Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При самом общем определении по формуле (24.7) г',) зависит от аг. Если мы имеем дело с хорошим осциллятором вблизи резонансной частоты, то (24.7) можно упростить, полоягнв ю=юю тогда г~= — ог,!у; такое определение г3 было дано в предыдущей главе. Что такое г,) для злоктрической цепи? Чтобы найти эту величину, надо заменить т на уо лгу на гг и тэг,' на 1/С (см. табл. 23.1).
Тогда !',! в точке резонанса равна уог)Л, где ю — резонансная частота. В цепи с большой 1,> запасенная цепью энергия велика по сравнению с работой за один цикл, производимой поддерживающей колебания в цепи машиной. ф М. Затуэ'амггг4ые молебаныя Вернемся к основной теме — переходным регпениям. Переходными решениями называются решения дифференциального уравнения, соответствующие ситуацил, когда внешняя сила не действует, но система тем не менее не находится в покое. (Ионечно, лучше всего решать задачу, когда сила не действует, а система покоится, покоится — ну и пусть покоится!) Соответствующие переходным решениям колебания можно вызвать так: заставить силу поработать, а потом выключить ее.
т1то тогда случится с осциллятороы? Сначала подумаем, как будет вести себя система с очень большой г,!. Если сила действовала долго, то запасенная энергия была постоянной н работа тратилась лишь для того, чтобы поддержать ее. Предположим теперь, что мы выключили силу, тогда трению, которое раньше поглощало энергию поставщика, питаться больше нечем — кормильца-то нелг. И трение начинает пожирать запасенную осциллятором энергию. Пусть добротность системы !',)г2я =1000. Это значит, что работа, произведенная за цикл, равна ОООО запасенной энергии.
Пожалуй, разумно предпололгитгь что при не поддерживаемых внешней силой колебаниях за каждый цикл будет теряться одна тысячная часть имеющейся к началу цикла энергии. Будем считать, что при больших !',! изменение энергии описывается угаданным нами приблнгкенньгм уравнением (мы еще вернемся к этому уравнению и сделаем его совсем верным!) гггг гак е' (24.8) Уравнение это приближенное, потому что оно справедливо только для больших ф, За каждый радиан система теряет 1г'г',) 144 Ф и е. 24.1. Затухающие аоаебаниа.
часть запасенной энергии Е. Значит, за промежуток времени ас энергия уменьшится в вд1!!4 раз (частота появляется при переводе радианов в настоящие секунды). А какая это частота? Предположим, что система устроена очень жестко, поэтому даже и ри действии силы она сколько-нибудь заметно колеблется только со своей собственной частотой.
Поэтому будем считать, что в — это резонансная частота во. Таким образом, из уравнения (24.8) следует, что запасенная энергия меняется следующим обрааом: (24.9) Е = Е е " но =- Е,е Теперь нам известно значение энергии в любой момент. Какой будет приближенная формула, определяющая амплитуду колебаний как функцию времени'.
Той же самой? Нет! Потенциальная энергия пружины изменяется как квадрат смен)ения, канетическая энергия — как квадрат скорости; это приводит к тому, что полная энергия пропорциональна квадрату смешания. Таким образом, смещение (амплнтуда колебаний) будет уменьшаться с половинной скоростью. Иначе говоря, мы ожидаем, что решение в случае затухающего переходного движенин будет выглядеть как колебание с частотой, близкой и резонансной частоте во, амплитуда этого колебания будет уменьшаться как ехр( — у!~2) (24АО) а=А е т созв 1. о ' о Эта формула и фиг.
24.1 даоот представление о том, чего следует ожидать, а теперь приступим к точному анализу движения, т. е. к решению дифференциального уравнения движения. Как же решить уравнение (24Л), если выкинуть из него внешнюю силу? Будучи физиками, мы интересуемся не столько методом, сколько самим решением. Поскольку мы люди уже опытные, попытаемся представить решение в виде экспоненциальной кривой, х=Аехр(1ссГ).
(Почему мы так поступили? Оттого, что экспоненту легче всего дифференцировать!) Подставим это выражение в (24.1), помня о том, что каждое дифференцирование х по времени сводится к умножению на [а [напомним, что Р(1) =О]. Сделать это очень легко, и наше уравнение примет вид ( — а*+1 уа+ во) Ае'"'= О, (24.11) Левая часть равенства должна быть равна нулю есе ерема, но это возможно только в двух случаях: а) А =-О, однако это даже н не решение: ведь тогда все покоится, или б) — а'+ 1ау + в~ =О, Если мы сможем решить это уравнение и найти а, то мы найдем и решение, амплитуда которого А не обязательно равна нулю! 1у / е у' а= — 2*у в —— У 4 (24.13) Чтобы не думать о том, как извлечь квадратный корень, предполояохм, что у меньше в„и поэтому в' ,— уЧ4 — положительная величина.
Беспокоит другое: почему мы получили дел решения! Им соответствуют -/ е у* еу — + ]~ во ° — +в У ' 4 2 т (24. 14) 'у ' ' з у' ьу 4 2 (24.15) х =Ае тцае ~с (24.16) Итак, система осциллирует с частотой в,, которая е точности не равна частоте в„но практически близка к ней, если система достаточно добротна.
Кроме того, амплитуда колебаний экспоненциально ватухает! Если взять действительную часть (24А6), то мы получим (24.17) х =Ае-т" созв 1. 1 Это решение очень напоминает угаданное нами решение (24.10), вот только частота немного другая, в„. Но это лишь небольшая поправка, значит, первоначальная идея была правильной. Займемся пока первым решением, предположив, что мы ничего не знаем о том, что квадратный корень принимает два значения. В этом случае смещение х равно х,=Аохр(1а1Г), где А— произвольная постоянная. Чтобы сократить запись, введем специальное обозначение для входящего в и, квадратного корня: ]~ в',— уЧ4=-в .
Так, 1а,= — у!2+1в„и х=-Аехр [ — (у)2 — [в,)е], или, если воспользоваться замечательным свойством экспоненты, И все-таки не все благополучно! А не благополучно то, что су- щеппвует второе решение. Отому решению соответствует аз, и оно отличается от пер- вого лишь знаком ог, х,=Ве тг 'е г"г», Что все это значит? Скоро мы докажем, что если х, н х,— возможные решения (24А) при Р(г)=0, то х,+х» — тоже решение этого уравнения! Таким образом, общее решение имеет внд х=е и ' (Ае' г +Ве ' У). (24. 19) Теперь можно спроситьа «А, собственно, зачем нам беспокоить себя еще одним решением, если нас вполне устраивало первое.' К чему эти дополнительные решения, если мы все равно должны взять только действительную часть?» Мы знаем, что нужно взять действительную часть, но откуда математика знает, что мы хотим взять действительную часть? Когда у нас была внешняя сила Р(1), то мы ее дополнили искусственной силой, и она каким-то образом управляла мнимой частью уравнения.
Но когда мы положили Р(г)еж0, то соглашение о том, что, каково бы ни было х, нунсио взять только его действительную часть, стало нашим личным делом, н математическое уравнение об этом ничего не знало. В мире физики есть только действительные решения, но решение, которому мы так радовались, комплексно. Уравнению но известно, что мы делаем совершенно неожиданный шаг и отбнраом только действительную часть, н оно предлагает нам еще, так сказать, комплексно сопряженное решение, чтобы, сложив оба рошения, мы получили настоящее действительное решение; вот для чего мы взяли еще и а,. Чтобы х было действительнылг, Вехр( — г «о„8) должно быть комплексно сопряженным к А охр(г»г„г) числом, тогда мнимая часть исчезнет.
Таким образом, Вдолй«- но быть комплексно сопряягено с А, поэтому наше решение имеет вид х=е г' ' (Ае' г'+А»е ' г'). (24.20) Значит, пап»я колебания — зто колебания с «дивов»гм сдви.ом и, как полагается, с затуханием. ф 3. Переходные молебинггн в э«гент»»м««ее»«нее г(еггях Посмотрим, как выглядят переходные колебания. Для этого соберем цепь, изображенную на фиг. 24.2. В этой цепи разность потонциалов между концами индуктивности Е поступает в осциллоскоп. Неожиданное включение рубильника Я включает дополнительное напряжение и вызывает в осцилляторной цепи пере- г47 Ф и г. 22.2. Электрическая цепь длк демонстраций переходных колебаний. ходные колебания. Эти колебания аналогичны колебаниям механического осциллятора, вызванными неожиданным ударом. Сама цепь представляет собой электрический аналог механического осциллятора с затуханием, и мы можем наблюдать колебания при помощи осциллоскопа.
Он покажет нам кривые, анализом которых мы и займемся. На фиг. 24.3 — 24.6 представлены кривые затухающих колебаний, полученные на экране осциллоскопа. На фиг. 24.3 показаны затухающие колебания в цепи с большой (',>, т. е. с малым значением у. В такой цепи колебания затухают не очень быстро; мы видим довольно длинную синусоиду с медленно убывающим размахом. Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы будем уменыпать е2, так что колебания должны затухать быстрее. Чтобы уменьшить ь2, увеличим сопротивление цепи ее. Прп повороте ручки сопротивления колебания действительно затухают скорее (фиг. 24.4). Если еще увеличить сопротивление, то колебания затухнут еще быстрее (фиг, 24.5). Но если сопротивление увеличить сверх некоторого предела, колебаний мы вообще не увидим.
А может быть, нам просто отказывают глаза? Увеличим еще сопротивление и получим тогда кривую, представленную на фиг. 24.6; по ней можно лишь с натяжкой сказать, что в цепк произошли колебания, ну разве что одно. Можем ли мы математически обьяснить это явление? Сопротивление механического осциллятора, конечно, пропорционально у. В нашем случае у — это Л/Х,. Теперь, если увеличивать у, то в столь приятных нам решениях (24.14) и (24.)5) наступает беспорядок; когда у)2 становится больше юо, решения приходитвя записывать по-другому: д~ ° у 2 и 2 е 4 Ф и г. 24.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
