Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 23
Текст из файла (страница 23)
У молекулы воды, например, дипольный момент довольно велик. Электрическое поле, создаваемое этим моментом, ответственно за некоторые важные свойства воды. А у многих молекул, скажем у СОз, дипольный момент исчезает благодаря их симметрии. Для таких молекул разложение нунсио проводить еще точнее, до следующих членов потенциала, убывающих как 1/Лз и называемых квадрупольным потенциалом. Эти случаи мы рассмотрим позже. к совершенно новому типу задач — определению полей вблизи заряженных проводников. Представим себе, что какие-то заряды, произвольные по величине ф помещены на проводнике. Теперь уже мы не можем точно сказать, где они расположатся. Они как-то растекутся по поверхности.
Как же узнать, как они на ней распределятся? Распределиться они доля<ям так, чтобы потенциал вдоль всей поверхности был одним и тем же. Если бы поверхность не была эквипотенциальной, то внутри проводника существовало бы электрическое поле и заряды вынуждены были бы двигаться до тех пор, пока поле не исчезло бы. Общую задачу такого рода можно было бы решать так. Предпололгим, что распределение зарядс т такое-то, и рассчитаем потенциал. Если он оказывается на поверхности повсюду одинаковым, то задача решена.
Если же поверхность не эквипотенциальна, то значит, мы сделали неправильное предположение о распределении зарядов'; сделаем новое предположение и постараемся, чтобы оно было удачнее! Так может продолжаться без конца, разве что вы здорово набьете руку на таких пробах. Вопрос о том, как догадываться о распределениях, математически труден. Конечно, у природы есть время решать его; заряды притягиваются и отталкиваются до тех пор, пока не уравновесятся взаимно. А когда мы пробуем решить задачу, то каждая проба занимает так много времени, что этот метод оказывается очень громоздким. Когда имеется произвольный сложный набор проводников и зарядов, задача весьма усложняется, и в общем случае не может быть решена без специально разработанных численных методов.
Такие численные расчеты в наши дни выполняются на счетных машинах, которые могут все посчитать за нас, если мы им объясним, как это сделать. С другой стороны, имеется множество мелких практических случаев, в которых, к нашему удовольствию, удается добиться решения каким-то прямым методом, не составляя программы для машины. На наше счастье, во многих случаях с помощью того или иного фокуса можно выжать ответ из природы. Первый такой фокус, который мы хотим вам показать, состоит в использовании уже известных решений задач с фиксированным расположением зарядов. ф У. Метмод мвображенчай Мы определили поле двух точечных зарядов.
На фиг. 6.8 показаны некоторые линии поля и эквипотенциальные поверхности, полученные из расчетов, приведенных в гл. 5. Рассмотрим теперь эквипотенциальную поверхность А. Предположим, что' мы изогнули тонкий лист металла так, что ои в точности' й и г. д.д. Линии пола и впвипотенциалъние поверхности двух тоееен их вархдов. накладывается на эту поверхность. Если его действительно наложить и установить на нем правильное значение потенциала, то никто не будет давсе знать, что он там лежит, потому что ничего от его появления не изменилось.
А теперь взгляните внимательнее! На самом-то деле мы решили задачу уже с новым условием: поверхность изогнутого проводника с заданным потенциалом помещена близ точечного заряда. Если наш металлический лист, уложенный на екви- в потенциальную поверхность, замыкается сам на себя (или тянется очень далеко), то получается картина, рассмотренная в гл. 5, $ 10, когда пространство делится на две области: одна внутри, другая снаружи замкнутой проводящей поверхности. Там мы пришли к выводу, что поля в этих двух областях совершенно не зависят друг от друга. Так что независимо от того, каково поле внутри замкнутого проводника, снаружи поле всегда одно н то же.
Можно даже заполнить всю сердцевину проводника проводящим материалом. Выходит, нам удалось найти поле при конфигурации проводников и зарядов, изображенной на фиг. 6.9. В пространстве вне проводника поле как раз такое, как у двух точечных зарядов (см. фиг. 6.8). Внутри проводника оно нуль. И, кроме того, электрическое поле, как и следовало ожидать, у самой поверхности проводника нормально к ней.
Итак, мы можем рассчитать поля на фиг. 6.9, вычисляя поле, созданное зарядом д и воображаемым точечным зарядом — д, помещенным в подходящем месте. А точечный оаряд, который мы представили себе существующим за проводящей поверхностью, так и называется зарядом-иаэбралсеяием. - В книгах можно найти длинные перечни решений задачи влектростатики для гиперболических поверхностей и других сложных штук. Вас могло бы удивить, как это удалось рассчитать поля близ поверхностей столь ужасной формы. Но онн были рассчитаны задом наперед! Кто-то решил простую задачу $2$ 3 и в.
6.6. Лоле вне проводнике, иеогнутого вдоль вквипотенцивльноз поверхности А нв предидвЕисем рисунке. с фиксированными зарядами. А затем обнаружил, что появляются некоторые зквипотенциальные поверхности новой формы, ну н написал работу, в которой указал, что поля снаружи проводника такой формы могут быть изображены так-то и так-то. й 8. Хочечвгьвм наряд у вьроводятедем телосесоспзи В качестве простейшего применения этого метода используем плоскую эквипотенциальную поверхность в) (см.
фиг. 6.8). Она поможет иам решить задачу о заряде вблизи проводящей плоскости. Для этого зачеркнем просто левую часть фигуры. Линии поля нашего решения показаны па фиг. 6.10. Заметьте, что плоскость обладает нулевым потенциалом, потому что она находится как раз на полпути между зарядами. Мы решили задачу о положительном заряде вблизи заземленной проводящей плоскости. Так мы узнали суммарное поле, но что можно сказать о том, каковы те реальные заряды, которые создали его? Кроме нашего положительного точечного заряда, ими являются какие-то отрицательные заряды, наведенные на проводящей плоскости и притянутые положительным зарядом (с каких-то далеких расстояний). Но теперь пусть вам захотелось узнать (то ли для технических целей, то ли просто из любопытства), как распределены зти отрицательные заряды по поверхности.
Поверхностную плотность заряда вы сможете узнать, использовав результат, полученный в гл. 5, 2 6 при помощи теоремы Гаусса. Нормальная составляющая электрического поля возле самого проводника равна плотности поверхностного заряда с, деленной на е . Мы можем узнать плотность заряда в каждой точке поверхности, отправляясь назад .от нормальной составляющей электрического поля на поверхности. А ее мы знаем, потому что вообще нам известно поле в любой точке.
к22 Ф И Д О„ У Ю о М~ ~;ь.ф /~~ 1 / ! о о х Ю фх 'Ю ~ о Ь ° о ы, И Ф 'Ф ь Рассмотрим точку поверхности на расстоянии р от той точки, которая расположена прямо против Положительного заряда (см. фиг. 6ЛО). Электрическое поле в этой точке нормально к поверхности и направлено внутрь нее. Составляющая поля яалолсительного точечного заряда, нормальная к поверхности, равна 1 ад Е.+ = —— 4веа(аа+ра) " (6.28) К ней мы доляаны добавить электрическое поле, созданное отрицательным зеркальным зарядом.
Это удвоит нормальную составляющую (и уничтожит все прочие), так что плотность заряда о в произвольной точке поверхности будет равна " (Р) = еаЕ (Р) = (6.29) Проинтегрировав о по всей поверхности, мы смок<ем проверить яашя расчеты. Мы должны получить весь наведенный заряд, т. е. — д. Еще один вопрос: действует ли на точечный заряд сила? Да, потому что наведенные на плоскости отрицательные заряды должны его притягивать. А раз мы знаем, каковы эти поверхностные заряды [по формуле (6.29)), то можем с помощью интегрирования подсчитать силу, действующую на наш положительный заряд. Но мы ведь знаем также, что сила, действующая на него, в точности такая, какой она была бы, если бы вместо плоскости был один только отрицательный зеркальный заряд, потому что поля поблизости от них в обоих случаях одинаковы.
Точечный заряд тем самым испытывает силу притяжения к плоскости, равную 42 4эе (2а)' ' (6.30) Мы определили эту силу очень легко, без интегрирования по отрицательным зарядам. ф 9. Точечный наряд тг проводящей сферье А какие еще поверхности, кроме плоскости, имеют простое решение? Самая простая иэ них — сфера. Попробуем определить поля вокруг металлической сферы с точечным зарядом д вблизи нее (фиг. 6.11). Придется поискать простую физическую задачу, для которой сфера есть эквипотенциальная поверхность. Если мы просмотрим те задачи, которые уже решены, то увидим, что у пбля двух неравных точечных зарядов одна из эквипотенциальных поверхностей как раз и есть сфера.
Отметим себе это! Если мы как следует подберем положение заряда-изображения Ф и в. д.11. Точиьний варяд Ч паводигп на еавемвенной проводящей о4ере варади, катерке еогдают пояе, такое же, как у варяда-ивойражепия, помещенного в укаванной точке. и нужную его.величину, может быть, тогда мы и сможем подогнать эквипотенциальную поверхность к нашей сфере.
Это и впрямь может быть сделано, если действовать по следующему рецепту. Положим, что вы хотите, чтобы эквипотенциальнаяповерхность была сферой радиуса а с центром, отстоящим от заряда д на расстояние Ь. Поместите изображение заряда величины Ч = — Д(а/Ь) на радиусе, проходящем через заряд на расстоянии ааьЬ от центра.
Потенциал сферы пусть будет нуль. Математически причина состоит в том, что сфера есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Как следует из фиг. 6.11, потенциал в точке Р от зарядов д и д' пропорционален сумме — +- Ч Ч гв и будет равен нулю во всех точках, для которых — — — или — '= — — . Ч Ч гв Ч гв Г, гь Ч Если мы помещаем д' на расстоянии аеьЬ от центра, то отношение гнг, равно постоянной величине аьЬ. Тогда если Ч' а Ь ' (6.3$) $2й то сфера станет эквипотенциалью. Потенциал ее на самом деле будет равен нулю. А что, если нам понадобится сфера с ненулевым потеициаломг Ведь он равен нулю только тогда, когда ее суммарный заряд случайно окажется равным д'! Конечно, если ее заземлить, то наведенные на ней зарнды окажутся в точности такими, как надо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
