Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 26
Текст из файла (страница 26)
д. Все зто можно сделать, не нарушая ранее установленных правил. Таким образом мы приходим к числам, которые можно записать в виде р+!д, где р и д — числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действигпельными числами. Число г называют мнимой единиг1егг, а произведение действительного числа на мнимую единицу— чисто мнимым числом. Самое общее число а имеет вид а =р+гд, и его называют козгплексным числом. Обращаться с комплексными числами несложно; например, нам надо вычислить произведение (г+гв)(р+гд). Вспомнив о правилах, мы получим (г+ гв)(р + гд) = гр + г (гд) + (гв) р + (гв) (гд) = = гр-)- г (гд)-)- г (вр)+ (гг) (вд) = (22.4) =(гр — д)+ (гд+ р).
потому что гг=Р= — 1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (22.1). Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы ока кете: «Рано говорить об общем выражении, надо еще определить, например, возведение в мнимую степень, а потом можно придумать много алгебраических уравнений, ну хотя бы х'+Зх'= — 2, для решения которых потребуются новые числа». В том-то н дело, что, кроме действительных чисел, достагпочно изобрести только одно число — квадратнып корень из — 1, после этого лголсно решить любоеалеебраическоеуравнение) Эту уднвительную вещь должны доказывать уже математики.
Доказательство очень красиво, очень интересно, но далеко не самоочевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожидать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова н снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобретение, Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные чпсла в комплексную степень и выражать решение любого алгебраического уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет.
Например, квадратный корень из г, или гч — опять те же комплексные числа. Сейчас мы рассмотрим зто подробнее. Мы уже знаем, как надо складывать и умножать комплексные числа; сумма двух комплексных чисел (р+гд)+(г+гв) — это число (р+г)+г (д+в). Но вот возведение комплексных чисе г в комплексную стеггень — уже зачача потруднее. Однако она оказывается не труднее задачи о возведении в комплекснуго степень действительных чисел. Посмотрим поэтому, как возводится в комплексную степень число 10, не в иррациональнуго, а комплексную; нам надо знать число 10""и. Правила (22.1) и (22.2) несколько упрощают задачу 10" вг" = 10'10".
(22. 5) Н8 Мы знаем, как вычислить 10', перемножить числа мы тонге умееи, не умеем только вычислить 10". Предположим, что это комплексное число х+1у. 3 а д а ч а: дано в, найти х и у. Если 10ы=х+ ю'у, то должно быть верным п комплексно сопряженное уравнение 10 "=х — ?д. (Некоторые вещи можно получить и без вычислений, надо просто использовать правила.) Перемножая эти равенства, можно получить еще один интересный результат 10"10-"= 10' = 1 = (х-,'- )у)(х †?у) =х' +у*. (22,6) Если мы каким-то ооразом найдем х, то определить у будет очень легко. Однако как все-таки возвести 10 в мнимую степень? Где искать помощи? Правила яам уже не помогут, но утешает вот что: если удастся возвести 10 в какую-нибудь одну мнимую степень, то ничего не стоит возвести 1О уже в любую степень.
Если известно 10" для одного значения г, то вычисление в случао вдвое болыпего в сводится к возведению в квадрат и т. д. Но как зке возвести 10 в хотя бы одну мнимую степень? Для этого сделаем дополнительное предположение„его, конечно, нельзя ставить в один ряд с правилами (22.1) и (22.2], но оно приведет к разумным результатам и позволит нам шагнуть далеко вперед.
Предполозкпм, что «закона 10'=1+2,3025з (когда с очень мало) верен не только для действительных, нв и для комплексных с. Если это так, то 10'=-1+2,3025. гз при в- О. Предполагая, что г очень мало (скажем, равно 1,'1024), мы получаем хорошее приближение чвсла 10".
Теперь можно составить таблицу, которая позволит вычислить все мшы|ые степени 10, т. е. найти числа х и у. Надо поступить так. Начнем с показателя 111024, который мы считаем равным примерно 1+2,3025 1/1024. Тогда 10и~оз4 1 00000 + 0 00224861 (22.7) Умножая это число само на себя много раз, мы дойдем до степеней более высоких. Ыы просто-напросто перевернулп процедуру составления таблицы логарифмов и, вычислив квадрат, 4-ю степень, 8-ю степень и т.
д. числа (22.7), составили табл. 22.3. Интересно, что сначала все числа х были положительными, а потом вдруг появилось отрицательное число. Это значит, что существует число в, для которого действительная часть 10" равна нулю. Значение у в этом случае равно 1, т. е. 10"=1, или 1в=)од„й В качестве примера (см. табл. 22.3) вычислим с ее помощью !од1вй Процедура поиска 1ои,в1 в точности повторяет то, что мы делали, вычисляя )оя, 2. П9 Таблица 22,3 ° последователь»1ое вычисление БВАДРА'УОВ 1001004 =1+0,0022486 1 10Ь С ~снсныь 1Оэсп ~ !024 1 1, 00000 +О, 00225ь ~ 51» 1 256 1 128 1 61 ~ 32 ~ 16 18 * Дслжнс бить 0.00201»Я. Произведение каких чисел нз табл. 22.3 равно чисто мнимому числу? После нескольких проб и ошибок мы найдем, что луч»яе всего умножить «512» на <428». Их произведение равно 0,13056+0,991446 Приглядевшись к праввлу умножения комплексных чисел, можно понять, что надежду па успех сулит умножение этого числа на число, мнлмая часть которого приблизительно равна депствительной части вашего числа.
Мнимая часть 464» равна 0,14349, что довольно близко к 0,13056. Произведение этих чисел равно — 0,01350+0,999931. Мы перескочили через нуль, поэтому результак нужно разделить на 0,99996 — , '0,00900 1. Иак зто сделать? Изменим знак 1 и умножнм на 0,99996 — 0,00900 1 (ведь х»+у'==1). В конце концов обнаружим, что если возвести 10 в степень 1(1!1024) (512+128+ +64 — 4 — 2 —,' 0,20) или 698,20171024, то получится мнимая единица. Таки»1 Образом, 1ояьс 1.=-0,06822612 4»4 6. Миил»ь»е эъспоненнгы Чтобы лучше понять, чтб такое число в мнимой степени, вычислим последова»пельнь»е степени десяти.
Мы не будем каждый раз удваивать степень, чтобы не повторять табл. 22.3, и посмотрим, что случится с действительной частью после того, как она станет отрицательной. Результат можно увидеть в табл. 22.4. В этой таблице собраны последовательные произведения числа 1000. Видно, что х уменьшается, проходит через нуль, достигает почти — 1 (в промежутке между р='10 и р=11 величина 2 / 8 16 32 128 255 512 1024 1,00000+0,00400 1 О, 99996-'г О, 00900 1 О, 99984 + О, 01800 1 0,99936+0,03599 1 0 99742л-0 07193 1 0,98967- 0,14349 1 0,95885-,'-0,28402 1 0,83872+0,54467 1 0,40679 +0,91365 1 — 0,66928+0,74332 1 1О вхт1 йв н в.
22.1. Вен1ввтвеннвв н мнввнвя вввтн11 б внхянн оы о точно равна — 1) и возвращается назад. Точно так же величина р ходит взад-вперед. Точки на фкг. 22,1 соответствуют числам, приведенным в табл. 22.4, а соединяющие их линии помогают следить за изменением х и у.
Видно, что числа х и у осциллирутот; 10" повторяет себя. Легко объяснить, почему так происходит. е ПОСЛВЛОВНтнЛЬНЫН П ОПЗВГджвяя ЧПСЛЛ Вб цв Тпквнзн 22.4 19ВР,'в Р=ГНЕП. НЬ Ев В~ =. Степень В в 1рвр в Ведь 1 в четвертой степени — это 1з в ввеадраше. Это число равно единице; следовательно, если 10" "' равно 1, то, возведя зто число в четвертую степень, т. е. вычислив 10™, мы получим -',-1. Если нужно получить, напрнмерв 10'"в', то нужно умножить 10'"' на 10"'"'.
Иначе говоря, функция 10" повторяется, имеет период. 61ьг уже знаем, как выглядят такие кривыо! Оян похожи на график синуса или косинуса, и мы назовем их на время алгебраическим синусом и алгебраическим косинусом. Теперь перейдем от основания 10 к натуральному основанию.
Зто только изменит масштаб горизонтальной осп; мы обозначим 2,3025г через 1 и напишем 10"=евт, где 1 — действительное число. Иавестно, что е' =х+19, и мы запишем зто число в виде и еи = сов 1-1- в р) и 1. 122.8) 0 1 2 4 6 1 8 9 1,00000 —;- 0,00000 1 0,95882 .+ 0,284021 0,83867 + 0,544651 0,64944+ 0,760421 0,40672 + 0,913561 0 13050 + 0,991461 — 0,15647 + 0,987701 — 0,48055 + 0,902601 — 0 66917 -~- 0,743151 — 0,851268 + 0,522491 ш 11 12 14 16 18 20 22 24 — 0,96596 — ', 0.25880е — 0,99969 в 0,026201 — 0,95104 †,30905в — 0.62928 — 0,777171 — 0,10441 — 0,994531 -1-0,4545в — 0,89098 в + 0,86648 — 0,499671 + 0,99884+ 0,052871 + 0,80890 + 0,588361 с» и г, зслз. Ломнлексное »чего как мочка еа ввогвости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
