Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Сделать это обычно довольно трудно, потому что силы трения очень сложны. Однако во многих случаях можно считать, что сила трения пропорциональна скорости движения объекта. Именно такое трение препятствует медленному движению тола в масле плп другой вязкой жидкости. Еогда предмет стоит на месте, на него не действуют никакие силы, но чем скорее он движется н чем быстрее масло долэкно обтекать этот предмет, тем больше сопротивление. Таким образом, мы предположим, что в (23.2), кроме уже написанных членов, существует еще один — сила сопротивления, пропорциональная скорости: Р~ — — — с(6х~И). Удобно записать скак произведение т на другую постоянную у; зто немного упростит уравнение. 127 илн, если положить с=лгу и й=же1,' и поделить обе части на пг, гР»»х» Р— +у — ~-ю,х=— ш' а» (23. ба ) Это самая удобная форма уравнения.
Если у очень мало, то мало и трение, и, наоборот, болыпие значения у соответствуют громадному трению. Как решать это новое линейное уравнение? Предположим, что внешняя сила равна г' соз(оы-',-Л); но кно было бы подставить зто выражение в (23.6а) и попытаться решить полученное уравнение, по мы применим наш новый метод. Представим Г как действительную часть Рехр(ыы), а х — как действительную часть хехр(»озГ) и подставим зги комплексные числа в (23.6а).
Собственно говоря, и подставлять-то нечего; внимательно посмотрев на (23.6а), вы тут же скажете, что оно превратится в е'" (( (ю)»х+у ((о>) х+ю,х]= — с'"'. (23. 7) )Если бы мы попытались решать (23.6а) старым прямолинейным способом, то оценили бы по достоинству магический »комплексный» метод.) Поделив обе части уравнения на елр(~ю1), найдем отклик осциллятора хна силу Р. (23.8) ~'~ (ыо ы ) уы) Итак, отклик х равен силе Р, умноженной на некоторый множи- тель.
Этот множитель не имеет нн названия, ни какой-то своей собственной буквы, и мы будем обозначать его буквой Л: т (ы — и'. г ц'ы) тогда х =- Гг». (23. Ч) Этот множитель можно записать либо как р+гд, либо как рехр(»()). Запишем его в виде рехр(~0) и посмотрим, к чему это приведет. Внешняя сила — зто действительная часть числа Г»ехр(аЛ)ехр(»е»г), она ранна г»соз(»о8+Л). Уравнение (23.9) говорит нам, что отклик х равен г'Л; мы условились 128 Мы уже проделывали такойфокус, когда заменяли А на лго»„, чтобы упростить вычисления. Итак, ванге уравнение имеет вид т —, Фс — +йх=Р, а»» ах ш' »л ' (23.6) Ф и е.
Хх.е. Графин эаеасиаасаес р Оес сэ. писать сс в виде И=-рехр(сО); следовательно, х=-гсг'= рессор' е'-'= рР е""+э', о э Вспоаснзсхс (оо этом уже говорилось), что физическое значение х, равное действительной части комплексного числа х, равно дей- ствителыюй части рг',ехр(с(0+Л))ехрсссеэс). Но р и Р,— действительны, а депстспплельиая часть ехр(1(О+Л+сос)) — зто просто соз(ю1+Л+О). Такам образом, х= — рР'„соз (сэс —; Л О-О). (23.
10) Зто значит, что амплитуда отклика равна амплитуде силы Р, умноженяой на коэффициент усиления р; мы нашли ссразхсах» колебаний. Но это еще не все: видно, что х колеблется не в такт с силой; фаза силы равна Л, а у х опа сдвинута на дополни- тельную величину О. Следовательно, р и О -- это величина и фазовый сдвиг отсслика, Найдем теперь значение р. Нвадрат модуля любого комп- лексного числа равен произведению этого числа на комплексно сопряженное, т. е. с ! вя (сэе — и — су») ( „— »' — Ст: ) — (23.11) ссс ) (и — и") + т"са'-~ Можно найти и фазовый угол О 1 1 1 и с э с — = —.; — = — е = сп (соэ — ю — ' сусо); я ре' р значит, та О=в усе (~со '" ) (23.12) Знак минус возник оттого, что 1я( — О) = — 1яО.
Угол О отрицате- лен при всех значениях ю, т. е. смеШение х отстает по фазе от силы г". Ф и г, 2й.й. Гр«4«и а««и««масти 'й»и» аи -90 На фпг. 23.2 показано, как изменяется рг при изменении частоты (р» для физика интереснее, чем р, потону что оз пропорционально квадрату амплитуды, а значит, и той энергии, которую передает осциллятору внешняя сила). Очевидно, что если у мало, то основной член в (23.11) — это 1'(«е'„— гог)», и отклик стремится к бесконечности, если го приближается к ш . Но эта «бесконечность» — не настоящая бесконечность, потому что даже если а»=-со«, то все еще остается слагаемое 1/у»«э».
Зависимость сдвига фазы от частоты изображена на фпг. 23.3. Иногда приходится иметь дело с формулоп, немного отличающейся от (23.8); она тожо называется «резонансной» и, несмотря иа некоторое отличие от (23.8), описываег те же самые явления. Дело в том, что если значение у очень мало, то наиболее пптересная область резонансной кривой лежит около частоты о»=а»«, а здесь при малых у формулу (23.8) с большой степенью точности можно заменить приближенной формулой.
Поскольку оэ» — <»з=(ш,— ю)(ы,+ш), то для «», очень близких к а»«, разность квадратов почти равна 2»»«(оэ« — еэ), а уы моя<но заменить на ую«. Значит, оэ'„— го»+»уоэ 2«э«(оэ» — о»+»у)2) и д х —,, „,, если у<- ээ«и е» = ы«. (23.13) "гиыг («'» «' г'1 -) Легко найти п р'. ) Р 4»»'ы, '((ы» — «»)г+у')а) Л теперь решите сами такую задачу: с увеличением частоты значение рг сначала растет, достигает при ш„макснмума, а потоп снова убывает. На каком расстоянии от «»» располох«епы частоты, которым соответствуют значения р', вдвое меньшие максимального? Покажите, что при очень малом у эти точки отстоят друг от друга на расстояние е»«»=у. Это значит, что реаонанс делается более острым по мере того, как влияние трения становится все слабее и слабее.
Другой мерой ширины резонанса может служить «добротность»)г=го»)у(чемуже резонанс, тембольше ),')); еслибы=1000, 130 то по гпкале частот ширина резонансной кривой равна всего 0,001. Резонансной кривой на фиг. 23.2 соответствует г'1=-,'ь Явление резонанса важно потому, что оно проявляетсядовольно часто; описанию некоторых видов этих проявлений мы посвятим остаток главы.
ф о. Элекмгрглмескнй резонынс Простейшие и самые широкие технические применения резо- паис нашел в электричестве. Имеется довольно много устройств, нз которых сооираются электрические цепи. Их часто называют пассивными элеменшами г1еви, и бывают они трехтипов, хотя в каждый элемент одного типа всегда примешано чуточку элементов других типов. Прежде чем подробно описать эти алементы, заметим, что наше представление о механическом осцнлляторе как о массе, подвешенной к концу пружины, всего лишь приближение. В «массе» сосредоточена вовсе не вся масса системы: пружина тоже обладает какой-то массой, пруягина тоже инерционна. Точно так же впружннаг не состоит из одной пружины, масса тоже немного упруга, а не абсолютно тверда, как это может показаться. Подпрыгивая вверх и вниз, опа слегка изгибается под толчками пружины.
Так же обстоит дело и в электричестве. Расположить все предметы по еэлементам цепиь с чистыми, идеальными характеристиками можно только приближенно. Так как у нас нет времени обсуждать пределы таких приближений, мы просто предположим, что они допустимы. Итак, о трех элементах цепи. Первый называется еггвостью (фггг. 23.4); в качестве примера емкости могут служить две металлические пластинки, разделенные тонким слоем диэлектрика. Если пластинки зарядить, то между ними возникает разность потенциалов.
Та же самая разность потенциалов будет ыеггвду точками А и В, потому что при любой дополнительной разности потенциалов вдоль соединительных проводов заряды стекут по проводам. Таким образом, заданной разности потенциалов Ь' между пластинками соответствуют определенные заряды +гг и — д на каждой пластинке. Между пластинками существует некое электрическое поле; мы даже вывели соот- +++ +++ гй и е. Ив,4. Три иаееивиии елемеита ивэи. и и Г е азсвгь севрпювееевве И еухмвввеппь 131 ветствующую формулу для него (см. гл.
13 и 14) (г оа чгг (23.14) е,л де гг — расстояние между пластинками, А — площадь пластинок. Заметим, что разность потенциалов линейно зависит от заряда. Если построить емкость не из параллельных пластин, а придать отдельным электродам какую-нибудь другую форму, разность потенциалов будет по-прежнему пропорциональна заряду, но постояннук> пропорциональности не так-то легко будет рассчитать. Однако надо знать только одно: разность потенциалов между концами емкости пропер>!>>опалена заряду '>>=-гр С; множитель пропорциональности равен 1, С (С и есть емкость объекта).
Второй элемент цепи называется сопротиелепием; этот элемент оказывает сопротивление текущему через него электрическому току. Оказывается, что все металлические провода, а так>не многие другие материалы сопротивляются току одинаково; если к концам куска такого материала приложить разность потенциалов. то электрический ток в куске 1 — — -его,'а>Г будет пропорционален приложенной разности потенциалов )г= ЛС =В ~о, (23.15) Коэффициент пропорциональности называют сопротивлением Л.
Соотиошенгге между током и разностью потенциалов вам, наверное, уже известно. Это закон Ома. Если представлять себе заряд, сосредоточенный в емкости, как нечто аналогичное смещению механической системы х, то электрический ток гггр'сгс аналогичон скорости, сопротивление Л аналогично коэффициенту сонротявлеяия у, а 1>С аналогично постоянной упругости пружины )с. Самое интересное во всем этом, что существует элемент цепи, аналогичный лассе! Это спираль, порождающая внутри себя магнитное поле, когда через нее проходит ток. Из.>гонение магнитного поля порождает на концах спирали разность потенциалов, пропорциональную И,гггг. (Это свойство спирали используется в трансформаторах.) Магнитное поле пропорционально току, а наведенная разность потенциалов (так ее называют) пропорциональна скорости изменения тока (23.16) Коэффициент Ь вЂ” это коэффициент сазгоиндукггии; он является электрическим аналогом массы.
Предположим, мы собпраем цепь из трех последовательно соединенных элементов (фиг. 23>.5); приложенная между точками 1 и 2 разность потенциалов заставит заряды двигаться по цепи, тогда на концах каягдого элемента цепи тоже возникает 13Х Разность потенЦиалов: на конЦах инДУктивности)гс=Ь(Рй(с)(т), на сопРотивлении Ря —— )((Щ1А), а на емкости )~ =фС. СУмма этих напряжений дает нам полное напряжение У: (23.'17) Мы видим, что зто уравнение в точности совпадает с механическим уравнением (23.6); будем решать его точно таким же способом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
