Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Предположим, что мы придумали такое устройство, что нри изменении амплитуды сила трения оказывается пропорциональной другим силам — инерции и натяжению. Иначе говора, при малых колебаниях трение слабее, чем при колебаниях с болыпой амплитудой. Обычно сила трения таким свойством не обладает, так что можно предположить, что в нашем случае действуют силы трения особого рода— силы, пропорциональные скорости; тогда для больших колебаний эти силы будут больше, а для малых — меньше. Если у нас именно такой вид трения, то в конце каждого цикла система будет находиться в тех зке условиях, что и в начале цикла, только всего будет меньше.
Все силы будут меныпе в тех же пропорциях: сила пружинки немного ослабнет, инерциальные эффекты будут меньше. Ведь теперь и ускорения грузика будут меныпе, и сила трения ослабеет (об этом мы позаботились, создавая наше устройство). Если бы мы имели дело с такими силами трения„то увидели бы, что каждое колебание в точности повторяет первое, только амплитуда его стала меньше. Если после первого цикла амплитуда составляла, например, 90гй первоначальной, то после второго цикла она будет равна 90гй от 90оА и т.
д., т. е. раз ах колебаний после каждого цикла уленьшоешся в одинаковое число раз. Кривая, ведущая себя таким образом,— это экспонеициальная функция. Она изменяется в одинаковое число раз на любых интервалах одинаковой длины. Иначе говоря, если отношение амплитуды одного цикла к амплитуде предыдущего равно а, то такое я<е отношение для второго цикла равно а', затем аг и т. д.
Таким образом, амплитуда колебаний после и циклов равна А =Ага". (25.10) Но, конечно, п Г, поэтому общее решение будет произведением какой-нибудь периодической функции з)пыг нли созог~ на амплитуду, которая ведет себя примерно как Ь'. Если Ь положительно и меньше единицы, то его можно записать в виде е '. 159 Вот почему решение задачи о колебаниях при учете трения будет выглядеть примерно как ехр( — сПсозвк Это очень просто.
Что случится, если трение не будет таким искусственным; например обычное трение о стол, когда сила трения постоянна по величине, но зависит от размаха колебаний и меняет свое направление каждые полпериода? Тогда уравнения движения станут нелинейными; решить их трудно, поэтому придется прибегнуть к описанному в гл. 2 численному решению или рассматривать по отдельности каждую половину периода. Самым мощным, конечно, является численный метод; с его помощью можно решить любое уравнение. Математический анализ используется лишь для ре|пения простых задач.
Надо сказать, что математический анализ вообще пе таков уж могучее средство исследования; с его помощью можно решить лишь простейшие возможные уравнения. Как только уравнение чуть усложняется, его ужо нельзя решить аналитическн. Численный же метод, с которым мы познакомились в начале курса, позволяет решить любое уравнение, представляющее физический интерес. Пойдем дальше.
Что можно сказать о резонансной кривой? Как объяснить резонанс? Представим сначала, что трения нет и мы пмеем дело с чем-то, что может колебаться само по себе. Если подталкивать маятник каждый раз, когда он пройдет мимо кас, то очень скоро маятник начнет раскачиваться, как сумасшедший. Л что случится, если мы закроем глаза и,не следя за маятником, начнем толкать его с произвольной частотой, с какой захотям? Иногда наши толчки, попадая не в ритм, будут замедлять маятник.
Но когда нам посчастливится найти верный темп, каждый толчок будет достигать маятника в нужный момент и он будет подниматься все выше, выше и выше. Таким образом, если не будет трения, то для зависимости амплитуды от частоты внешней силы мы получим кривую, которая выглядит, как сплошная линия па фиг. 25.5.
Качественно мы понялп резонансную кривую; чтобы найти ее точные очертания, пожалуй, придется прибегнуть к помощи математики. Кривая стремится к бесконечности, осли ю ю„где ю,— собственная частота осциллятора. Предположите, что существует слабое трение. Тогда при незначительных отклонениях осциллятора влияние трения сказывается слабо и резонансная кривая вдали от максимума не изменяется. Однако около резонанса кривая уже не уходит в бесконечность, а просто поднимается выше, чем в остальных местах. Когда амплитуда колебаний достигает максимума, работа, совершенная нами в момент толчка, полностью компенсирует потери энергии на трение за период. Таким образом, вершина кривой закруглена, и она уже не уходит в бесконечность. Чем больше трение, тем больше сглажена вершина кривой.
Кто- и г. лд.д. Резонансная кривая, тражающая разнообразнив вида рзния. о дь ь жег сказать: «Я думал, что ширины резонансных кривых зависят от трения». Так можно подумать, потому что резонансные кривые рисуют, принимая за единицу масштаба вершину кривой. Однако если нарисовать все кривые в одном масштабе (это прояснит дело больше, чем изучение математичоскнх выражений), то окажется, что трение срезает вершину кривой! Если трение мало, мы можем подняться высоко по резонансной кривой; когда трение сгладит кривую, мы на том же интервале частот поднимаемся на меньшую высоту, и это создает ощущение ширины. Таким образом, чем выше пик кривой, тем ближе к максимуму точки, где высота кривой равна половине максимума.
Наконец, подумаем, что произойдет при очень больпюм трении. Ясно, что, если трение очень велико, система вообще не осциллирует. Энергии пружинки едва-едва хватит на борьбу с силами трения, и грузик будет медленно ползти к положению равновесия. ф А Аогалогтви в финике Продолжая обзор, заметим, что массы и пруягинки — это не единственные линейные системы; есть и другие.
В частности, существуют электрические системы (их называют линейными цепями), полностью аналогичные механическим системам. Мы не старались до конца выяснить, почему каждая часть электрической цепи работает так, а не иначе; это нам еще трудно понять. Можно просто поверить, что то или иное поведение каждого элемента цепи можно подтвердить экспериментально.
Возьмем для примера простейшее устройство. Приложим к куску проволоки (сопротивлению) разность потенциалов р. Это значит, что если от одного конца проволоки до другого проходит заряд в, то прн атом совершается работа д)г Чем выше разность потенциалов, тем большая работа совершается при ззз «падении» заряда с высокопотенциального конца проволоки на низкопотенциальный. Заряды, проходя с одного конца проволоки на другой, выделяют энергию.
Но зарядам не так-то просто плыть вдоль проволоки: атомы проволоки оказывают сопротивление потоку, и это сопротивление подчиняется закону, справедливому почти для всех обычных материалов: ток Т пропорционален приложенной к проволоке разности потенциалов. Иначе говоря, число зарядов, проходящих через проволону за 1 сек, пропорционально силе, с которой их толкают: (25.11) вг а"д лг ~ гни (25. 12) а индуктивность измеряется в единицах, которые называются генри (гн). Приложенная к прибору с индуктивностью в 1 гн разность потенциалов в 1 в изменяет ток на 1 а/сея.
Уравнение Коэффициент Л называ«от сопротивлениев, а само уравнение— закона.к Ома. Единица сопротивления — ом; он равен отношенп»о одного вольта (1 в) к одному амперу (1 а). В механических устройствах очень трудно отыскать силу трения, пропорциональну«о скорости, а в электрических цепях — гто дело обычное и закон Ома справедлив для большинства металлов с очень высокой точностью.
Нас интересует, много чи совершается работы за 1 сек при прохождении зарядов по проволоке (эту же величину можно назвать потерей мощности или выделяемой зарядами энергией)2 Чтобы прогнать заряд д через разность потенциалов г', надо совершить работу ф'; таким образом, работа за 1 сея равна У(с)дЯг), или )сл'. Это выран ение можно записать иначе: г'л! 1=1»)г. Зту величину называют тепловылси потерями; вследствие закона сохранения энергии, такое количество теплоты производит в 1 сек сопротивление проволоки. Эта теплота накаляет проволоку электрической лампы.
У механических устройств есть, конечно, и другие интересные свойства, например, такие, как масса (инерция). В электрических цепях, оказывается, тоже существуют аналоги инерции. Можно построить прибор, называемый индуктором, а свойство, которым он обладает, носит название индуктивность. Ток, попадающий в такой прибор, не хочет останавливаться.
Чтобы изменить ток, к этому прибору нужно прилояохть разность потенциалов. Если по прибору течет постоянный ток, то падения потенциалов нет. Цепы с постоянным током ничего «не знают» об индуктивности; эффекты нндуктивности обнаруживаются только при изменениях тока. Описывающее эти эффекты уравнение гласит: (25.12), если хотите,— электрический аналог закона Ньютона: Р соответствует г", Ь соответствует лт, а 1 — скорости! Все последующие уравнения, описывающие обе системы, выводятся одинаково, потому что мы просто можем заменить буквы в уравнении для одной системы и получить уравнение для другой системы; любой вывод, сделанный при изучении одной системы, будет верен и для другой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
