Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Таким обрааом, определяя изменение работы как момент, умноженный на угол поворота, мы получаем формулу, выражающую момент через силы. (Это понятно. Поскольку момент не является полностью новым понятием, не зависящим от механики Ньютона, то он должен определенным образом выражаться через силу.) Пусть теперь на тело действует несколько снл. Тогда работа, производимая этими силами, равна сумме работ от каждой силы, так что Л11' будет иметь вид суммы множества членов: по одному для каждой пз сил, однако каждый иг них пропорционален ЛО.
Эту величину ЛО »1оясно вынести за скобку и получить, что работа равна сумме моментов от всех действующих сил, умноженной на ЛО. Эту сумму можно назвать полным моментом сил и обозначить т. Как видите, моменты складываются по обычным законам алгебры, однако, как вы узнаете после, это происходит из-за того, что мы ограничиваемся только плоскими вращениями. Эта ситуация напоминает одномерное движение, в котором силы просто складываются алгебраически; ведь все они в этом случае действуют вдоль одной и той же прямой. В трехмерном пространстве все более сложно.
Таким образом, для двумерного вращения т,.= х,р; — у,,Ргг (18. 12) и т=~ч~т, (18. 13) Нужно только помнить, что это справедливо лишь для вращения вокруг одной осн. Если брать различные оси, то все хг и у; изменятся, соответственно изменяются (ооычно) и величины моментов. Отвлечемся теперь на минуту н заметим, что предыдущий способ введения момента дает очень важный результат для тела, находящегося в равновесии: если сбалансированы все силы, действующие на объект, и перемещающие и вращающие, то нужно, чтобы не только полная сила была равна нулю, но и полный момент, так как при малом перемещении обзекта, находящегося в равновесии, никакой работы не производится. Следовательно, из того, что ЛИг=тЛО=О, можно заключить, что сумма всех моментов должна быть равна нулю. Таким образом, для равновесия необходимо выполнение двух условии: а) сумма всех сил равна нулю и б) сумма всех моментов тоже равна нулю.
Попробуйте доказать сами, что в двумерном случае достаточно равенства нулю суммы моментов сил относительно какой-либо одной оси. Вернемся теперь к случаю одной силы, действующей на тело, и попытаемся выяснить, что же геометрически означает 59 Ф и в. 1о.я. Враиеающий .иоиеи~л, совдаваемий силой. странное выражение хГ« — уГс На фпг. з8.2 вы видите силу Г, приложенную в точке Р. Когда тело поворачивается на малый угол ЛО, то естественно, что произведенная прп этом работа равна составляющей в направлении перемещения, умноженной на величину перемещения.
Иначе говоря, работает только тангенциальная составляющая силы, которая умножается на расстояние гЛО. Поэтому момент равен тангепциальной составляющей силы (перпендикулярной к радиусу), умноженноп на радиус. Это хорошо согласуется с нашим первоначальным понятием момента, потому что полностью радиальная сила не может крутить тело. Крутящее действие силы, очевидно, происходит только от той ее части, которая не тянет тело от центра.
Она н называется тангенцнальной составляющей. Ясно, кроме того, что данная сила закручивает тело тем сильнее, чем далыпе от центра она приложена. Попробуйте раскрутить тело давлением прямо па его ось! Таким образом, тот факт, что момент силы пропорционален как радиальному расстоянинд так и тангенциальной составляющей силы, имеет свой смысл. Существует еще третье, очень интересное выражение для момента силы. Как вы только что узнали, момент силы равен силе, умноженной на радиус и на синус угла сс (см. фиг.
18.2). Если теперь продолжить линию действия силы и провести прямую, перпендикулярную к ней, то нетрудно видеть, что длина ОВ (она часто называется плечом силы) во столько раз короче радиуса, во сколько тангенциальная составляющая силы меныпе полной ее величины. Поэтому можно записать, что момент равен произведению величины силы на длину ее плеча.
Мы не знаем точно, откуда произошел термин «момент силы» — по-видпмому, от латинского тоиотеп$ит, что означает способность силы двигать объект (используя какой-либо рычаг), тем более заметную, чем длинней плечо силы. Кстати, в математике слово «моменто означает усреднение с весом, в качестве которого взято расстояние до оси. ф 3. я«о.веэ««ы молчач есмхва дв««лсе««««я Хотя до сих пор мы рассматривали только специальный случай твердого тела, свойства момента н его математическое выражение интересны даже тогда, когда тело не твердое. Можно дока- Ф и в. 1В.В.
Движение чпстивн птыпситвлиып пси врпгввыия О. зать очень интересную теорему: подобно тому как внешняя сила равна скорости изменения величины р, которая называется полным импульсом системы частиц, так и момент силы равен скорости изменения некоторой величины /, называемой моментом количетнеа двихсенил, или углоеы.о лгоментом группы частиц. Чтобы доказать это, рассмотрим систему частиц, па которую действуют силы, и посмотрим, что произойдет с системой в результате действия вращающих моментов, созданных этими силами.
Для начала давайте возьмем только одну частицу. Такая частица с массой т и осью О изображена на фиг. 18.3. Она не обязательно должна вращаться по окружности вокруг оси О, а может двигаться и по эллипсу, подобно планете вокруг Солнца, или по какой-нибудь другой кривой. Главное то, что она движется, что на нее действует сила, которая ускоряет ее в соответствии с обычными законами: х-компонента силы равна массе, умноженной на х-компоненту ускорения, и т.
д. Но посмотрим теперь, как действует момент силы. Он, как вы знаете, равен хри — ур„, а х- и у-компоненты силы в свою очередь равны массе, умноженной соответственно на х- и у-компоненту ускорения, так что т =- хРи — УР„= хт ~ —, ) — Ут ( —,) . (18,14) Хотя сразу и не видно, что это вырагкение является производной от какой-то простои величины, но на самом деле оно равно производной от хт(с/угг/г) — ут(ох/о/). Действительно, В / Ву сгс 'г сссу, сгс ду — ( хт-- — ут — ) =-хт — + — т —— 'ес ' Вс,) = сгм сгг Лг псп ВВ пс Всу сг с — ут- — — — -ггг —" =-хт — — ут — .
(18.15) Вгс сгс сгг гггс сгг Оказывается, таким образом, что момент силы равен скорости взменения со временем некоторой величины! Давайте обратим внимание на эту величину и прежде всего дадим ей пмя. Она будет называться момонтом количества движения, илн угловым моментом, н обозначаться буквой Л /. = хт — — ут — = хри — ур„. сгу ссв (18 16) Хотя во всех наших рассмотрениях мы не принимали в расчет теорию относительностп, тем не менее второе выражение для Ь верно и при учете ее. Итак, мы нашли, что у обычного импульса также существует вращательный аналог — угловой момент, который связан с компонентами импульса точно так же, как и момент силы связан с компонентами силы1 Так что если мы хотим вычислить момент количества движения относительно какой-то оси, то должны взять тангенциальную составляющую импульса и умножить ее на радиус.
Другими словами, угловой момент показывает, насколько быстро движется частица вокруг какого-то центра, ведь он учитывает только тангенцнальную часть импульса. Более того, чем дальше от центра удалена линия, по котороп направлен импульс, тем больше будет угловои момент. Точно так же, поскольку геометрия в этом случае та же, что и в случае момента силы, существует плечо импульса (оно, разумеется, не совпадает с плечом силы, действующей на часттщу), которое равно расстоянию линии импульса от оси. Таким образом, угловой момент равен просто величине импульса, умноженного па его плечо. Точно так же, как и для момента силы, для углового момента мы можем написать следуюпГне три формулы: Б =хр — урн = = гртанг = =,и Плечо импульса.
(18.17) Момент количества движения, как и момент силы, зависит от положения осн, относительно которой он вычисляется. Прежде чем перейти к рассмотрению более чем одной частицы, применим полученные выше результаты к движению плаветы вокруг Солнца. В каком направлении действует сила? Конечно, по направлению к Солнцу. А какой при этом будет момент силыа разумеется, все зависит от того, в каком мосте мы выберем ось, однако результат получится совсем простым, если в качестве точки вращения выбрать само Солнце.
Поскольку момент силы равен силе, умноженной на ее плечо, или компоненте силы, перпендикулярной к радиусу г, умноженной на г, то в этом случае нет никакой тангенцнальной составляющей сялы, а поэтому момент силы относительно оси, проходящей через Солнце, равен нулю. Следовательно, момент количества движения должен оставаться постоянным. Давайте-ка посмотрим, что это означает. Произведение тангенциальной компоненты скорости на массу и радиус, будучи моментом количества движения, должно оставаться постоянным, потому что скорость его изменения есть момент силы, который в нашем случае равен нулю. Это означает, что остается постоянным произведение тангенциальной компоненты скорости на радиус, поскольку масса-то уж, конечно, не изменяется. Но такая величина, характеризующая движение планеты, уже вычислялась нами раньше.
Предположим, что мы взяли маленький промежуток времени М. Какое расстояние пройдет планета при своем движении из точки Р в точку 9 гфиг. 18.3)? Как велика площадь той области, которую «заметает» прямая, соединяющая планету с Солнцем? Пренебрегая площадью 0~')'Р, которая очень мала по сравнению с ОР О, находим, что площадь этой области равна половине основания Рг.г, умноженного на высоту О??. Другими словами, «заметенная» площадь равна половине произведения скоростгг на ее плечо. Так что скорость изменения этой площади пропорциональна моменту количества движения, который остается постоянным. Итак, мы получим, что закон Кеплера о равных площадях за равные промежутки времени является просто словесным описанием закона сохранения момента количества движения, когда моменты внешних сил отсутствуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
