Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Это число составляет '!г велкчины, предсьазываемой уравнением (8.23), так что новое значение радиуса будет равно Чг от (8.24). Оно намного лучше согл|асуется с прямыми измерениями. Согласно в цифрах приводит к двум выводам. Псрвийг законы электричества, видимо, действуют и на столь малых расстояниях, как 10 "сль Второй: мы убедились в замечательном совпадении — неэлектрическая часть снл взаимоденствия протона с протоном, нейтрона с нейтроном и протона с нейтроном одинакова. ф д. Эпе1лгия в влекзпроепгаптимеоко.м п,еле Рассмотрим теперь другие способы подсчета электростатической энергии.
Все они могут быть получены нз основного соотношения (8.3) суммированием (по всем варам) взаимных знергтш каждой пары зарядов. Прежде всего мы хотим написать выраже- ние для энергии распределения зарядов. Как обычно, считаем, что каждый элемент объема Л" содержит в себе элемент заряда РЛ". Тогда уравнение (8.3) запишется так: // 4 (' Р (1) Р (2) де ))е 2,) 4аененн Всс йрссс- (8.27) рннсснс Обратите внимание на появление множителя '/,. Он возник из-за того, что в двойном интеграле по с(рг и по Л', каждая пара элементов заряда считалась дважды.
(Не существует удобной записи интеграла, в которой каждая пара считалась бы только по одному разу.) Затем заметьте„что интеграл по Лен в (8.27)— это просто потенциал в точке (1), т. е. н4ж е так что (8.27) можно записать в виде (/ = —,' 1 р (1) Р (1) лр,. А так как точка (2) при этом выпала, то можно написать просто (/= — ) р(р Ы)е.
2 з (8.28) Это уравнение можно истолковать так. Потенциальная энергия заряда РЛ' равна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому равна интегралу от сррЛе. Но, кроме этого, есть множитель ч/э Он все еще необходим, потому что энергии считаются дважды.
Взаимная эноргия двух зарядов равна заряду одного из них на потенциал другого в атой точке. ХХли заряду другого на потенциал от первого во второй точке. Так что для двух точечных зарядов можно написать (/=7.~(1) =.).4 ~-'— 4яесснн или Обратите внимание, что это же можно написать и так: (/ = — (д, сР (1) + д, сР (2)1 (8.29) $67 Интеграл в (8.28) отвечает сложению обоих слагаемых в скобках выражения (8.29).
Вот зачем нужен множитель '/. Интересен и такой вопрос: где размещается электростатическая знергия7 Правда, можно в ответ спросить: а не все ли равно? Есть ли смысл у такого вопроса? Если имеется пара взаимодействующих зарядов, то их сочетание обладает некоторой энергией. Неужели нужно непременно уточнять, что энергия сосредоточена на этом заряде, или на том, или на обоих ораву, нли между ниии? Все зти вопросы лишены смысла, потому что мы знаем, что на самом деле сохраняется только полная, суммарная энергия. Представление о том, что энергия сосредоточена где-то, не так уж необходимо. Ну а все же предположим, что в том, что энергия всегда сосредоточена в каком-то определенном месте (подобно тепловой энергии), действительно смысл есть.
Тогда мы могла бы наш принцип сохранения энергии расширить, соединив его с идеей о том, что если в каком-то объеме энергия меняется, то это изме кение минно учесть, наблюдая приток или отток энергии из объема. Вы ведь понимаете, что наше первоначальное утверждение о сохранении энергии по-прежнему будет превосходно выполняться, если какая-то анергия пропадет в одном месте и возникнет где-то далеко в другом, а в проыеятутке между этими местами ничего не случится (ничего — зто значит не случится каких-либо явлений особого рода). Поэтому мы можем перейти теперь к расширению наших идей о сохранении энергии. Назовем это расширение принципом локального (местного) сохранения энергии.
Такой принцип провозглашал бы, что энергия внутри л|обого данного объема иаменяется тшпь на количество, равное притоку (или убыли) энергии в объем (или из него). И действительно, такое локальное сохранение энергии вполне возможно. Если это так, то в нашем распоряжении будет куда более детальный закон, чем простое утверждение о сохранении полной энергии. И, как оказывается, в природе энергия действитпельно сохраняется локально, в козкдом месте порознь, и можно написать формулы, показывающие, где энергия сосредоточена и как она перетекает с места на место.
Имеется и физический резон в требовании, чтобы мы были в состоянии указать, где именно заключена энергия. По теории тяготения всякая ьчасса есть источник гравитационного притяжения. А по закону Е= — тс' мы также знаем, что масса и энергия вполне равноценны друг другу. Стало быть, всякая энергия является источником силы тяготения. И если б мы не могли узнать, где находится энергия, мы бы не могли знать, где расположена масса. Мы ис могли бы сказать, где размсгдаются источники поля тяготения. И теории тяготения стала бы неполной.
Конечно, если мы ограничимся электростатикой, то способа узнать, где сосредоточена энергия, у нас нет. Но полная система максвелловских уравнений электродинамики снабдит нас несравненно более полной информацией (хотя и тогда, строго говоря, отвот до конца определенным не станет). Подробнее мы этот вопрос рассмотрим позже. А сейчас приведем лишь результат, бэ и е. В.В. Каждый элемэит объема дг=дадудг в элетирииесиом поле содержит в себе энергию (еэ12) Еэдг, касааощийся частного случая злектростатики.
Энергия заключена в том пространстве, где имеется электрическое поле. Это, видимо, вполне разумно, потому что известно, что, ускоряясь, заряды излучают электрические полн. И когда свет или радиоволны распространяются от точки к точке, они переносят с собой свою энергию. Но в этих волнах нет зарядов. Так что энергию хотелось бы размещать там, где есть электромагнитное поле, а не там, где есть заряды, создающие это поле. Хаким образом, мы описываем энергию не на языке зарядов, а на языке создаваемых ими полей. Действительно, мы можем показать, что уравнение (8.28) численно совпадает с бе= —,' ( Е Есйе. 2,) (8.30) Эту формулу можно толковать, говоря, что в том месте простран- ства, где присутствует электрическое поле, сосредоточена н энергия; плотноспгь ее (количество энергии в единице объема) равна ээ, есЕ и =- -- Е.
Е = -' —,' 2 2 Эта идея иллюстрируется фиг. 8.8. Чтобы показать, что уравнение (8.30) согласуется с наппгмп законами электростатики, начнем с того, что введем в уравнение (8.28) соотношение между р и ср, полученное в гл. 6: р ~э э ср. Получим гр еэ( э д; 2,) (8.32) э69 Расписав покомпонентно подынтегральное выражение, мы увидим, что С помощью теоремы Гаусса второй интеграл можно превра- тить з интеграл по поверхности: у (~руср) с()'=. ~ (сруср) по(а. (8.34) Повсрхпость Объем Этот интеграл мы подсчитаем для того случая, когда поверхность простирается до бесконечности (так что интеграл по объему обращается в интеграл по всему пространству), а зсе заряды расположены на конечном расстоянии друг от друга.
Проще всего это сделать, взяв поверхность сферы огромного радиуса с центром в начале координат. Мы знаем, что вдали от всех зарядов у-изменяется как 1!В, а у~р ьак 1Яв. (И даже быстрее, если суммарный заряд нуль.) Площадь же поверхности большой сферы растет только как В', так что интеграл по поверхности убывает по мере возрастания радиуса сферы как (1!В)(1!Вв)Вв= =-ц1!В). Итак, если наше интегрирование захватит собой все пространство (В оо), то поверхностный интеграл обратится в нуль, и мы обнаруясим — (утр) (у р) с('ах = —." ( И. Е г(Р'.
(8.35) Всв прост- Всс пространство рапство Мы видим, что существует возмоя.ность представить энергию произвольного распределения зарядов в виде интеграла от плотности энергии, сосредоточенной в ноле. $ 6. Энергия тночечного виряди Новое соотношение (8.35) говорит нам, что даже у отдельного точечного заряда д имеется какая-то электростатическая энергия. Поле в этом случае дается выражением Е= 4к,„ так что плотность энергии на расстоянии г от заряда равна воЕв от и о2пвв„та а70 — (~— „) +эв('рев) ~зв) =у (ру'р) — (у'р) (ур).
(833) А наш интеграл энергий тогда равен (~ = '— .,' ~ (у р) (у р) г(р — ' —.,' ~у ( ру р) ( р. За алемент объема можно принять сферический слой толщиной дг, по площади равный йяг'. Полная энергия будет (8.36) г=О Верхний предел г=оо не приводит к затруднениям. Но раз заряд точечный, то мы намерены интегрировать до самого нуля (г=О), а это означает бесконечность в интеграле. Уравнение (8.35) утвдрждает, что в поле одного точечного заряда содержится бесконечно много энергии, хотя начали мы с представления о том, что энергия имеется только между точечными зарядами.
В нашу первоначальную форму для энергии совокупности точечных зарядов (8.3) мы не включили никакой энергии взаимодействия заряда с самим собой. Что же потом случилось? А то, что, переходя в уравнении (8.27) к непрерывному распределению зарядов, мы засчитывали в общую сумму взаимодействие всякого бесконечно малого заряда со всеми прочими бесконечно-малыми зарядами. Тот же учет велся и в уравнении (8.35), так что, когда мы применяем его к конечному точечному заряду, мьз включаем в интеграл энергию, которая понадобилась бы,чтобы накопить этот заряд из бесконечно малых частей. И действительно, вы могли заметить, что результат, следующий из уравнения (8.36), мы могли бы получить также из выражения (8.11) для энергии заряженного шара, устремив его радиус к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
