Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ъытветптвмеекгзя еъсетзвыя в1згзщетсня Продолжим иаучение динамики вращения. При обсуждении аналогии между линейным и угловылг движением в гл. 18 мы испольаовали теорему о работе, но ничего не говорили о кинетической энергии. Какова будет кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью гор Используя нашу аналогию, лшжно немедленно угадать Тонкое концентрическое кольцо с радиусами г, пг, Прямоугольный параллелепипед со сторонами а, Ьис Прямоугольный круговой цилиндр радиуса г, длиной 1. Прямоугольный круговой цилиндр радиуса г, длиной 1 Проходит через центр перпендикулярно к стержню Проходит через центр кольца перпендикулярно к плоскости кольца Проходит через центр Проходит через центр параллельно Ь Проходит через центр перпендикулярно к плоскости Любой диаметр правильный ответ.
Момент инерции соответствует массе, угловая скорость соответствует обычной скорости, так что кинетическая энергия долясна быть равна '?з 1вз. Так оно и есть на самом деле, и сейчас мы покажем это, Предположим, что тело вращается вокруг некоторой оси, так что каждая точка движется со скоростью вг;, где г~ — расстояние от данной точки до оси. Если масса этой точки равна тп то полная кинетическая энергия всего тела равна просто сумме кинетических энергий всех частиц Т= — ~~'тх. —,~пи(г в), $ „$ а поскольку в — постоянная, одна я та же для всех точек, то Т вЂ” в туз — 1в 3 ~ 2 2м ~~ 2 ((9.8) 78 В конце гл. (8 мы отмечали, что существуют очень интересные явления, связанные с вращением пе абсолютно твердого тела, способного изменять свой момент инерции.
Именно, в примере с вращающимся столом у нас был момент инерции 1, и угловая скорость в, при вытянутых руках. Согнув руки, мы изменили момент инерции до 1в а угловую скорость — до вв Так как у нас нет никаких моментов сил относительно оси вращения стола, то момент количества движения должен остаться постоянным.
Это означает, что 1,в,=1,в,. А что можно скааать об энергии? Это очень интересный вопрос. Согнув руки, мы начинаем вращаться быстрее, но момент инерции при атом уменьшается и может показаться, что кинетическая энергия должна остаться той же самой. Это, однако, неверно, потому что в действительности сохраняется 1в, а не 1в'. Сравним теперь кинетические энергии в начале и в конце.
В начале кинетическая энергия равна '/з1,в',='?зЬв„ где 1 =1~в,=1,вз — момент количества движения. Точно таким же образом кинетическая энергия в конце равна Т=-'/заве, а поскольку вз~вм то кинетическая энергия в конце оказывается большей, чем в начале. Итак, вначале, когда руки были вытянуты, мы вращались с какой-то кинетической энергией, затем, согнув руки, мы стали вращаться быстрее и наша кинетическая энергия возросла.
А как быть с законом сохранения энергии? Ведь должен же кто-то произвести работу, чтобы увеличить энергию? Это сделали мы сами! Но когда, в какой момент? Когда мы держим гантели горизонтально, то никакой работы не производим. Выпрямляя руки в стороны и сгибая их, мы тоже не можем произвести никакой работы. Это, однако, верно только, пока нет никакого вращения! При вращеиии же на гантели действует центробежная сила, Они стремятся вырваться из наших рук, так что, сгибая во время вращения руки, мы преодолеваем противодействие центробежной силы. Работа, которая на зто затрачивается, и составляет разницу в кинетических энергиях вращения. Вот откуда берется этот добавок.
Существует еще одно очень интересное явление, которое мы рассмотрим только описательно, чтобы просто иметь о нем представление. Хотя изучение этого явления требует несколько большего опыта, но упомянуть о нем стоит, нбо оно очень любопытно и дает много интересных эффектов. Возьмем снова эксперимент с вращающимся столиком. Рассмотрим отдельно тело п руки, с точки зрения человека, вращающегося на столике.
Согнув руки с гантелями, мы стали вращаться быстрее, но заметьте, что тело при этом не изменило своего момента ивер»,ии; тем не менее оно стало вращаться быстрее, чем прежде. Если бы ъ»ы провели вокруг тела окружность и рассмотрели только предметы внутри этой окружности, то из момент количества движения изменился бы; онн закрутились бы быстрее.
Следовательно, когда мы сгибаем руки, на тело должен действовать момент силы. Однако центробежная сила не может дать никакого момента, так иак она направлена по радиусу. Это говорит о том, что среди сил, возникающих во вращагощейся системе, центробежная сила не одинока: есть еи«е и другая сила. Эта другая сила носит название кориолисовой силы, или силы Л'ориолиса.
Она обладает очень странным свойством: оказывается, что если мы во вращающейся системе двигаем какой-то предмет, то она толкает его вбок. Как и центробежная сила, эта сила кажущаяся. Но если мы живем во враща«ощейсн системе и хотим что-то двигать по радиусу, то для этого мы должны тянуть его несколько вбок. Именно эта «боковая» сила создает момент, который раскручивает наше тело. Перейдем теперь к формулам и покажем, как кориолисова сила работает на практике. Пусть Мик сидит на карусели, которая кажется ему неподвижной.
С точки зрения Джо, который стоит на земле и знает истинные законы механики, карусель крутится. Предположим, что мы провели радиальную прямую на карусели и пусть Мик двигает прямо по этой линии какуюто массу. Я хочу показать, что для того, чтобы все было так, как мы описали, необходима боковая сила. Это можно увидеть, обратив внимание на момент количества движения вращающейся массы. Она крутится все время с одной н той же угловой скоростью ю, поэтому ее момент количества движения равен Е=ти„„„г=тюг г=тюг'. Если масса расположена близко к центру, то он сравнительно мал, но если мы передвигаем ее в новое положение и если мы увеличиваем г, то масса л» приобретает больший момент коли- д Ф и в. гд.А гри последовательных положения движущейся по радиусу точки вращающегося сгполина. чества дзян<ения, т.
е. во время движения по радиусу на нее должен действовать некоторый лголгент силы. (Чтобы на карусели двигаться по радиусу, нужно наклониться и толкаться вбок. Попробуйте как-ннбудь сами проделать зто.) Поскольку момент силн равен скорости изменения Л во время движения массы т по радиусу, то дй д (тю г') дг т=ркг= — = =Вг= дг = а' = 2тгог— где через г"и обозначена сила Корнониса. В действительности мгв хотели узнать, какую боковую силу должен прилагать Мик, чтобы двигать массу т со скоростью и,=гггуиг.
Как видите, она равна Рк= сlг=2твиг. Теперь, имея формулу для кориолисовой силы, давайте рассмотрим несколько более подробно всю картину в целом, Как можно понять причину возникновения этой сины из элементарных соображеннйг Заметьте, что кориолисова сила не зависвт от расстояния до оси и поэтому действует даже на оси! Оказывается, что легче всего понять именно силу, действующую на осн вращения. Для этого нужно просто посмотреть на все происходящее из инерцнальной системы Джо, который стоит на земле. На фиг.
19.4 показаны три последовательных положения массы т, которая при у=О проходит через ось. Из-за вращения карусечи масса, как мы видим, движется не по прямой линии, а по некоторому криволяу пути, касающемуся диаметра в точке г=О. Но для того чтобы она двигалась по кривому пути, должна действовать ускоряющая сила. Это и есть кориолисова сила. Однако с кориолисовой силой мы встречаемся не только в подобных ситуациях. Можно показать, что если предмет движется с постоянной скоростью по краю диска, то на него тоже действует кориолисова сила. Почемуу Мкк видит предмет движущимся со скоростью ин, а Джо видит его движущимся по окружности со скоростью ид — — им+сог, поскольку предмет вдобавок переносится каруселью. Как мы уже знаем, действующая в этом случае сила будет, в сущности, полностью центробежной силой скорости ид, равной тид/г.
Но, с точки зрения Мика, она должна состоять из трех частей. Все это можно записать в следующем виде: тод от г г Г = — = — — — 2тдмсо — тсогг. г г 80 Итак, Р, — зто сила, которую измеряет Мик. Попытаемся понять, откуда что берется. Может ли Мик признать первый член1 «Конечно,— сказал бы он,— даже если бы я не вращался, то такая центробежная сила должна возникнуть, если побежать по кругу со скоростью иыз. Итак, зто просто центробежная сила, появления которой Мик ожидает и которая не имеет ничего общего с вращением карусели. Вдобавок Мик думает, что должна быть еще одна центробежная сила, действующая даже на неподвижные предметы на его карусели. Это дает третин член.
Однако в дополнение к ним существует еще один член — второй, который опять равен 2 взезим. Раньше, при радиальной скорости, корнолнсова сила Рк была тангенциальна. Теперь же, при тангенцнальной скорости, она раднальна. В самом деле, одно выражение отличается от другого только знаком. Сила всегда имеет одно и то же направление по отношению к скорости независимо от того, куда направлена скорость. Она действует под прямым углом к скорости н равна по величине 2тюи. Глава ЭО ВРАЩЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ 1, Моменты еи в трехмерн и! проетраж те ° ф у.
31о.мент»»ьс снл е н»1»ех»зерно.н «»1» ос»пранст«»вс В этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий законов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое оппсание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство, Однако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных случаев. Прежде всего хочу отметить, что для вращения в трех измерениях твердого тела или какого-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
