Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 28
Текст из файла (страница 28)
На фпг. 7.8 показано примерное располол'ение зквипотенциальных поверхностей на разных расстояниях от сетки. Чем блшке к сетке, тем сильнее колебания. Двигаясь параллельно сетке, мы заметим, что поле изменяется периодически. Мы уже знаеи (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую колебательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.
Коли проволочки лежат в плоскости ху параллельно оси у, то можно попробовать испытать члены вида Итак, должно быть г' — Л е 1аа а л (7.44) д г =— о 2лп (7.45) Мы оонаружили, что если имеется компонента Фурье и-й гармоники поля, то эти компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является г,=а~"лп. Амплитуда у первой гармоники (и=1) уменьшается в ез' раз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка а. Другие гармоники убывают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько а сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы.
Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля фэ = — й'~з которая и дает однородное поле при больших г. Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с г'„из (7.44), причем каждый член надо взять с коэффициентом А„. Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифференцирования получилось поле, согласующееся с плотностью зарядов ), на проволочках сетки.
Развитым нами методом можно объяснить, почему электростатическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключением промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая намного легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне пригодна для защиты чувствительного электрического оборудования от возмущающих внешних полей.
Ума«а Я ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ Ц.Электростатическая энергия зарядов. Одиородиьш шар 42.Энергия конденсатора. Силы, действующге на заряжепныс проводники й( 1. Элекчпросчпачпмчесмал заерзал варядов. Однородный тиар $3.Электростатическая энергия ионного кристалла 44, Элек гроота тическал энергия ядра 45.Энергия в электро- статическом поле 46.Энерлнг точечного зарлда Поеччгорчг>пьч гл.
4 (вып. 1) «Сохранение энергииэ; гл. И и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия» %ч«ч 4лза" ча (8.1) Ыы знаем из принципа налоягения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, действующих со стороны всех прочих зарндов. Отсгода следует, что полная энергия системы нескольких зарядов есть сумма членов, выражачощих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если гчч и дч — какие-то два из зарядов, а расстояние между ними гсг (фиг.
8.1), Одно из самых интересных и полезных открытий в механике — это закон сохранения энергиии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, чтб происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергичо электростатических систем.
В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов. Закон, по которому меняется энергия прн электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды д, и дч, разделенные промежутком г,, У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна О О О Ф и г. 8.1, Электростатическая еиергия системы частиц еста сумма олектростатическия гаер.
гий каждой пары, О г.. О О О О О О О О О то энергия именно этой пары равна '1Ф, 4кгос;1 (8.2) Полная электростатическая энергия П есть сумма энергий всевозможных пар зарядов: шел (8.3) 4лгог;1 ' Все ааги ггУ = — ' 4ягог (8.4) 452 Если распределение задается плотностью заряда р, то сумму в (8,3) ну>вне, конечно, заменить интегралом.
Мы расскажем здесь об анергии с двух точек зрония. Первая — пригпенение понятия энергии к электростатическим задачам; вторая — разные способы оценки величины энергии. Порой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину соответствующего интеграла, Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно заряжонный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности. Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последовательно друг на друга сферические слои бесконечно малой толщины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое количество электричества и размещаем его тонким слоем от г до г+ог, Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не доберемся до заданного радиуса а (фиг. 8.2).
Если (), — зто заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса г, то работа, требуемая для доставки на шар заряда аг(г, равна Фиг. 2.2. Энергию однородно впряженного торо .можно рассчитато, воодрагив, чпио его слепили, последовлепелюсо наслаивая друг на друго сферические слои. Если плотность заряда внутри шара есть р, то заряд Ог равен ()„-..: р.— ягг, а заряд с1(г равен сев,)=р 4яггдг. Уравнение (8.4) превращается в 4ярггвдг зеч (8.5) Полная знергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по Ног от к=О до г=а, т. е. егпрчаг Рбо (8.6) а ЕСЛИ МЫ жЕЛаЕМ ВЫраЗИтЬ рЕЗуЛЬтат ЧЕРЕЗ ПОЛНЫЙ Заряд 1,'л шара, то 5 г (8.7) ф д.
Этгетггтгя моадемсатотга. Стелы, дегйепгеутомгтле иа еа)глжетрные вгрооодиитгтг Рассмотрим теперь знергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд 1',) был снят с одной обкладки коццснсатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает 153 Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и обратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение (1/г;;) по всеь; парам точек внутри шара равно в/га.
разность потенциалов, равная с' (8.8) где С вЂ” емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы поступали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен переносом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями о(). Работа, требуемая для переноса заряда Ы(а, равна дУ =- Ы(7. Взяв р' из (8.8), напишем с Или, интегрируя от ег=О до конечного зарнда (), получаем У= —,—. а дг 2С (8.9) Эту энергию можно также записать в виде бр = — С)гг 2 Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна Сееера = 4перпа мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы 2 г (8.11) Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом е',); получается ауа энергии однородно заряженного шара (уравнение (8.7)1. Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии.
Рассмотрим два вопроса. Иакова сила, действующая между обкладками конденсатора? Иакой вращательный (крутящий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный проводник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим вырансением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).
Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Коли мы представим, что промежуток между пластинами расширился на небольшую величину Лз, то тогда механическая работа, производимая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна (8.12) 1е4 где Р— сила, действующая между обкладками. Эта работа обявана быть равной изменению электростатической энергии конденсатора, если только заряд конденсатора не изменился. Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первоначально была равна 1 дз У = —.— йс Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величи- ны заряда) тогда равно Д , 1 02Д ( 1 ) Приравнивая (8,12) и (8.13), получаем ~Л'= й Л(с) ' (8.14) что может также быть записано в виде РЛ2= — —, ЛС.
Д2 2С- '' (8 15) ЛИ' = тЛВ, где Лй — небольшой угловой поворот. Конечно, теперь Л(1ьС) должно быть изменением 1!С, отвечающим повороту на ЛО. Ф и г. 8.в. Чему равнь вращатевьний момент, действующий на неременний «онденсатор? Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов па обкладках; мы видим, однако,что заботиться о том, как там они распределены, нам нечего; единственное, что нам нужно, — это учесть емкость С. Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произвольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в уравнении (8.14) Р той составляющей, которая нас интересует, а Лз — малым смещением в соответствующем направлении.
Или если у нас есть электрод, наса кенный на какую-то ось, и мы хотим знать вращательный момент т, то запишем виртуальную работу в виде Таким способом мы можем определить вращательньзй момент, действующяй на подвижные пластины переменного кондеясатора, показанного на фиг. 8.3. Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы мо;кем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6: 1 Л С ол' где А — площадь каждой обкладки. Кслп промежуток увеличится на Лг, то Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна (8.17) 2еоА Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила, Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде о',) =- оА, то (8Л7) можно будет переписать так: Е е 2 зо Или поскольку поле ьгеяоду пластннамп равно о Ео=-- оо то (8.18) Е =- — ЕЕ,.
2 Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду (7 втой пластины, умноженному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель ",,. Дело в том, что Е, — это не то поле, колоорое действует на заряды. Если вообразить, что заряд на поверхности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до Е, в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно Ео!2. Вот отчего в (8А8) стоит множитель о м Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая виртуальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с другими предметами и полный заряд не мог изменяться.
156 Ф и е. 8,4. Поле у поверхности проводника меняется от куля до Ее=а)гв, когда пересевав слой поверхкосткого еаряда,  — праводлвеал нлаатина; г — слой поверхностного варлда. Ео (Е! Л теперь пусть мы предположили, что при виртуальных перемещениях конденсатор поддерживается при постоянной разности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять у = — С)сг, 2 и вместо (8.15) мы бы имели ГЛз =-,— УгЛС, 1 2 что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как )'.=-фС), но с противоположным знаком! Конечно, сила, действующая между пластинами конденсатора, не меняет свой знак, когда мы отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что две пластины с разноименными электрическими зарядами должны притягиваться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
