Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 13
Текст из файла (страница 13)
если АХС=О вс(оду, то существует некоторая функция ([) (пои), для которой С=рч[) (полезное представление). Значит, мы можем, если захотим, описывать этот род векторных полей при помощи скалярных полей. Теперь докажем еще одну форл(улу. Пусть у нас есть прдидвдльидв скалярное поле (р (фи). Если взять его градиент т)ер, то интеграл от этого вектора по любому замкнутому контуру должен быть равен нулю. Криволинейный интеграл от точки (1) до точки (2) равен [(р(2) — ер(1)). Если точки (1) и (2) совпадают, то наша теорема 1 [уравнение (3.8)) сообщает нам, что криво- й) и г. 8.1у, Если 7К С равно нулю, то Чиркуляция по гамкнуп)ой кривой Г тоже нуль.
Криатинедннд интеврвл от С Вв на участке от (1) до (г) вдоль а должен дить равен ннеьеералу вдоль Ь. ааие. дыд. При переяоде к пределу вамкнчтой поверхности поеержьостный интеерал от (ЧХС)п должен обратиться в ниль. их с доверя воска линейный интеграл равен нулю: Ф рог е)з =О. контур Применяя теорему Стокса, можно заключить, что ~рх(рр)ба=О по любой поверхности. Но раз интеграл по любой поверхности равен нулю, то подынтегральное выражение обязано быть равно нулю. Значит, ту х (рр) = О всегда. Тот же результат был доказан в гл. 2, $7 при помощи векторной алгебры.
Рассмотрим теперь частный случай, когда на маленький контур Г натягивается большая поверхность Я (фиг. 3.13). Мы хотим посмотреть, что случится, когда контур стянется в точку. Тогда граница поверхности исчезнет, а сама поверхность превратится в замкнутую. Если вектор С повсюду конечен, то криволинейный интеграл по Г должен стремиться к нулю по мере стягивания контура (ннтеграл в общем-то пропорционален длине контура Г, а она убывает). Согласно теореме Стокса, поверхностный интеграл от (рхС)„тоже должен убывать до нуля. Когда поверхность замыкается, то при атом каким-то образом в интеграл привносится вклад, который взаимно уничтожается с накопленным ранее.
Получается новая теорема: (3.39) (р х С)„е(а = О. Либав ааиаяуаап поаераассть Это нас должно заинтересовать, потому что у нас уже есть одна теорема о поверхностном интеграле векторного поля. Такой поверхностный интеграл равен объемному интегралу от дивергенция вектора, как зто следует из теоремы Гаусса (уравнение (3.18)). Теорема Гаусса в применении к р х С утвер- 6 ос 3 ы заро ждает, что ) (7 х с)„б)а = ) 7 ' (р х с) б) )у. (3.40) Эаминутая ° поверхность Объем внутри ~ р (рхс)Л =О (3.41) Проиавоаьныа объем и что это должно быть справедливо для любого векторного поля С, каким бы оно ни было. Раэ уравнение (3.41) выполнено для произвольного объема, то е каждой точке пространства подынтегральное выражение должно быть равно нулю.
Получается, что д (р )~ С) = О всегда. Тот же результат был выведен с помощью векторной алгебры в гл. 2, $7. Теперь мы начинаем понимать, как все эдесь прилажено одно к другому. ая й Жтуьог)г Подытожим теперь все, что мы узнали о векторном исчислении. Вот самые существенные моменты гл. 2 и 3. 1. Операторы д!дх, д/ду и д))дг мояено рассматривать как три составляющих векторного оператора р„формулы, следующие иэ векторной алгебры, остаются правильными, если этот оператор считать вектором 2. Разность значений скалярного поля в двух точках равна криво)винейному интегралу от касательной составляющей градиента этого скаляра вдоль любой кривой, соединяющей первую точку со второй: (е) )() (2) — е)) (1) = ) ре)) Ыв.
(3.42) (х) Любая нривая 3. Поверхностный интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности равен интегралу от дивергенции вектора по объему, лежащему внутри этой поверхности: (3.43) С и да= )г р Сй)у, Эаминутан Объем поверхность внутри 66 Мы эакл)очаем, что интеграл в правой части должен обращать- ся в нуль С отя= ) (р'лС) пда. (3.44) Граннна Поверхность От редактора. Начиная изучать уравнения Максвелла, обратите внимание, что в этих лекциях используется рационализированная система единнц, в которой уравнения Максвелла не содержат коэффициентов.
Более привычно вместо ее писать сэ/4я; тогда коэффициент 4п исчезает ив знаменателя закона Кулона (4.9), по появляется в правйх частях уравнений (4.1) и (4.3). (Улучжение систеыы единиц всегда похоже на Трижкин кафтан.] Кроме того, вместо квадрата скорости света вводят новую постоянную рэ=зэ/сз, называют ее (довольно неудачно) магнитной проницаемостью пустоты (так же, как ее называют диэлектрической пронвцаемостью пустоты) и обозначают ееЕ=О, В=-р,Н. Будьте осторожны! Проверяйте систему еднвиц, когда открываете новую книгу об электричестве! 4.
Криволинейный интеграл от касательной составляющей произвольного вектора по замкнутому контуру равен поверхностному интегралу от нормальной составляющей ротора этого вектора по проиавольной поверхности, ограниченной этим кон- туром Глава 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА $1 Статика ~2.Заково Кулона; наложспис сил ч3.3лсктрввььссввввьв потенциал йь .л. Статика Начнем тепеРь подРобное изУчепие теоРии зб электромагнетизма. Оиа вся (весь электромагпетизм целиком) запрятана в ураеьвенилх Мак- в)- П сеелла: 66.Закон Гауссвь; (4 1) дпавргсьщиа поля Е т Е= Р ео ди ЧхЕ= —, дв с овь х В = — '+- —, ди дв е,' р В=О. (4.2) ф7.Попс заркжтвит с (4.3) "'"' Р» (4,4) 48.Лввнвввв поля: эквипотевциазьные повсрхпосьи Явления, описываемые этими уравнениями, могут быть очень слоьввпылви.
Но прежде челв перейти к более сложиым, мы начнем со сравнительно простых и сначала научимся обращаться с ними. Самым легким для изучения является случай, который называют статическим. Это случай, когда от времени ничего не зависит, когда все заряды либо намертво закреплены на своих местах, либо если уж движутся, то их ток постоянен (т. е.
р и1 постоянны во времени). В этих условиях в уравнениях Максвелла все члены, являющиеся производными по времени, обращаются в нуль, и уравнения приобретают следующий вид: Увоовмориви вага. 1'.~ и 14 (вып. ! ) «Работа и потсициальпая эввсргпя э Электростатика р Е= —, Р ео рхЕ= О. (4.5) (4.6) лг агнитостатика ухв=,— „ 3 е с' р.В=О.
(4.7) (4,8) Обратите внимание на интересное свойство этой системы четырех уравнений. Она распалась на две части, Электрическое поле Е появляется только в первой паре уравнений, а магнитное поле  — только во второй. Между собой эти два поля совсем не связаны. Это означает, что коль скоро заряды и токи постоянны, то электричество и магнетизм — явления разные. Нельзя обнаружить никакой аависимости полей Е и В друг от друга, пока не возникают изменения в зарядах или токах, скажем, пока конденсатор не начнет заряжаться или магнит двигаться. Только когда воэникаютсравнительно быстрые изменения, так что временнйе производные в уравнениях Максвелла достигают заметной величины, Е и В начинают влиять друг на друга. Если вы всмотритесь в уравнения статики, то обнаружите, что для изучения математических свойств векторных полей эти два предмета — электростатика и магнитостатика — являются идеальным объектом. Электростатика — это чистый пример векторного поля с нулевым ротором и заданной дивергенцией, а магнитостатика — чистейший пример поля с нулевой дивергенцией и заданным ротором.
Более общепринятый (и, быть мол<ет, с чьей-то точки зрения более удовлетворительный) путь изложения теории электромагнетиама состоит в том, чтобы начать с электростатики н выучить тем самым все про дивергенцию. Магнитостатику и ротор оставляют на потом. И лишь в конце объединяют и электричество, и магнетизм. Мы же с вами начали с полной теории векторного исчисления. Применим теперь ее к частному случаю электростатики, к полю Е, задаваемому первой парой уравнений. Начнем с самых простых задач, в которых положения всех аарядов фиксированы.
Если бы нам нужно было изучить электростатику только на атом уровне (а этим мы и будем заниматься в ближайших двух главах), то жизнь наша была бы очень проста. Все было бы почти тривиальным и нам понадобился бы, как вы в этом сейчас убедитесь, только аакон Кулона да несколько интегрирований. Однако во многих реальных электростатических задачах мы вначале нс знаем, где находятся заряды. Мы внаем только, что они в зависимости от свойств вещества распределились как-то и где-то. Положение, которое примут ааряды, зависит от поля Е, а оно в свою очередь зависит от расположения зарядов. И тогда все сразу усложняется. Если, например, заряженное тело поднесено к проводнику или к изолятору, то электроны и протоны в проводнике или изоляторе начнут перетекать на новое место. Одна часть плотности заряда р в урав- ф 9.
Закон л»улана; наложение снл Логично было бы принять за отправную точку уравнения (4.5) и (4.6). Но легче начать с другого, а потом вернуться к этим уравнениям. Результат получится одинаковый. Мы начнем с закона, о котором говорилось раньше,— с закона Кулона, утверзкдающего, что между двумя покоящимися зарядами действует сила, прямо пропорциональная произведению зарядов и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Сила направлена по прямой от одного заряда к другому. Закон Кулона «1«» Г1 = — » е12 =- — Г», 4кео гл 12 (4.9) здесь Г, — сила, действующая на заряд д,; е„— единичный вектор, направленный от дэ к в„а г„— расстояние между д, н дз. Сила Гю действующая на дю равна и противоположна силе Г,. Множитель пропорциональности по историческим причинам пишется в виде 1Яяз«.
В системе единиц СИ, которой мы пользуемся, он определяется как 10 ' от квадрата скорости света. Так как скорость света примерно 3 10» м/сек, то множитель приблизительно равен 9 10', и единица оказывается равной ньютон.мЧкулон«, или вольт м)кулон 1 — =10 'с» (по определению), =9,0 10' (из опыта). (4.10) Если аарядов больше двух (а именно такие случаи наиболее интересны), то закон Кулона нужно дополнить другим существующим в природе фактом: сила, действующая на заряд, есть векторная сумма кулоновских сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Этот экспериментальный факт называется «принципом наложения», или «принципом суперпози- чз ненни (4.5) будет нам известна — это тот заряд, который мы подносим; но в р войдут и другие части от тех зарядов, которые перетекают.
Мы обязцны будем учесть' движение всех зарядов. Возникнут довольно тонкие н интересные задачи. Однако настоящая глава, хоть она и посвящена электростатике, не будет касаться самых красивых и тонких вопросов этой науки. В ней будут рассмотрены лишь такие ситуации, в которых можно предположить, что расположение всех зарядов известно. Но н в этом случае, прежде чем научиться справляться со сложными случаями, естественно сначала освоиться с простымн. Веаиеииа Елиииаа ции».
Это и есть все, что имеется в электростатике. Если добавить к закону Кулона принцип наложения, то больше ничего в ней не останется. Точно к таким же выводам, нн больше, ни меньше, приведут уравнения электростатики, уравнения (4.5) и (4.6). Применяя закон Кулона, удобно ввести понятие об электрическом поле. Мы говорим, что поле Е(1) — это сила, действующая со стороны прочих аарядов на единицу заряда д,. Деля (4.9) на д, мы получаем для действия всех зарядов, кроме дю (4.11) лл Кроме того, мы считаем, что Е(1) описывает нечто, существующее в точке (1), даже если в ней нет заряда у, (в предположении, что все прочие заряды сохранили свои позиции). Мы говорим: Е(1) — это электрическое поле в точке (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
