Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Затдхатьцие колебанил. Ф и г. 24.4. Колебания затухают биетрее. Это снова два решения, которые приводят нас к решениям ехр(!«»П) и ехр(ихг!). Подставив теперь с»о получим Никаких колебаний. с1исто экспоненциальное убывание. То же самое дает и второе решение -("-)у' "--:) х.= Ве Заметим, что квадратный корень не может превысить у!2; даже если ео»=0, оба члена равны. Если же соо' отличается от у'/4, то квадратный корень меньше у(2 и выражение в круглых скобках всегда положительно. Это очень хорошо! Почему? Да потому что если бы зто выражение было отрицательным, то е пришлось бы возводить в положительную степень и мы получили бы возрастающее со временем решение.
Но при увеличении в цепи сопротивления колебания не могут возрастать, значит, мы избегли противоречия. 1Итак, мы получили два решения; оба решения экспоненциально затухают, но одно из них стремится «умереть» гораздо скорее. Общее решение, конечно, представляет собой комбинацию обоих решений, а значения коэффициентов А и В зависят от того, как начинаются колебания, каковы начальные условия. В нашей цепи случилось так, что 1 — отрицательное число, а  — положительное, поэтому на экране осциллоскопа мы увидели разность двух экспонент. Давайте обсудим, как найти коэффициенты А и В (или А и А*), если известны начальные условия. Предположим, что в момент 2=0 нам известны смещение х= хо и скорость «(х/Ю = а . Если в соотношения х=е тне (Ае'ат —,'-А*с ' е~), Ф и г.
24Х Колебания почти изчезли. Ф и е. 2б.б. Колебаний нет. подставить значенпЯ 2=0, х=х„егхИ=во и воспользсваться тем, что е'=е"=1, то мы получим хо=А+Аа=2А,, 7 (1 ~ ~о)+ (А ~о) тол 1, (2;А ) 2 2 где А=Ля-1-еА„Аз=Ад — )Ал Значит, тор н А,= —,, (24.21) 2О Такам образом, зная начальные условия, мы полностщо определили А и А*, а значит, и кривую переходного решения. Можно записать решение и по-другому. Вспомним, что ео-) е ее=2совВ и е'" — е "=2)вшО, тогда ухо оо+ х=е-тяе хо сова 1+ — 'в1в ю 1 2 (2$.22) где ю„=+3 еоо — (уЧ4). Мы получили формулу затухающих колебаний. Такая формула нам не понадобится, однако отметим ее особенности, справедливые и в более общих случаях.
Прежде всего поведение системы, на которую не действует внешняя сила, описывается суммой (суперпозицией) временнйх экспонент [мы записали их в виде ехр(епгЦ. Такое решение хорошо передает истинное положение вещей. В общем случае ех — это комплексное число, и его мнимая часть соответствует затуханию колебаний.
Наконец, тесная математическая связь спнусоидальных и экспоненциальных функций, о которой говорилось в гл. 22, физически часто проявляется в переходе от колебаний к чисто зкспоненциальному затуханию при критических зпаченнях некоторых параметров системы (в нашем случае это было сопротивление у). Г.«а«а Ы ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЗОР 3) А Лн««вй»«ь«е дыфЯерен«1««альтэ«е урав»«ен««я В этой главе мы снова вернемся к некоторым аспектам наших колебательных систем, только постараемся теперь увидеть нечто более общее, стоящее за спиной ка«кдой частной системы.
Изучение каждой колебательной системы сводилось к решению дифференциального уравнения «'х, з« л««и+уз«ш+л»«э,х=г (г). (25.1) Эта комбинация «операций» над переменной х обладает интересным свойством: если вместо х подставить (х+у), получится сул«ма одинаковых операций над х и у, а умно кение х на число а сводится к умножению на это число первоначальной комбинации. Это легко доказать. Чтобы не переутомиться, записывая все буквы, вошедшие в (25.1), давайте введем «скорописные» обозначения. Обозначим всю левую часть уравнения (25.1) символом С(х). Увидев такой символ, вы должны мысленно представить себе левую часть уравнения (25 1).
Поэтому, согласно этой системе, символ Цх+у) будет означать следующее: Ь (х+у)=т „, +ут „, +э»ю«(х+р). л («ч в) «(«+я) « (25.2) (Подчеркнем букву «', чтобы не спутать этот символ с обычной функцией.) Иногда мы будем употреблять термин операторная запись, но совершенно безразлично, какими словами это называть, просто-напросто зто «скорописы>. Паше первое утверждение, что ~-(х+У)=~.(х)+УУ) (25.3) й 1. Линейные дифференци альные уравнения $2. Суперпозиция решений 8 3. Колебания в линейных системах $4. Аналогии в физияе 8 5.
Последователь иые и параллельные сопротивления 131 следует из соотношений а(х+у) с-ах+ау, П(х+у)Я1= ЕхЮ+йуУс и т. д. Легко доказать, что для постоянного а Ь(ах)=ай(х). (25.4) (Соотношения (25.3) и (25.4) тесно связаны одно с другим, потому что, подставив в (25.3) х+х, мы получим (25.4) для частного значения а=2 и т.
д.) Решая более сложные задачи, можно получить Х, в котором содержится больше членов и более высокие производные. Обычно первым делом интересуются, справедливы ли соотношения (25.3) и (25.4). Если они выполняются, то задачу называют линейной. В отой главе мы изучим некоторые свойства систем, следующие только из того фанта, что система линейная. Это поможет нам понять общность некоторых свойств изученных ранее частных систем.
Давайте изучим некоторые свойства линейных дифференциальных уравнений, причем полезно помнить о хорошо знакомом нам частном уравнении (25.1). Первое интересное свойство: предполонсим, что мы решаем дифференциальное уравнение для переходных движений: свободных колебаний без действия внешних сил. Нам предстоит решить уравнение ь' (х) =О.
(25. 5) Предположим, что мы как-то исхитрились одолеть это уравнение и нашли его частное ре|пение х,. Это значит, что нам иавестна функциях„для которой Цх1)=0. После этого можно заметить, что ах,— тоже решение нашего уравнения; можно умножить частное репгение уравнения на любую постоянную и получить новое решение. Иначе говоря, если каное-либо решение позволяет частице продвинуться на определенное расстояние, то она может совершить и более длинный рейс. Доказалтельсшао: Х(ах,)=-аЬ(х,)=а 0=0. Предположим теперь, что нам удалось все-таки найти не одно частное решение х„но и второе хз (напомним, что когда мы в поисках переходного решения подставляли х=ехр(ва0, то мы нашли два аначения а, т. е.
два решения: х, и хз). Покажем теперь, что комбинация х,+хз — тоже решение. Иными словами, если положить х=х1+хю то х — ато опять решение уравнения. Почему? Потому что если 5(х,)=0 и Ь(хз)=0, то А(х, +хз) = Т(х,)+А(хз) =0+0=0. Таким образом, мы вправе складывать отдельные решения, описывающие движения линейной системы. Продоллзая в том же духе, мы можем сложить шесть первых и два вторых решения; ведь если х~ есть решение, то ах, — тоже 152 решение.
Другими словами, любая сумма двух решений, например ых,+рхз, удовлетворяет уравнению. Если иам посчастливится найти три решекия, то мы увидим, что любая комбинация трех решений снова удовлетворяет уравнению, и т. д. Поток таких решений можно ограничить независимыми решениями *; в случае осциллятора мы получили только деа таких решения. Число независимых решений в общем случае зависит от того, что называется числом степеней свободы. Мы яе будем сейчас подробно обсуждать этот вопрос, но в случе дифференциальиого уравнения второго порядка имеются лишь два кезависимых решения.
Если мы найдем оба эти решеиия, то можно построить общее решение уравнения. Посмотрим, что будет, когда иа систему действует внешняя сила. Предположим, что иам встретилось уравнение У. (х)=Р(1) (25.6) и мы нашли его частное решение. Назовем его решением Джо хд, т. е. Л(хд)=Р(г). Хотелосьбы найтиещеодио решение этого уравнения. Добавим к решению Джо какое-нибудь реп|ение свободного уравнения (25.5), например хо Тогда, вспомнив о (25.3), получим 1,(хд+х,)=~.(хд)+~.
(х,)=Р(г)+О=Р(з). (о5 7) Следовательно, добавив к решению уравнения (25.6) любое «свободное» решение, мы получим новое решение. Свободное решение называют еще переходным решением. Если неожиданно включить вие|ниюю силу, то движение осциллятора ке сразу будет описываться равновесным (сииусоидальиым) решением: сначала к нему будут примешиваться переходиые решения, которые, осли подождать подолыпе, в конце концов «вымрут»ь Равновесиое решение «вын<ивет», потому что только око соответствует внешней силе. В конце концов это будет едииственным решеиием, яо начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включению силы.
ф й. Сз)ззезз»оп«щ«зя ре«мен ий Перейдем теперь к другой интересной проблеме. Предположим, что иам задана какая-нибудь внешняя сила Р, (иапример, периодическан сила с частотой ю=ю, ио наши выводы будут верны для любой зависимости силы от времени) и мы иагпли движеиие, соответствующее этой силе (переходиые движения * Решения, которые нельзн зыразнть линейно одно через другое, называются нззазяснмыня решениями.
$53 ар и г. 24.1. Пример ерин«иое срнерпогизои доя линейные систем. ха+хе можно учитывать или не учитывать, это неважно). Предположим, что мы реепили еще одну задачу — нашли движение в случае действия силы р». После этого предположим, что кто-то воежал в комнату и сказал: «На контрольной задают задачу с силой Р,+Р». Что нам делать?» 1(онечно, мы решим эту задачу — ведь мы сразу обнаружим одно замечательное свойство: сумма решений х, и х», получаемых в том случае, если брать силы по отдельности, будет решением новой задачи. Для этого надо только вспомнить о (25.3): 1 (х,с+х»)=л(ха)+5(хь)=ге(1)+Р»(1)' (25.8) Ото пример того, что называют принципом оуперпозиции для лннейных систем, и это очень важная вещь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
