Фейнман - 05. Электричесво и магнетизм (1055667), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Зто и получается, если под «вытеканием» из атой поверхности мы понимаем поверхностный интеграл от нормальной составляющей Е, т. е. поток Е в том смысле, который был установлен в гл. 3. На боковых'гранях нормальная составляющая Е равна нулю. На сферических гранях нормальная составляющая Е равна самой величине Е, с минусом на меньшей грани и с плюсом на большей. Величина Е убывает как 1(гв, а площадь грани растет как гз, так что их произведение от г не зависит. Приток Е через грань а в точности гасится оттоком через грань 6.
Суммарный поток через Ю равен нулю, а зто все равно, что сказать, что Ф и е. 4.б. Поток Е иг поверхности В равен нулю. дтерче и Гвчеченй гврид Ф и е. 4П. Всякий обьеяг мотгго представлять себе состоящим иг бесконечно малых усеченных конусов. Лоток В ччвогч один конец кат. дога конического сегмента равен и протиеопо.ттек чютокд екать другой конек. Общий поток кг поверхносчаи Э пьмаомр равен нулю. 81 достаточно только показать, что это справедливо тогда, когда «торцы» малы и стягивают малый угол с вершиной в источнике, т. е. в действительности бесконечно малый угол. На фиг.
4.6 показана поверхность Я, «боковые грани» которой радиальны, а «торцы» перекошены. На рисунке они не малы, но надо представить себе, что на самом деле они очень малы. Тогда поле Е над поверхностью будет достаточно однородным, так что можно взять его значение в центре. Если торец наклонен на угол О, то его площадь возрастает в 1!сод О раа, а ń— компонента Е, нормальная к поверхности торца, убывает в соэ О раз, так что проиаведение Е„йа не меняется. Поток из всей поверхности О' по-пре»кнему равен нулю. Теперь уже легко разглядеть, что и ноток из объема, окру>пенного проиддольндй поверхностью Я, обязан быть равным нулю. Ведь любой объем можно представить себе составленным из таких частей, как на фиг. 4.6.
Вся поверхность разделится на пары торцевых участков, а поскольку потоки через каждую иа них внутрь и наружу объема попарно уничтожаются, то и суммарный поток через поверхность обратится в нуль. Идея эта иллюстрируется фиг. 4.7. Мы получаем совершенно общий результат: суммарный поток Е через любую поверхность Б в поле точечного заряда равен нулю. Ф и г, 8.8. Если варлд находитсл внутри поверхности, поток наружу нв равен нулю. Будьте, однако, внимательны! Наше доказательство работает только тогда, когда поверхность Я не окружаел» заряд.
А что случилось бы, если бы точечный заряд оказался внутри поверхности? Как и раньше, поверхность можно было бы разделить на пары площадок, связанные радиальными прямыми, проходящими через заряд (фиг. 4.8). Потоки через эти участки по той же причине, что и раньше, по-прежнему попарно равны, но только теперь их знаки одинаковы.
Поток из поверхности, окружающей заряд, не равен нулю. Тогда чему нее он равен? Это можно определить с помощью фокуса. Допустим, что мы «убрали» заряд «изнутри», окружив его маленькой поверхностью Я' так, чтобы она ленсала целиком внутри первоначальной поверхности Ю (фиг. 4.9). Теперь в объеме, заключенном л«ежду двумя поверхностями Я и Я', никакого заряда нет.
Общий поток из этого объема (включая поток через Я') равен нулю, в чем можно убедиться при помощи прежних аргументов. Они говорят нам, что поток через Я' внутрь объема такой же, как поток через Я наружу. Для Я' мы можем выбрать любую, какую угодно форму, поэтому давайте сделаем ее сферой с зарядом в центре (фиг. 4ЛО). Тогда поток через нее подсчитать легко. Если радиус малой сферы равен г, то значение Е повсюду на ее поверхности равно 1Х 4вео е' и направлено всегда по нормали к поверхности. Весь поток Ф и г. д.д. Поток черве Я равен котову черве 8'. Ф и г. «ПО. Поток черег сйериче- скую поверхность, охватывающую точечнив гаряд д, равен Ч'ев. через Г получится, если эту нормальную составляющую г." умножить на площадь поверхности: Поток чеРез повеРхность о' ~ — тв (4лге) ч, (4.3вх) ~«пес св ~ ео ' т.
е. равен числу, не зависящему от радиуса сферы! Значит, и поток наружу через Я тоже равен дт'зо; это значение не зависит от формы Я до тех пор, пока заряд о находится внутри. Наши выводы мы можем записать так: ( О; д снаружи Я, Е Иа= l Провввояьяая ( —; д Внутри Я. поверхность 3 (, Ео (4.32) Давайте вернемся к нашей аналогии с «дробинками» и посмотрим, есть ли з ней смысл. Наша теорема утверждает, что суммарныи поток дробинок через поверхность равен нулю, если поверхность не окружает собой ружье, стреляющее дробью. А если ружье окружено поверхностью, то какого бы размера нли формы она ни была, количество проходящих через нее дробинок всегда одно н то же — оно дается скоростью, с которой дробинки вылетают из ружья.
Все это выглядит вполне разумно для сохраняющихся дробинок. Но сообщает ли эта модель нам хоть что-то сверх того, что получается просто нз уравнения (4.32)с Никому не удалось добиться того, чтобы «дробинки» произвели на свет что-нибудь сверх этого закона. Кроме него, онн порождают только ошибки. Поэтому-то мы сегодня предпочитаем чисто абстрактное представление об электромагнитном поле. й 6. Замов« Хаусса; деееергенцеея е»оля Е Наш изящный результат — уравнение (4.32) — был доказан для отдельного точечного заряда.
А теперь допустим, что имеются два заряда: заряд дд — в одной точке и заряд зз — в другой. Задача выглядит уже потруднее. Теперь электрическое поле, нормальную составляющую которого мы интегрируем, это уже поле, созданное обоими зарядами. Иначе говоря, если Е,— то электрическое поло, которое создал бы один только заряд д„а Ев — электрическое поле, создаваемое одннмаарядом д„ то суммарное электрическое поле равно Е =Е,+Ех. Поток через проиввольную замкнутую поверхность Я равен ) (Е,„+Е.„,) да= ) Е,„да+ ) Е „е)а.
(4.33) Закон Гаусса: Сумма вврндов внутри и а =- е а (4.34) л~ооая ваминутая поверхность Я или Е нс)а='с«ЯУ'Г ее Любая (4.35) аамвнутая поверхность 3 где Х рр Внутри 6 (4.36) Если мы описываем расположение зарядов на языке плотности зарядов р, то мы можем считать, что каждый бесконечно малый объем еЛУ содержит «точечный» заряд ре(ех, Тогда сумма по всем зарядам есть интеграл е)саут»= оа Руе~ (4.37) Объем внутри 3 Из нашего вывода видно, что закон Гаусса вытекает из того факта, что показатель степени в ааконе Кулона в точности равен двум. Поле с законом 1!гв, да и любое поле 1(г' с лФ2, не привело бы к закону Гаусса.
Значит, закон Гаусса как раз Поток при наличии двух зарядов — это поток, вызванный одним зарядом, плюс поток, вызванный другим. Если оба находятся снаружи Яа то поток сквозь Ю равен нулю. Если дх находится внутри Я, а дт — снаружи, то первый интеграл даст а),7з„а второй — нуль. Если поверхность окружает оба заряда, то каждый внесет вклад в интеграл н поток окажется равным (дт+е)х)/са. Общее пРавило очевидно: сУммаРный поток из замкнутой поверхности равен суммарному заряду внулери нее, деленному на б,.
Зтот результат представляет собой важный общий закон электростатического поля, и называется он теоремой Гаусса, или законом Гаусса: выражает (только в другой форме) закон сил Кулона, действующих,меягду двумя зарядами. Действительно, отправляясь от закона Гаусса, можно вывести закон Кулона. Оба они совершенно равноценны до того момента, пока силы между зарядами действуют радиально. Теперь мы хотим записать закон Гаусса на языке производных. Чтобы это сделать, применим его к поверхности бесконечно малого куба.
В гл. 3 мы показали, что поток К из такого куба равен дивергенции и Е, помноженной на объем Л' куба. Заряд внутри Л'по определению р равен рЛ', так что закон Гаусса дает или т,К Е (4.38) гз Дифференциальная форма закона Гаусса — зто первое из наших фундаментальных уравнений поля в электростатике, уравнение (4.5).
Мы теперь показали, что два уравнения злектростатики (4.5) и (4.6) эквивалентны закону силы Кулона. Разберем один пример применения закона Гаусса (другие примеры будут рассмотрены позже), 3( У. Поле варяэгсенного жара Одной из самых трудных задач, которую пришлось нам решать, когда мы изучали теорию гравитационного притяжения, было доказать, что сила, создаваемая твердым шаром на его поверхности, такая же, как если бы все вещество шара было сконцентрировано в его центре. Много лет 11ьютон не решался обнародовать свою теорию тяготения, так как пе был уверен в правильности этой теоремы.
Мы доказали ее в вып. 1, гл. 13, взяв интеграл для потенциала и вычислив силу тяготения по градиенту. Теперь эту теорему мы можем доказать очень просто. Но на этот раз мы докажем не совсем ее, а сходную теорему для однородно заряженного электричеством шара. (Поскольку законы злектростатики и тяготения совпадают, то то же доказательство может быть проведено и для поля тяготения.) Зададим вопрос: каково электрическое поле Е в точке Р где-то снаружи сферы, наполненной однородно распределенным зарядом?Так как здесь нет «выделенного» направления, то законно допустить, что Е всюду направлено прямо от центра сферы.
Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность, концентрическую со сферой зарядов и проходящую через точку Р (фиг. 4.11). Для этой сферы поток наружу равен ) Е„г~в=-Е 4лЛ'. Ф и г. 4.11. Примевгение гапона Гаусса д.гя определения поля однородно гаряясенного шара. г — рсспредел ние гсрлда ог 2 — гадсшва повврянсстг д. Закон Гаусса утверждает, что этот поток равен суммарному заряду сферы ~',1 (деленному на е,): Е йгягггап —, ф го р.'— (4.39) а это как раз та формула, которая получилась бы для точечного заряда г~. Мы решили проблему Ньютона проще,без интеграла, Конечно, зто кажущаяся простота; вам пришлось затратить какое-то время на то, чтобы разобраться в законе Гаусса, н вы можете думать, что на самом деле время нисколько не сзкономлено. Но когда вам придется часто применять эту теорему, то она практически окупится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
