Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Имеется несколько видов решешш. Решение х=асозсг»К соответствует случаю, когда в начальный момент пружшжа растянута, а скорость ее равна пулю. Можно иначе заставить пружинку двигаться, например улучить момент, когда уравновешенная пружинка покоится (х=0), и резко ударить по грузику; это будет означать, что в лгомент 1=.0 пруя'пике сообщена какая-то скорость. Такому двп;кению будет соответствовать другое решение (21.2) — косинус нужно заменить на синус. Бросггм в косинус еще один камень: если х--созег»К — решение, то, войдя в комнату, где качается пружинка, в тот момент (назовем его ггк=-О»), когда грузик проходит через положение равновесия (х=О), мы будем вынуждены заменить это решение другим.
Следовательно, х--созегвг не может быть общим решением; общее решение должно допускать, так сказать, перемещение начала отсчета времени. Таким свойством обладает, например, решение х=.асозог»(к — кг), где какая-то постоянная. Далее, можно разложить сов (ег» К вЂ”;— Л) = соз ог» к соз Л вЂ” вги ю, г»ггг Л и записать х = А соз юв к --В згп ы, к, где А=асозЛ и В= — аипЛ. Каягдую пз этих форм можно вспользовать для записи общего решения (21.2): любое из существующих в мире решений дифференциального уравнения йгх. г1кг= — го„х можно записать в виде х == а со» ю (к — к,), (21.6а) или х= а сов (ег» К -,'- Л), (21.6б) вли х = А соз ге» К вЂ” В зпг огг К.
(21,6е) Некоторые из встречагощихся в (21.6) величин имеют названия: а>, называют узловой частогпой; это число радианов, ка которое фаза изменяется за 1 свн. Она опредгеляется дифференциальным уравнением. Другие величины уравнением не определяются, а зависят от начальных условий.
Постоянная а служит мерой максимального отклонения груза и называется амплитудой колебания. Постоянную Л иногда называют Фазой колебания, но здесь возможны недоразумения, потому что !01 4 злггаэ № гг»9 Вып. з другие называют фазой аог+Л н говорят, что фаза зависит от времени. Можно сказать, что Л вЂ” это сдвиг уводы по сравнению с, некоторой, принимаемой за нуль. Не будем спорить о словах. Разнылс Л соответствуют движения с разнымя фазами.
Вот это верно, а называть ли Л фазой пли нет — уже другой вопрос. й) 3. Хпрмонимеегсое двизссенгсе и движение но оссрг)лсгсостни Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изучали механику даик<ения по окрулсности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью в, то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол Ос аС!Л (фиг.
21.2). Тогда с(ОЕсгг=-ао=пвЛ. Известно, что ускорение а=де)Л=-ег„Л и направлено к центру. Координаты движущейся точки в заданный момент равны х= — Лсовд, у=Лв(ггО. Что можно сказать об ускорениир Чему равна х-составляющая ускорения, с)гх'с(Сг? 11айти эту величину можно чисто геометрически: она равна величине ускорения, умноженной на косинус угла проекции; перед полученным выражением надо поставить знак минус, потому что ускорение направлено к центру: (21.7) а„= — и сов О = — а'Л сов О = — а'х. о г Иными словами, когда частица движется по окруясности, горизонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропорциональное горизонтальному смещению от центра.
Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: х=Лсоваос. Уравнение (21.7) не содержит радиуса окружности; оно одинаково при движении по любой окружности при одинаковой ао. Ф и г. 2в'.2, Частича, движуаояся по кругу С поспгояияой скоростьм. Фиг. В1.3. делсоссстрация вквивалентности кратного гврлвоиинеского движеяия и равномерного Овижеиия ст окружности. Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружиико окажется пропорциональным созеаа1 п движение будет выглядеть так, как если бы иьс следили за л-коордсснатой частицы, движущейся по окруясности с угловой скоростью о>о.
Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинке в точности соответствует движению точки по окпужностп. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы прооктпруот на экран тени движущихся рядом воткнутой во вращающшься диск иголки и вертикально колеблющегося груза. Если вовремя п с нужного места заставить грузик колебаться, а потом оссорожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты пх двпскенкй совпали, тени на экране будут точно следовать одна за чругой. Пот еще спосоо убедиться в том, что, находя численное решение, мы почти вплотную подошля к косинусу.
Здесь можно подчеркнуть, что поскольку патематпка равномерного движения по окружности очень сходна с математикой колобательпого движения вверх-вниз, то анализ колебательных движешсй очень упростится, если представить это движение как проекцию движения по окруясностп. 11наче говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для у и рассматривать ооа уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружиоссли, что избавит нас от решении дифференциального уравнения.
Можно сделать еще одни трюк — ввести комплексные числа, но оо этом в следующей главе. ф 4. Ыссчсвльтсьсе уеловть Давайте выясним, какой смысл имеют А и В или а и Л. Конечно, они показывают, как началось движение. Если движение начнется с малого отклонения, мы получим один тип колебаний; если слегка растянуть пружинку, а потом ударить по грузику — другой. Постоянные с1 и В или а и Л, или какие- $03 нибудь дзе другие постоянные определяются обстоятельствами, при которых началось движение, плн, как обычно говорят, начальными условиями. Нужно научиться определять постояиные, исходя из начальных условий.
Хотя для этого могкно использовать любое из соотношений (21.6), чучше всего иметь дело с (21.6в). Пусть в начальный момент г=О грузик смещен от ссоложексссг равновесия на величину х, и имеет скорость г,. сто самая оощая ситуация, какую только можно придумать. (Нельзя задать начального ускорения, потому по оно зависит от свойств пружины; мы можем распорядиться только величиной хо.) Вычислим теперь А и В.
Начнем с уравнения для т=А созю, г-; — Вз|вогоц поскольку нам понадооптся и скорость, продифференцяруем х и полунин а=-- — со„Л згв со,г —;- ю,В сов соог. Зги выражения справедливы для всех г, по у нас есть дополнительные своденгся о величинах х н г при 1=0. Таким образом, если положить с=О, мы должны получить слева х„п г, ибо зто то, во что превращаются х н и при г.=-О.
Кроме того, мы знаем, что косинус нуля равен единице, а синус пуля равен нулю. Следовательно, т,==А 1- В О=-А и г,=.- — ог,Л О --ю,В ° 1= — со„В. Таким образом, в этом частном случае А =о„В=-'— . соа Зная А и В, мы можем, если пожелаем, найти а и Л. Итак, задача о движении осциллятора решена, но есть одна интересная вещь, которую надо проверить. Надо выяснять, сохраняется лн энергия. Если нет сил трения, то энергия должна сохраняться. Сейчас нам удобно использовать формулы х=-асов(соог+ Л) своа зссг (соог+ й).
Давайте найдем кинетическую энергисо Т и потенциальную энергию П. Потенциальная энергия в произвольный момент времени равна гйг1схг, где х — смещение, а й — постоянная упругосюи пружинки. Подставляя вместо х написанное выше выражение, найдем Г = — Йх'= — йа'соз'(соог -,'-Л). Разумеется, потенциальная энергия зависит от времени; она всегда положительна, это тоже понятно: ведь потенциальная энергия — это энергия пружины, а она изменяется вместе с х.
Кинетическая энергия равна !1 тиэ; используя выражонпе для е, получаем Т= —, тг = —,, тю,а з(п (егп1+Л). 1 Кинетическая энергия равна пулю прн максимальном х, ибо в этом случае грузик останавливается; когда же грузик проходит положение равновесия (х=О), то кинетическая энергия достигает максимума, потому что именно тогда грузик движется быстрее всего. Изменение кинетической энергии, таким образом, противоположно изменению потенциальной энергии. Полная энергия должна быть постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
