помощью биномиалг ного разложения (1+с) г на (1 — е)) п= по(1 — — ) (7 17) Что касается ионов, то предположим, что они не сдвинулись заметно с места (инерция-то у них куда болыпе), так что плот- ность их осталась прежней, и,. Заряд каждого элентрона — д„ и средняя плотность заряда в лообой точке равна р = — (и — по) д„ яли Не р поде,уе (7 18) Интегрируя (7.20), получаем Е "о ее ( е~ (7.21) оо Постоянная интегрирования К равна нулю, потому что Е„=.О при х=О. Сила, действующая на смещенный электрон, равна (7.22) оа т.
е. возвращающая сила пропорциональна смещенное г электрона. Зто приведет к гармоническим колебаниям электронов. Уравнение движения смещенного электрона имеот вид нее "еее па — = — — э. е еГоа е 143 (здесь Лз/Лх записано через дифференциалы). Далее, уравнения Максвелла связывают с плотностью зарядов электрическое поле. В частности, р (7.19) Если задача действительно одномерна (и никаких полей, кроме вызываемых смещением электронов, нет), то у электрического полн Е есть одна-единственная составляющая Е„. Уравнение (7.19) вместе с (7.18) приведет к (7.20) оа Отсюда следует, что з меняется по гармоническому аакону. Во времени з меняется как соз юр или, если использовать экспоненту (см. зып. 3), как ьгврр (7.24) (7.26) 144 Частота колебаний со определяется из (7.23): р О!е сор= — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
