Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Их можно определить так. Предположи»и что нам заданы а н с; как найти Ь, удовлетво1»яющее уравнениям а+Ь=.с, ад=с, Ь"=ср Если а+6=с, то Ь определяется при помощи вычитания; Ь=с — а. Столь же проста операция деления: если ад=с, то Ь=-с«а; это решение ура вн ения аЬ =с «задом наперед». Если вам встретится степенно Ь'=-с, то надо запомнить, что Ь называется корнем а-й степени пз с.
Например, на вопрос: «Какое число, будучи возведенным в куб, дает 8?» — следует отвечать: «кубический корса» нз 8, т. е. 2». Обратите внимание, что, когда дело доходит до степени, появляются две обратные операции. Действительно, ведь раз а" н Ь" — различные числа, то можно задать и такой вопрос: «В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8?» В этом случае прнходптся брать логарифм.
Если а»=-с, то Ь =.— 1од,с. Не надо пугаться громоздкой записи числа Ь в этом ел »в чае; находить его так же просто, как и результаты других обратных операций. Хотя логарифм «проходят» гораздо позже корня, это такая же простая вещь: просто-напросто это разного сорта решения алгебраических уравнений. Выпишем вместе прямые и обратные операции: а) сложение В чем же идея? Выписанные соотношения верны для целых чисел, потому что онп выводятся из определений сложения, умножения и возведения в степень.
Подумаем, нельзя ли расширить класс обьектов, которые по-прежнему будут обозначаться буквами а, Ь и с и для копгорых по-прежнему будут верны все сформулированные нами правила, хотя сложение уже нельзя будет понимать как последовательное увеличение числа на единицу, а возведение в степень — как последовательное перемножение целых чисел. Ь л. Шиг в сгпороыу ы обобггленме Если кто-нибудь, усвоив наши определения, приступит к решению алгебраических уравнений, он быстро натолкнется на неразрешимые задачи.
Решите, например, уравнение Ь=-3 — 5. Вам придется в соответствии с определением вычитании найти число, которое дает 3, если к нему добавить 5. Перебрав все целые положительные числа (а ведь в правилах говоритсн только о таких числах), вы скажете, что задача не решается. Однако можно сделать то, что потом станет системой, великой идеей: наткнувшись на неразрешимую задачу, надо сначала отойти в сторону, а затем обобщить.
Пока алгебра состоит для нас из правил и целых чисел. Забудем о первоначальных определениях сложения и умножения, но сохраним правила (22.1) и (22.2) и предположим, что они верны вообще не только для целых положительных чисел (для нпх эти правила были выведены), а для более широкого класса чисел.
Раньше мы записывали целые положительные числа в виде символов, чтобы вывестп правила; теперь правила будут определять символьц о символы будут представителями каких-то более общих чисел. Манипулируя правилами, можно показать, что 3 — 5=-0 — 2. Давайте определим новые числа: 0 — 1, 0 — 2, 0 — 3, 0 — 4 и т. д. и назовем их целыми отрицательными числами. После этого мы сможем решить все задачи на вычитание. Теперь вспомним и о других правилах, например а(Ь+с)=-аЬ+ас; это даст нам правило умножения отрицательных чисел. Перебрав все правила, мы увидим, что они верны как для положительных, так и для отрицательных чисел.
Мы значительно расширили область действия наших правил, но достигли этого ценой изменения смысла символов. Уже нельзя, например, сказать, что умножить 5 на — 2 значит сложить 5 минус два раза. Эта фраза бессмысленна. Тем не менее, пользуясь правилами, вы всегда получите верный результат. Возведение в степень приносит новые хлопоты. Кто-нибудь обязательно захочет узнать, что означает символ а'з ". Мы знаем, что 3 — 5 это решение уравнения (3 — 5) +5=3. Следовательно, по мы знаем, что а" ма'=аз. Теперь можно разделить на а', тогда а" м=а'~а'. Еще одно усилие, и вот окончательный результат: а" м=('а'-.
Таким образом, мы установили, что возведение числа в отрицательную степень сводится к делению единицы на число, возведенное в положительную степень. Все было бы хорошо, если бы 1,'а' не было бессмысленным символом. Ведь а — это целое положительное нли отрицательное число, значит, аз больше единицы, а мы не умеем делить единицу иа числа, большие чем единица! Система так система. Натолкнувшись на неразрешимую задачу, надо расширить царство чисел. На этот раз нам трудно делить: нельзя найти целого числа ни положительного, ни отрицательного, которое появилось бы в результате деления 3 иа 5. Так назовем это и другие подобные ему числа рациональными дробями и предположим, что дроби подчиняются тем же правилам, что и целые числа.
Тогда мы сможем оперировать дробями так же хорошо, как и целыми числами. Еще один пример на степень: что такое ач? Мы знаем только, что ('?~) 5=3, ибо это определение числа '1», п еще, что (а'ь)'=аег» ь, ибо это одно из правил. Вспомнив определению корня, мы получим аою= ~~'а~. Определяя таким образом дроби, мы не вводим никакого произвола.
Сами правила следят за тем, чтобы подстановка дробей вместо написанных нами символов не была бессмысленной процедурой. Замечательно, что эти правила справляются с дробями так же хорошо, как и с целыми числамп (положительными и отрицательными)! Пойдем дальше по пути обобщения. Существуют ли еще уравнения, которых мы не научились решать? Конечно. Например, нам не под силу уравнение 6=2ч =г'2. Невозможно найти рациональную дробь, квадрат которой равен 2. В наше время это выяснить довольно просто. Мы знаем десятичную систему и не пугаемся бесконечной десятичной дроби, которую можно использовать для приблиязения корил яз двух. Хотя идея такого приближения появилась еще у древних греков, однако усваивалась она с большим трудом.
Чтобы точно сформулировать суть такого приближения, надо постичь такие высокие материн, как непрерывность и соотношения порядка, а это очень трудный шаг. Это сделал Дедекинд очень точно н очень формально. Однако, если не заботиться о математической строгости, легко понять, что числа типа )/2 можно представить в виде целой последовательности десятичных дробей (потому что если остановиться на какой-нибудь десятичной дроби, то получится рациональное число), которая все ближе и ближе подходит к желанному результату.
Втих знаний нам вполне достаточно; они позволят свободно обращаться с иррациональными числами и вычислять числа типа ~' 2 с нуясной точностью. Нг ф А хХрггблггженное егмммеленне нрргхг(ноныльных чисел Теперь такой вопрос: как возвести число в иррациональную степень? Например, нам хочется узнать, что такое 10"з ° Ответ в принципе очень прост. Возьмем вместо )/2 его приближение в виде конечной десятичной дроби — зто рациональное число. Возводить в рациональную степень мы умеем; дело сводится к возведению в целую степень ц пзвлеченшо корня. Мы получим >гриближенное значение числа 10' й. Можно взять десятичную дробь подлиннее (зто снова рациональное число). Тогда придется извлечь корень большев степени; ведь знаменатель рациональной дроби увеличится, но зато мы получим более точное приближение. Конечно, если взять приближенное значение )~ 2 в виде очень длинной дроби, то возведоние в степень будет делом очень трудным.
Как справиться с этой задачей? Вычисление квадратных корггей, кубпчяых корней н других корней невысокой степени — вполне доступный нам арифметический процесс; вычисляя, мы последовательно, один за другим, пишем знаки десятичной дроби. Но для того, чтобы возвести в вррациональную степень плн взять логарифм (решить обратную задачу), нужен такой труд, что применить прежнгою процедуру уже не просто. На помощь приходят таблицы.
Их называют табпщамп логарифмов плп таблнцамн степеней, смотря по тому, для чего онп предназначены. Они экономят время: чтобы возвести число в иррациональную степень, мы пе вычисляем, а только перелистываем страницы. Хотя вычисление собранных в таблицы значений — процедура чисто техннческая, а все же дело это интересное и имеет болыпую историю. Поэтому посэютрим, как это делается. Мы 1'. вычислим не только х=-10 ', но решим и другую задачу: 10"=2, или х= — !одм2. При решении этих задач мы не откроем новых чисел; это просто вычислительные задачи. Решением будут иррациональные числа, бесконечные десятичные дроби, а их как-то неудобно объявлять новым видом чгисел.
Подумаем, как решить наши уравнения. Общая идея очень проста. Если вычислить 10' н 10', и 10' '", и 10' -», и т. д., а затем перемножить результаты, то мы получим 10""'", или 10 ' . Поступая так. мы решим любуго задачу такого рода. Однако вместо 10' ° и т. д. мы будем вычислять 10', 100 и т. д. Прежде чем начинать вычисления, объясним еще, почему мы обращаемся к числу 10 чаще, чем к другим числам. Мы знаем, что значение таблиц логарифмов выходит далеко за рамки математической задачи вычисления корней, потому что ! одз (ас) =-)ояг а+ )ояьс. (22.3) Это хорошо известно всом, кто пользовался таблицей логарифмов, чтооы перехшожить числа.
По какому же основаншо Ь брать логарифмы? Это безразлпчно; ведь в основу таких вычислений положон только принцип, общее свойство логарифмической функции. Вычислив логарифмы один раа по какому-нибудь произвольному основанию, можно перейты к логарифмам по другому оспоашпыо прп помощи улшо;кеппя. Если умножпть уравнение (22.3) па 61, то опо останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию о на 61, то южно будет пользоваться и такой таблицей. Продположпы, чтэ нам известны логарифмы всех чисел по основанию Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
