Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Иначе говоря, хг'„ — рРв так и остается моментом силы «в плоскости хр», или моментом силы «относительно оси з». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения величины хр, — ур„; если вы вспомните вывод уравнения (18.181 из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обстоятельства, что движение плоское, и просто дифференцировали величину хр« — ур„и получали х!'« — уР„, так что эта теорема остается верной. Величину хр« — рр„мы называли моментом количества дви»кения в плоскости хр, или моментом количества движения относительно оси з.
Кроме плоскости хр, можно использовать другие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость уз. Уже из симмет- Уршиипез з1ш3!!е!!ия и иск где!!д ', закс 8 8. Гирде:. !:! 1!, Мд»сит ко,'!!!'!!'стз!! дикжеяля тв~:-р !о!о те.!а рии ясно, что если мы просто подставим у вместо х, а г вместо у, то для момента силы получим выражение уг",— гр«и ур,— гр« будет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще ваять и плоскость гх и получить для нее И гр„— хр, = —, (гр„— хр,). Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей.
Более того, если мы складывали такие величины, как хр» — ур„, для многих частиц и называлн это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выраженийдчя трех плоскостей: ху, уг и гх, а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить н о полных моментах сил в этих плоскостях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.
Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказывается, что если мы в комбинации х'Р— у'Р" для «косой» плоскости выразим величины х', р«и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях ху, уг и гх. В этом нет ничего нового. Другими словами, если нам известны три момента снл в плоскостях ху, уг и гх, то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комбинации: скажем, 6'/, одного, 92«/ другого и т.
д. Этим свойством мы сейчас и займемся. Пусть Джо для своих координатных осей х, у, г определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси х', у', г' по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только осн х и у. Мик выбрал другие оси х' и у', а его ось г осталась той же самой. Это означает, что плоскости уг и гх у него новые, а поэтому моменты сил иугловые моменты у него тоже окажутся новыми.
Например, его момент сил в плоскости х'у' окажется равным х'㫠— у'г„и т. д. Следующая задача — найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее вполне можно решить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же напоминает то, что мы делали с векторами»,— скажете вы. Действительно, я собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» —. спросите вы. Действи- тпехьно, он — вектор, однако этого нельзя сказать просто так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как это все работает.
Моменты сил, вычисленные Джо, равны т« =хГ уГ . т» = Уà — зГю (20Л) ° ° ° В этом месте мы сделаем отступление н заметим, что в подобных случаях, если оси координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак. Почему бы не написать т»,— — зГ« — УГ,? Этот вопрос связан с тем обстоятельством, что система координат моясет быть либо «левая», либо «правая». Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у т„», можно всегда определить правильное выра»кение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем: х х или з у Е у ° ° ° Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе тк « =х'Г« — у'Гх ~ тк, —— у'Г; — г'Г«, т, „=з'Г„.— х'Г;.
» (20.2) х'=х соэ О+у з1в О, у'=у соз Π— хаев О, Ф г =г. (20. 3) Точно таким же образом, поскольку сила является вектором, опа преобразуется в новой системе координат так же, как х, у и з. Просто, по определению, объект называется вектором 84 Пусть одна система координат повернута на угол О по отношению к другой, так что ось г осталась той же самой.
(Угол 0 ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то происходящим внутри системы координат. Это просто связь между осями, используемыми одним человеком, и осями, используемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоянным.) При этом координаты в двух системах связаны так: тогда и только тогда, когда различные его компоненты преобра- зуются как х, у и г Р„= Рз соз О + Р„яп О, Р„=Р„соз Π— Р„зш О, (20.4) Теперь можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2) нужно просто подставить вместо х', у' и г' выражение (20.3), а для Р„, Рз и Р; — выражение (20.4). В результате для тз „получается длинный ряд членов, но оказывается (и па первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к выражению хРз — уР„, которое, как известно, является моментом силы в плоскости ху: т„г — — (х соз О+уяпО) (Р„созΠ— Р'„з1пО)— — (усозΠ— хяпО) (Р„созО+Р„япО)= =хР„(соз'О+ яп'8) — уР„(з(п' О+ соз'8) + + хР„( — яп О соз 0+ яп О соз 0) + +уР„(япОсозΠ— япОсозО) = = хЄ— уР„= таю (20.
5) результат совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости ху, при этом момент относительно оси г в этой плоскости не отличается от прежнего: ведь плоскостьто осталась той же самой! Более интересно выражение для тз, . Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью.
Если теперь повторить то же самое с плоскостью у'г', то получим тм, — — (у соз 0 — х з1п О) Р,— г(Р„соз Π— Р„з!п 8) = =(уР,— гР,) соз0+ (гЄ— хР,) з(п 0= = т„сов О + т,„я и 8. (20.6) р! наконец, для плоскости г'х' т, з = г (Р„соз 0+ Рз яп 0) — (х соз О -',- у з1п 0) Р, = = (гЄ— хР,) соз 0 — (уР,— гР,) яп 0= = т,„соз 0 — тт, яп О.
(20.7) Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно запомнить это правило7 Если внимательно посмотреть на уравнения (20.5) — (20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для х, у и г существует тесная связь. Если какимто образом мы бы могли назвать т„„г-компонентой чего-то, скажем г-компопентой вектора т, то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора т, ибо г-компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость уз с х-компонентой новоиспеченного вектора, а плоскость гх с у-компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так: т,=т,, т„.
= „ ° 0 + т« з(п Е, т« =т„созб — т„з(пб, (20,8) что в точности соответствует закон« преобразования векторов. Мы, следовательно, доказали, что комбинацию хР« — уг"„ можно отождествить с тем, что обычно называется з-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода«кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе кручения.
Три компоненты такой величины будут преобразовываться прп вращении как самый настоящий вектор. Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Согласно правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к атой плоскости. Однако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределенный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси з. Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат хуз правосторонняя; тогда правило доли<ко быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с зтим кручением, определяется поступательным движением болта.
Почему же момент можно отождествить с вектором? А зто счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство — особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент— самыйобычныйскаляр, не нуждающийся в направлении. В трехмерном пространстве он — вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бьг больпюе затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) дополнительно к трем плоскостям ху, уз и зх появятся также плоскости ~х, гу и йь Всего, следовательно, получается п«есть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного вектора невозможно, с =а„Ь вЂ” а Ь„, «е««у~ се — — а,܄— а„Ь„ с,= а«Ь» — а»Ь„.
(20, 9) Если переменить порядок векторов а и Ь, т. е. вместо аХЬ ваять Ь Х а, то знак вектора с при этом изменится, ибо с, равно Ь„ае — Ь„а„. Векторное произведение поэтому не похоже на обычное умножение, для которого аЬ=Ьа. Для векторного произведения ЬХа=- — аХЬ. Отсюда немедленно следует, что если а=Ь, то векторное произведение равно нулю, т. е.
аХа=-0. Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов а, Ь и с. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить следующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор с перпендикулярен как к вектору а, так и к вектору Ь. (Попробуйте вычислить с Ха и вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора с оказывается равной произведению абсолютных величин векторов Ъ и а, умноженному на синус угла между ними.
А куда направлен вектор сг Вообразите, что мы доворачиваем вектор а до вектора Ь в направлении угла, меньшего (80'; если крутить в ту же сторону болт с правовпнтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении вектора с. То, что мы берем правовинтовой болт, а не левовинтовой,— простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов а и Ь вектор нового типа а Х Ь по своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов а и Ъ, кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
