Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Другими словами, если нам известны центры масс всех частей сложного тела, то, чтобы найтя его центр масс, не нужно повторять все сначала, а достаточно просто найти центр масс системы точечных тел с массами, равными массам каждой из частей и расположенными в их центрах масс, Посмотрим, как это получается. Пусть мы хотим определить центр масс сложного тела, одни из частиц которого принадлежат части А, а другие — части В. Прн этом мы можем разбить полную сумму '~'т,.х, на сумму по части А, т. е. ~дт;хэ и сумму по части В, т.

е. '«'вл»гтг Если бы мы находили центр масс только части А, то нам потребовалась бы первая пз этих сумм, которая, как вы знаете, равна ЛдХэ, т. е. полной массе части А на х-координату ее центра масс: это просто следствие теоремы о центре масс, примененной к части А. То же самое можно сказать и о части В.

Сумма ~~вт,х; должна быть равна МвХв. Сложив эти два результата, мы, конечно, должны получить МХ, т. е. МХци, —— ,~~тех,+ ~тот, =МлХа+МвХв, (19 2) А В Полная же масса М, очевидно, равна Ма+Ма, так что выражение (19.2) представляет собой не что иное, как определение центра масс двух точек, одна из которых имеет массу Мз и координату Хд, а другая — массу Мв и координату Хв. Теорема о движении центра масс интересна не только сама по себе, она еще играет очень важную роль в развитии нашего понимания физики.

Если мы предположим, что законы Ньютона верны только дчя маленьких частей, составляющих большое тело, то эта теорема показывает, что они верны также и для большого тела. Мы можем не знать его детального строения и нам известны л~ппь общая масса и полная сила, действующая на него. Другими словами, законы Ньютона имеют ту особенность, что если они справедливы в малом масштабе, то справедливы и в большом. Нет никакой нужды рассматривать футбольный мяч как ужасно сложную вещь, состоящую из мириада взаимодействующих частиц, а достаточно изучить только движение его центра масс под действием внешней силы Г, чтобы получить Г=-та, где а — ускорение центра масс, а т — полная масса мяча.

Итак, закон Г=л»а воспроизводит сам себя в большом масштабе. (Наверное, должно быть каное-нибудь хорошее греческое слово, которым можно было бы назвать подобные воспроизводящие себя в большом масштабе законы.) Нетрудно, конечно, догадаться, что первый открытый человеком закон должен быть именно таким законом, воспроизводящим самого себя в болыном масштабе. ПочемуГ Да просто потому, что истинный размер фундаментальных «вннтиков и колесиков» Вселенной есть атомный размер, который настолько меньше размеров окружающих нас вещей, что только сейчас начинает входить в обычную жизнь. Итак, первая открытая человеком закокомеркость ие могла иметь отношения к размерам атомного масштаба.

Если бы законы для малых частиц не воспроизводили себя в большом масштабе, то открыть их было бы ие так-то легко. А что можно сказать об обратной проблеме? Должны ли законы микромира быть теми же самыми, что и для болыпих тел? Никакой необходимости в атом, конечно, вет. Давайте, однако, предположим, что истпииое движение атомов описывается кеким страииым уравнением, которое не воспроизводит себя при переходе к большему масштабу.

Вместо этого око обладает тем свойством, что при таком переходе его можно прибл женно заменить каким-то выражением, которое при все большем и большем увеличении масштаба воспроизводит само себя. Зто вполне может случиться, и в действительности так оио и происходит. Законы Ньютона являются как бы «копчиком хвоста» атомных закопав, продолженных до очекь больших размеров. Истинные законы движения частиц очень малых размеров весьма специфичны, ио если мы возьмем большое число частиц и скомбииируем законы их движения, то приближенно, и только приближенно, получим законы Ньютона. После этого заковы Ньютона позволяют лам двигаться ко все большим размерам, оставаясь при этом теми же самыми законами. В сущности, при переходе ко все большим и большим раамерам они все точнее и точиее описывают природу.

Так что факт самовоспроизводимости законов Ньютона — отнюдь ие фукдамектальиое свойство природы, а важная историческая особенность. Основываясь иа своих первых наблюдениях, мы никоим образом ие смогли бы открыть фундаментальные атомные заковы, поскольку наблюдения эти были слишком грубыми. Действительно, фундаментальные атомные заковы, которые мы иазываем квантовой механикой, так сильно отличаются от законов Ньютона, что повять их ие просто. Ведь у кас есть только опыт обращения с телами больших размеров, а крохотные атомы ведут себя совершенно невиданным для таких тел образом. Мы ие можем сказать: «Злектроиы в атомах напоминают планеты, крутящиеся вокруг Солнца», или что-то в этом роде.

Оки ие похожи ни на что известиое кам, ибо мы не видим ничего похожего на них. Если мы применяем кваитовую механику ко все большим и большим объектам, то законы поведения такого коллектива атомов не воспроизводят поведения одного атома, а дают новый закон — закон Ньютона, который уже воспроизводит сам себя, начиная с объектов весом в 1 миллкоииую микрограмма, содержащих еще миллиарды и миллиарды атомов, к вплоть до тел величиной с Землю и даже еще больших.

Вернемся, однако, к центру масс. Часто его иазывают иентром тяжести, так как во многих случаях для силы тяготеиия можно провести точно такие же рассуждения, как и для масс. Если размеры достаточно малы, то силу тяжести можно считать не только пропорциональной массе, но и направленной всюду параллельно некоторой фиксированной линии. Возьмем тело, в котором сила тяжести действует на каждую нз составляющих его частей, а т,. — масса одной из этих частей. Действувпцая на нее сила тяжести будет тогда равна произведению т,. над. Возникает вопрос: в какой точке нужно приложить одну-единственную силу, чтобы сбалансировать притяжение всего тела так, чтобы оно (если это твердое тело) не вращалосьр Отвелм сила должна проходить через центр масс.

Доказывается зто следующим образом. Чтобы тело не вращалось, сумма моментов всех спл должна быть равна нулю, ибо если нет момента снл, то нет и изменения момента количества движения, а позтому нет и вращения. 'Галим образом, мы доля<ны подсчитать сумму всех моментов, действующих на все частицы, и посмотреть, какой получится полный момент относительно любой данной оси: он должен быть равен нулю, если ось проходит через центр масс.

Направив ось х горизонтально, а ось у вертикально, мы найдем, что моменты сил равны силам, направленным вниз, умноженным на плечо х (т. е. сила на плечо относительно той оси, для которой измеряется момент силы). Полный же момент равен сумме т = ~'„т,дх, = д~т,хг (19. 3) Чтобы полный момент отсутствовал, сумма,У~и;х,. должна быть равна нулю. Но зта сумма равна МХ вЂ” полной массе, умноженной на расстонние от оси х до центра масс.

Итак, зто расстояние должно быть равно нулю. Разумеется, мы провели проверку только для х-направления, однако если мы действительно взяли центр масс, то тело должно быть уравновешено в любом положении, позтому, повернув его на 90', мы вместо оси х получим ось р. Другими словами, если держать тело за центр масс, то параллельное гравитационное поле не дает никакого момента сил.

Если же объект настолько велик, что становится существенной непараллельность сил притяжения, то точку, в которой должна быть приложена уравновешивающая сила, описать не просто: она несколько отклоняется от центра масс. Вот почему нужно помнить, что центр масс и центр тяжести — разные вещи. Тот факт, что тело, поддерживаемое точно за центр масс, уравновешено в любом положении, имеет еще одно интересное следствие. Если вместо гравитационных спл взять инерционные псевдосилы, возникающие вследствие ускорения, то, чтобы найти точку, уцепившись за которую мы уравновесим все моменты зтих сил, можно использовать ту же самую математическую процедуру. Предположим, что мы заключили тело внутрь ящика, который 70 ускоряется вместе со всем его содержимым.

Тогда, с точки зрения наблюдателя, сидящего в этом ящике, на тело вследствпе инерции будет действовать некая эффективная сила. Иначе говоря, чтобы заставить тело двигаться вместе с ящиком, нужно подталкивать и ускорять его. Эта сила «уравяовешггвается силой инерцингь которая равна массе тела, умноженной на ускорение ящика.

Наблюдателю в ящике будет казаться, будто тело находится в однородном гравитационном поле, величина д которого равна ускорению ящика а. Таким образом, инерционные силы, возникающие вследствие ускорения тела, не имегот момента относительно центра масс. Этот факт имеет очень интересное следствие.

В инерционной системе, движущейся без ускорения, момент сил всегда равен скорости изменения момента количества движения. Однако равенство момента силы и скорости изменения момента количества движения остается справедливгглг даже для ускоршощегося тела, если взять ось, проходящую через цеятр масс. Таким образом, теорема о равенстве момента сил скорости изменения момента количества движения верна в двух случаях: 1) ось фиксирована — в ннерциальной системе; 2) ось проходит через центр масс — даже когда тело ускоряется.

ф 3. Положетгые цеыгмра масс Математическая техника вычисления центра масс относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерамн по интегральному исчислению. Но, даже умея интегрировать, полезно знать некоторые трюки для вычисления положения центра масс. Один из таких тргоков основан на использовании так называемой теоремы Паппа, которая работает следующим образом. Если мы возьмем какую-то замкнутую фигуру н образуем твердое тело, вращая зту фигуру в пространстве так, чтобы каядая точка двигалась перпендикулярно к плоскости фигуры, то объем образующегося прн этом тела равен произведению площади фигуры на расстояние, пройденное ее центром тяжести! Разумеется, эта теорема верна и в том случае, когда плоская фигура движется по прямой линии, перпендикулярной к ее площади, однако если мы движем ее по окружности или какой-то другой кривой, то при этом получается гораздо более интересное тело.

Характеристики

Список файлов книги