Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Все дело в привычке. ф 8. Лтнтдгс поля; экетдпотпен2422альньде 22ОЕЕРгтгдесгПтд Теперь мы собираемся дать геометрическое описание электростатического поля. Два закона электростатики: один — о пропорциональности потока и внутреннего заряда и другой — о том, что электрическое поле есть градиент потенциала, могут такл<е быть изображены геометрически. Мы проиллюстрируем это двумя примерами. Первый пример: возьмем поле точечного заряда.
Проведем линии в направлении поля, которые повсюду касательны к векторам поля (фиг. 4.12). Их называют линиями полл. Линии поля всюду показывают направление электрического вектора. Но, кроме этого, мы хотим изобразить и абсолютную величину вектора. Можно ввести такое правило: пусть напряженность электрического поля представляется «плотностьюо линий. Под этим мы подразумеваем число линий на единицу площади, церпендикулярной линиям.
С помощью этих двух правил мы можем начертить картину электрического поля. Для точечного заряда плотность линий должна убывать как 4!гг. Но площадь сферической поверхности, перпендикулярной к линиям на всех радиусах г, водрастаеяг как га, так что если мы сохраним всюду, на всех и $ о х й $ б Я $ ь ~йя ,~$ з Я в~ % во х в ф О. 9 ~х расстояниях от центра, одно и то же число линий, то их плотность останется пропорциональной величине поли. Мы можем гарантировать неизменность числа линий на всех расстояниях, если обеспечим непрерыеность линий, т.
е. если уж линия вышла из заряда, то она никогда не кончится. На языке линий поля закон Гаусса утверждает, что линии могут начинаться только в плюс-зарядах и кончаться только в минус-зарядах. А число линий, покидающих заряд д, должно быть равно фз . Сходную геометрическую картину можно отыскать и для потенциала >р. Проще всего изображать его, рисуя поверхности, на которых >р постоянно. Их называют з випоп>енциальн ми, т. е. поверхностями одинакового потенциала. Какова геометрическая связь эквипотенциальных поверхностей и линий поля? Электрическое поле является градиентом потенциала. 1'радиент направлен по самому быстрому изменению потенциала, поэтому он перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности.
Если бы Е не было перпендикулярно к поверхности, у него существовала бы составляющая вдоль поверхности и потенциал изменялся бы вдоль поверхности и тогда нельзя было бы считать ее эквипотенциальной. Эквипотенциальные поверхности долн<- ны поэтому непременно всюду проходить поперек линий электрического поля. У отдельно взятого точечного заряда зквипотенциальные поверхности — это сферы с зарядом в центре. На фиг.
4.12 показано пересечение этих сфер с плоскостью, проведенной через заряд. В качестве второго примера рассмотрим поле близ двух одинаковых зарядов, одного положительного, а другого отрицательного. Это поле получить легко. Зто суперпозиция (пало>кение) полей каждого из зарядов; Значит, мы можем взять две картинки, похожие на фиг. 4.12, и наложить их... нет, это невозможно! Тогда получились бы пересекающиеся линии поля, а этого быть не может, потому что Е не может иметь в одной точке деух направлений. Неудобство картины линий поля теперь становится очевидным.
С помощью геометрических рассуждений невозможно в простой форме проанализировать, куда пойдут новые линии. Из двух независимых картин нельзя получить их сочетание. Принцип наложения, столь простой и глубокий принцип теории электрических полей, в картине полевых линий не имеет простого соответствия. Картина полевых линий все х<е имеет свою область применимости, так что мы можем все же захотеть начертить эту картину для пары равных (и противополоясных) аарядов.
Если мы вычислим поля из уравнения (4.13), а потенциалы из (4.23), то сумеем начертить и линии поля и эквипотенциали. Фиг. 4.13 демонстрирует этот результат. Но сперва пришлось решить задачу аналитически! Глава ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНА ГАУССА 91.Злсктростатпгггг-- это есть закон Гаусса плес... й 1. Элентпростатггггка — эгио есгиь закон Гаусса и иос... Существуют два закона электростатики: поток электрического поля из объема пропорционален заряду внутри него — закон Гаусса, и циркуляция электрического поля равна нулю — Е есть градиент. Из этих двух законов следуют все предсказания электростатики. Но одно дело высказать эти вещи математически, и совсем другое — применять их с легкостью и с нужной долей остроумия. В этой главе мы будем заниматься только такими расчетами, которые могут быть проделаны непосредственно на основе закова Гаусса.
Мы докажем некоторые теоремы и опишем некоторые эффекты (в частности, в проводниках), которые на основе закона Гаусса очень легко понять. Сам по себе закон Гаусса не может дать решения ни одной задачи, потому что должны быть выполнены и какие-то другие законы. Значит, применяя закон Гаусса к решению частных задач, нужно всегда к нему что-то добавлять. Мы должны, например, заранее делать какие-то предположения о том, как выглядит поле, основываясь, скажем, на соображениях симметрии.
Или должны будем особо вводить представление о том, что поле есть градиент потенциала. ф М. Равновесгге в влентиростиатиннесколс иоле Рассмотрим сначала следующий вопрос: в каких условиях точечный заряд может пребывать в механическом равновесии в электрическом поло других зарядов? В качестве примера представим себе три отрицательных заряда в вершинах равностороннего треугольника, рас- й2.Равновесгге в электростатическом поле йЗ.Равновесие с проводпше пг й г, Устойчивость атомов йб.Поле заряяггппой прямой линни йб.Заряженггая плоскость; пара плоскостей й7.0днородгго заряженный шар; заряженная сфера й8.Точегг лн закон Кулона? й9.Поля проводнггка й10.Поле внутри полости проводника ьй и е.
б.?. Если бм точка Р отмечала положение устойчивого равновесия положительного гаряда, то глектрическое поле повсюду в ее окрестности бмло бм направлено к Ро 7' Р о ° ,' -Увсдражааиак '--- Х -' поверлноапь, окружающая Р положенного в горизонтальной плоскости. Остапется ли на своем месте полон ительный заряд, помещенный в центр треугольника? (Для простоты тяясестью пренебрежем; но и учет ее влияния не изменит выводов.) Сила, действующая на положительный заряд, равна нулю, но устойчиво ли это равновесие? Вернется ли заряд в положение равновесия, если его чуть сдвинуть с этого места? Ответ гласит: нет. Ни в какозе электростатическом поле не существует никаких точек устойчивого равновесия, за исключением случая, когда заряды сидят друг на друге.
Применяя закон Гаусса, легко понять почему. Во-первых, чтобы заряд пребывал в равновесии в некоторой точке Ро, пате в ней должно быть равно нулю. Во-вторых, чтобы равновесие было устойчивым, требуется, чтобы смещение заряда из Ро в любую сторону вызывало восстанавливающую силу, направленную против смещения. Векторы электрического поля во всех окрестных точках должны показывать внутрь — на точку Р,.
Но как легко видеть, это нарушает закон Гаусса, если в Р, нет заряда. Возьмем небольшую воображаемую поверхность, окружающую точку Ро (фиг. 5.1). Если повсюду вблизи Р, электрическое поле направлено к Р„то поверхностный интеграл от нормальной составляющей определенно не равен нулю. В случае, изображенном на фигуре, поток через поверхность должен быть отрицательным числом. Но, согласно закону Гаусса, поток электрического поля сквозь любую поверхность пропорционален количеству заряда внутри нее. Если в Р, нет ааряда, то изобраясенное нами поле нарушит закон Гаусса.
Уравновесить положительный заряд в пустом пространстве, в точке, в которой нет какого-нибудь отрицательного заряда, невозможно. Но если положительный заряд размещен в центре распределенного отрицательного заряда, то он может находиться в равновесии. Конечно, распределение отрицательного заряда должно само удерживаться на своем месте посторонними, неэлектрнческими силами! Этот вывод мы проделали для точечного заряда. Соблродается ли он для сложной расстановки зарядов, относительное располольение которых чем-то фиксировано (скажем, стержнями)? Разберем этот вопрос на примере двух одинаковых зарядов, закрепленных на стержне. Моя<ет ли эта комбинация 9ь Ф и г.
д.2. Зараз может аминь о раеноеесии, если имеютсл механические ограничении, в каком-то электрическом поле застыть в раеновесикс И опять ответ гласит: нет. Суммарная сила, действующая на стерокентн не способна возвращать его к положению равновесия при любых направлениях смещения. Обозначим суммарную силу, действующую на стержень в любом положении, буквой Р. Тогда Р— это векторное поле. 11овторяя те яке рассуждения, что и выше, мы придем к закл|очению, что в положении устойчивого равновесия дивергенция Р должна быть числом отрицательным. Но суммарная сила, действующая на стержень, равна произведению первого ааряда на поле в том месте, где он находится, плюс произведение второго заряда на поле в том месте, где он находится: (5Л) Р=д,Е,+д,Е,.
Дивергенция Р дается зыраясением Ч. Р = ((с (Ч К,) + е(л (Ч Е,). Кслн каждый иэ двух аарядов о, и ол находится в свободном пространстве, то и Ч К„и Ч. Е, равны нулю, и Ч Р тоже нуль, а не отрицательное число, как должно было бы быть при равновесии. Дальнейшее расширение этого доказательства покажет, что никакая жесткая комоинация любого числа зарядов не способна замереть в положении устойчивого равновесия в электростатическом поле в пустом пространстве.
Но мы не собираемся доказывать, что если заряд может скользить по стержням или опираться на другие механические связи, то равновесие все равно незозмоокно. Это не так. Возьмем для примера трубку, в которой заряд может свободно двигаться вперед и назад (но не в сторону). Теперь легко устроить электрическое поле, которое на концах трубки направлено внутрь нее (при. этом близ центра трубки ему разрешается быть направленным наружу, в сторону) .Для этого надо просто поместить по положительному заряду на каждом конце трубки (фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
