Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Каковы свойства алгебраического косинуса соз( и алгебраического синуса з)п (? Прежде всего хе+у»=1; это мы уже доказали, и зто верно для гиобого основания, будь то 10 илн е. Следовательно, созгс+з1пг(=1. Мы знаем, что ен=1+гт для »1алых О значит, если с — близкое к нулю число, то сов ( оливок к единице, а гйп ( близок к г. Продолжая далыпе, »(ы придем к выводу, что все свойства этих замечательных функ((ий, получающихся в результате возведенця в мнимую степень, в точности совнааают со свойствами тригонометрического синуса и лгригоно.четрического косинуса. А как обстоит дело с периодом'.
Давайте найдем ого. В какую степень надо возвести е, чтобы получить |? Иными словамп, чему равен логарифм 1 по основанию е? Мы вычислили уже логарифм г по основан»но 10; он равен 0,68226(; чтобы перейтн к основанию е, мы умножим это число на 2,3025 н получим 1,5(ОО, Ото число можно назвать валгебранческим п(2». Но поглядите-ка, оно отличается от настоящего гь 2 всего лишь последним десятичным знаком, п это просто-напросто следствие наших приближений при вычислениях) Таким образом, чисто алгебраически возникли две новые функции — синус и косинус; они принадлежат алгебре и только алгебре. Мы пошли по их следам и обнаружили, что это те же самые функции, которые так естественно возникают в геометрии.
Мы отыскали мост между алгеброй и геометрией. Подводя итог нашим поискам, мы напишем одну из самых замечательных формул математики е' = с аз О + 1 з! и О. (22. О) Вот она, наша жемчужина. Связь между алгеброй и геометрией можно использовать для изображения комплексных чисел на плоскости; точка на плоскости определяется координатамп х н у(фиг. 22.2). Представим каждое комплексное число в виде х+(у. Коли расстояние точки от начала координат обозначить через г, а угол радиуса-вектора точки с осью х — через О, то выражение х+(у можно представить 122 в виде ге~'. Зто следует из геометрических соотношений между х, у, г и О.
Таким образом, мы объединили алгебру и геометрию. Начиная зту главу, мы знали только целью числа п умели их считать. Зато у нас была неболыпая идея о могуществе шага в сторону и обобщения. Используя алгебраические «законыз, или свойства чисел, сведенные в уравнения (22.1), и определения обратных операций (22.2), мы смогли создать не только новые числа, но и такие полезные вещи, как таблицы логарифмов, степеней и тригонометрические функции (они возникли прп возведении действительных чисел в мнимые степени), и все это удалось сделать, извлекая много раз квадратный корень из десяти) сл9 Глава,' с'г РЕЭОНАНС 3 1. Ъо.иы.!е!гсиые и нс.згв и ггтр.ионическое двиэ!гение Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцнлляторе, особенно оо осцилляторс. на который депствует внешняя сила.
Для анализа зп!х задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного шсла, ноторое состоят нз действительной и ы$н!мой частей н которое моя<но изобразить на графике. Действительная часть числа оудет пзооражаться абсциссой, а мнимая — ордпнатой. Комплексноо число и можно записать в виде а=.а„+!а,.; прп такой записи пндскс г отмечает действительную часть а, а индекс !' -- минную. Взглянув па фиг.
23.г, легко сообразить, что комплексное число и=-х+ау можно записать н так: х+су=--гехр(сО), где гз=хз+уз=(х+!у) (х — су)=-аа * (ав — это комплексно согчяжепноо к а число; оно получается иэ а нзмонением знака !). Итак, комплексное число можно представить двумя способами: явно выделить его депствительную и мнимую части или задать его э!оду!!еы г и фаза. вым углом О. Если задаяы г и О, то х и у равны гсозб н гыпО, и, наоборот, исходя из числа х+!у, можно найти «=-)«х'+уз и угол О; Фнб равен у!х (т. е.
отношению мнимой и действительной частей). Чтобы применить комплексные числа к решению физических задач, проделаем такой трн!к, Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной сазан Такую силу г"=Гвсовы! можно рассматривать как действительную часть комплексного числа г' .—.— гвехр(!о!!), потому что ехр(!с!1)=созе!!+та!псоп Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем $1. Комплексные числа п гармоническое движение О 2. Выпужденцые колеба!пгя с торможением О 3, Электрпчгскнй резонанс 5 4.
Резонанс в п!шроде Ф и е. 28,1. Компнексное чисхо, изображенное тонкой на екогепхексной нхоскоснит. х двестватвеь ноя ось с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся и осцнллятору функцнп рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функцин.
Найденное нами комплексное число Г, разумеется, не настоящая сила, пбо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действительную часть, а манной части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» роехр(гег с), хотя надо помнить, что речь идет лишь о действипгельной ее части. Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусопдальную волну, фаза которой сдвинулась на Л? Конечно, как ДействительнУю часть Х"оехР(1(о>С вЂ” Ьз)); экспонентУ в этом слУ- чае можно записать в виде ехр[1(гоС вЂ” Л))=ехр(ног) ехр( СА).
Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так: Г=Сх е гает"~=Ее' '. з (23.1) Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комп- лексным числом, т. е. Сг=-Е е — гн з' Однако пора начать рожать уравнения, используя комплексныо числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные чи- сла в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение —, + — = — = — 'созыС, бг' т т т (23.2) с(з(х,— 'гх1), ь(х„тгх,) р„+Срг йгь плн г1*х, йх,, (Нехг ахг 'г Ре (РС г(ге гн ' (,аг» т ) т не (25 где Р— действующая на осциллятор сила, а х — его смещение.
Хотя это и абсурдно, предположим, что х и х' — комплексные числа. Тогда х состоит из действительной части и умноженной на С мнимой части; то же самое касается и Р. Уравнение (23.2) в этом случае означает Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная часть х удовлетворяет уравлению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнен~ш, т. е. уравнений, содернсащих х лишь в ссулевой и первой степенях.
Например, если бы уравнение содержало член ).хз, то, сделав подстановку х,+схп мы получили бы ) (х„+сх;)"', н выделение действительной и мнимой частой привело бы нас к ).(х',— х,') и 2с)сх,хс. Итак, мы видим, что действительная часть уравконня содержит в этом случае член †)х;'. Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.
Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осцпллятора, т. е. об осцплляторе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения (23.3) где Гег — комплексное число. Конечно, х — тоже комплексное число, но запомним правило: чтобы найти интересующие нас величины, надо взять действительную часть х. Найдем решение (23.3), опнсывасощее вынужденныо колебания. О других решешсях поговорим потом.
Это решение имеет ту же частоту, что и внешняя (крипо кенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если представить смещение числом х, то модуль его ока>нет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа — о временнбй задеряско колебания.Воспользуемся теперь замечательным свойством экспонектсс: (а)ссс)(хехр(сюс)) = — сыхехр(ссэг). Дифферонцнруя экспоыенциальнусо функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем.
Дифференцируя еще раз, мы снова приписываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для х: каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на ссо. (Диффоренцпрование становится теперь столь же простым, как н умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь ясе грандиозна, как изобретение логарифмов, которые заменили умножение сложением.
Здесь дифференцирование заменяется умнонением.) Таким образом, мы получаем уравнение ях Р (ио)'х+ — = — . (23.4) (Мы опустили общий множитель е' '.) Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится $26 к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение Р,'и х= (й(и) — и' ' поскольку (ььэ)'=- — юз. Решение можно несколько упростить, 2 подставив Ь т = оэ „тогда х= (23.5) и (ы,' — оР) Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами получено ранее.
Поскольку т(со,— юз) — действительное число, то фазовые углы Р и х совпадают (или отличаются на 180', если юз'- ю,). Об этом тоже уже говорилось. Модуль х, который определяет размах колебаний, связан с модулем Р мноькителем 1/т(ю,' — ьэз); этот множитель становится очень большим, если оэ приближается к ю,.
Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную частоту ш (если с нужной частотой толкать подвешенный на веревочке маятник, то ои поднимается очень высоко). ф х. Лынузгсденные нолебальыя с инормовсентем Итак, мы можем решить задачу о колебательном движении, пользуясь изящной математикой.
Однако изящество немногого стоит, когда задача и так решается просто; математику надо использовать тогда, когда решаются более сложные задачи. Перейдем поэтому к одной из таких задач, которая, кроме того, блшке к действительности, чем предыдущая. Из уравнения (23.5) следует, что, если ьэ в точности равна ш,, амплитуда колебания становится бесконечной. Этого, конечно, не может быть, потому что многие вещи, например трение, ограничивают амплитуду, а мы нх не учитывалн. Изменим теперь (23.2) так, чтобы учесть трение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
