Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Прн движении по кривому пути внутренняя часть фигуры продвигаетсн меньше, чем внешняя, и эти эффекты компенсируют друг друга. Так что если мы хотим определить центр масс плоской фигуры с однородной плотностью, то нужно помнить, что объем, образуемый вращением его относительно оси, равен расстоянию, которое проходит центр масс, умноженному на площадь фигуры. Ф и з. у9.2. Прялгоугоиьный треугольник и ярямой круговой конус, образованный вращением етого треугольника. Например, если нам нужно найти центр масс прямоугольного треугольника с основанием Р и высотой ХХ (фнг.
19.2), то зто делается следующим образом. Вообразите себе ось, проходящую вдоль Н, и поверните треугольник на 360' вокруг этой осн. Зто дает нам конус. Расстояние, которое проходит х-коорднната центра масс, равно 2лх, а площадь области, которая двигалась, т. е. площадь треугольника, равна г/з/ХР. Произведение расстояния, пройденного центром масс, на площадь треугольника равно объему конуса, т.
е.'/,лР'Н. Таким образом, (2лх)(г/зНР)=я~/глРзН, или х=Р/3. Совершенно аналогично вращением вокруг второго катета или просто по соображениям симметрии находим, что у=Н/3. Вообще центр масс любого однородного треугольника находится в точке пересечения трех его медиан (линий, соединяющих вершину треугольника с серединой противоположной стороны), которая отстоит от основания на расстоянии, равном Нз длины каждой медианы. Как зто увидеть? Рассеките треугольник линиями, параллельными основанию, на множество полосок.
Заметьте теперь, что медиана делит каждую полоску пополам, следовательно, нентр масс должен лежать на медиане. Возьмем теперь более сложную фигуру. Предположим, что требуется найти положение центра масс однородного полукруга, т. е. круга, разрезанного пополам. Где будет находиться центр масс в атом случае? Для полного круга центр масс расположен в геометрическом центре, но для полукруга найти его положение труднее. Пусть г — радиус круга, а х — расстояние центра масс от прямолинейной границы полукруга.
Вращая его вокруг этого края как вокруг оси, мы получаем шар. При этом центр масс проходит расстояние 2лх, а площадь полукруга равна г/злгз (половине площади круга). Гак как объем шара равен, конечно, 4лгз/3, то отсюда находнм (2лх) ( 2 лг' ) = "З илн йг х= — „. Зл ' Существует еще другая теорема Панна, которая фактически является частным случаем сформулированной выше теоремы, г2 а потому тоже справедлива. Предположим, что вместо твердого полукруга мы ваяли полуокружность, например кусок проволоки в виде полуокружности с однородной плотностью, и хотим найти ее центр масс. Оказывается, что площадь, которая «заметается» плоской кривой при ее движении, аналогичном вышеописанному, равна расстоянию, пройденному центром масс, умноженному на д.аипу этой кривой. (Кривую можно рассматривать как очень узкую полоску и применять к ней предыдущую теорему.) ф 3.
л»ыч««олен««е мол«еюиа ««нер«1««н Рассмотрим теперь проблему определения момента инер~1ии различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции обьекта относительно оси х имеет вид 1 = ~« т;(х, + у,), или 1= ~ (х'+у') «(т = ) (х'+у') йап. (19. 4) Млт «(«п =-— ь г,мл* и г, мп 1= ) х' — = — ) х'«(х= —, ь л 3 з (19.5) Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины, так что единственная существенная величина, которую мы вычислили, зто множитель '/з. А чему будет равен момент инерции Х, если ось вращения проходит через середину стержня? Чтобы найти его, нам снова Иными словами, нужно сложить все массы, умножив каждую из них на квадрат ее расстояния до оси (х;+р«).
Заметьте, что зто верно даже для трехмерного тела, несмотря на то, что расстояние имеет такой «двумерный вид». Впрочем, в большинстве случаев мы будем ограничиваться двумерными телами. В качестве простого примера рассмотрим стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему (фиг. 19.3). Нам нужно просуммировать теперь все массы, умноженные на квадраты расстояния х (в этом случае все у — нулевые). Под суммой, разумеется, я имею в виду интеграл от х», умноженный на «злементики» массы. Если мы разделим стержень на кусочки длиной дх, то соответствующий элемент массы будет пропорционален «(х, а если бы «(х составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна М.
Поэтому зр и г. 19.8. Прямой ппержень, вращающийся вокруг оси, нроаодящей через один из его концов. нужно взять интеграл, ио уже в пределах от — ззгЛ до +зуг Л. Заметим, однако, одну особенность этого случая. Такой стержень с проходящей через центр осью можно представлять себе как два стержня с осью, проходящей через конец, причем масса каягдого из них равна М,'2, а длина равна Л,'2. Моменты инерции двух таких стержней равны друг другу и вычисляются по формуле (19.5). Поэтому момент инерции всего стержня равен 2(ЛХ'2) (Е 2]г М.~У (19.6) 3 (2 Таким образом, стержень гораздо легче крутить за середину, чем за конец.
Можно, конечно, продолжить вычисление моментов инерции других интересующих нас тел. Но поскольку такие расчепг требуют большого опыта в вычислении интегралов (что очень важно само по себе), они как таковые не представляют для нас большого интереса.
Впрочем, здесь имеются некоторые очень интересные и полезные теоремы. Пусть имеется какое-то тело и мы хотим узнать его момент инерции относительно какой-то оси. Это означает, что мы хотим найти его инертность при вращении вокруг этой оси. Коли мы будем двигать тело за стерхгень, подпирающий его центр масс так, чтобы оно не поворачивалось при вращении вокруг оси (в этом случае на него не действуют никакие моменты сил инерции, поэтому тело не будет поворачиваться, когда мы начнем двигать его), то для того, чтобы повернуть его, понадобится точно такая же сила, как если бы вся масса была сосредоточена в центре масс и момент инерции был бы просто равен 1з=МЛцге, где Л„„— расстояние от центра масс до оси вращения. Однако формснула эта, разумеется, неверна.
Она не дает правильного момента инерции тела. Ведь в действительности при повороте тело вращается. Крутится не только центр масс (что давало бы величину 1,), само тело тоже должно поворачиваться относительно центра масс. Таким образом, к моменту инерции 1, нужно добавить 1„— момент инерции относительно центра масс.
Правильный ответ состоит в том, что момент инерции относительно любой оси равен (19. 7) 1=1, + зе11зциз.. Эта теорема называется теоремой о парнллельнояг пеРеносе оси. Доказывается она очень легко. Момент инерции относи- тельно любой оси равен сумме масс, умноженных на сумму квадратов х и у, т. е. Т=~~т,(х1+у~). Мы сепчас сосредоточим наше внимание на х, однако все в точности можно повторить и для у. Пусть координата х есть расстояние данной частной точки от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем измерять расстояние х' от центра масс вместо х от начала координат.
Чтобы это выяснить, мы должны написать х,=х;+Х„а . Возводя это выражение в квадрат, находим Что получится, осли умножить его на т; и просуммировать по всем ~? Вынося настоянные величины ва знак суммирования, находим У„= '~~Р т,х, — ', 2Х „, ~ т,х, + Х,', а ~~ т, Третью сумму подсчитать легко; это просто МХ„„. Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых ~т,хб он равен х'-координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь х' отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их массами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть х от Хю Таким образом, мы и приходим к формуле (19.7).
Давайте проверим формулу (19Л) на одном примере. Просто проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен МЫ'3. А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии 112. Таким образом, мы должны получить, что МЛЧЗ=-МЮ12+М(Ю2)'. Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали никакой грубой ошибки.
Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обязательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине МУР, умноженной на некоторьш неизвестный коэффициент у. После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19.6) получить коэффициент Ч,у. Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что у=увы+Чю откуда у=ум Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь! При применении теоремы о параллельных осях важно помнить, что ось Уц должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.
Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью г, направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно осн г равен сумме моментов инерции относительно осей х и у.
Доказывается это совсем просто. Заметим, что 1„=-Хт, 1;;гэ)=~.,уз (поскольку все г;=О). Аналогично, 1„= ~т; (х' -',- г') = 2, т,х', по 1,=~ч„"т, (х,'+у,')=~~т х'+~~ т у',= — 1„+1 . Момент инерции однородной прямоугольной пластинки, например с массой М, шириной и и длиной Ь относительно оси, перпендикулярной к ней и проходящей через ее центр, равен просто М (аР+П) 1 г2 поскольку момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости пластинки и параллельной ее длине, равен Мюг112, т. е. точно такой же, как и для стержня длиной ю, а момент инерции относительно другой оси в той же плоскости равен М1з112, такой же, как н для стержня длиной 1.
Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью ю 1. Момент инерции равен 1, = ч, т; (х,'. + у,'.) = ~ (х'+ у') Ит. 2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей. 3.
Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс. 4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерций относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью. Таблича 19.1 ° простые примггы моментов инерции преаиет Ось г Тонкий стержень длиной 1 21й'Д 2 М (гв -1- гг)~2 Тонкое концентрическое кольцо с радиусами г, и г, 2Мг "1'5 Сфера радиуса г В табл.
19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а в табл. 19.2 — моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получоны из табл. 19.1 с использованием перечисленных выше свойств. Табаева 19.3 ° МОМЕНТЫ ИНГР11ИИ, ПОЛУЧЕННЫЕ ИЗ ТАБЛ. 1В.! гг Првлмвг Ось г Ма'(12 М(а*-1- Ь')92 Прямоугольник со сторонами а п Ь Прямоугольник со сторонами си Ь М (гв + гт)(г. Проходит через центр параллельно с М (аз+ М)Д2 Проходит через центр параллельно 1. М ге(2 М (г'(4+ Е')12) Проходит череа центр перпендикулярно к 1, ф 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
