Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ф 4. Закон сохранен»«я л«олгеигна колнчестава двг«эюения Посмотрим теперь, что получается в случае болыпого количества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разумеется, мы уже знаем, что момент силы, действующий на любую г-го частицу (т. е. произведение силы, действующей на г-ю частицу, на ее плечо), равен скорости изменения момента количества движения этой частицы, а момент количества движения г-й частицы в свою очередь равен произведению импульса частицы на его плечо.
Допустим теперь, что мы сложили моменты сил тг всех частиц и назвали это полным моментом сил т. Эта величина должна быть равна скорости изменения суммы моментов количества движения всех частиц Аг Эту сумму можно принять за определение новой величины, которую мы назовем полным моментом количества движения Ь. Точно так же, как импульс тела равен сумме импульсов составляющих его частиц, момент количества движения тела тоже равен сумме моментов составляющих его частиц. Таким образом, скорость изменения полного момента количества движения Ь равна полному моменту снл ~)8Л8) С непривычки может показаться, что полный момент сил — ужасно сложная штука. Ведь нужно учитывать все внутренние и и внешние силы. Однако если мы вспомним, что по закону Ньютона силы действия и противодействия не только равны, но и ("гто особенно важно!) действуюпг по одной и той хсв прямой в противоположны направлениях ~неважно, говорил ли об этом сам Ньютон или нет, неявно он подразумевал это), то два момента внутренних сил между двумя взаимодействующими частицами должны быть равны друг другу н направлены противоположно, поскольку для любой осп плечи их будут одинаковы.
Поэтому все внутренние моменты сил взаимно сокращаются и получается замечательная теорема: скорость изменения момента кттчества движения опьносительяо тобой оси равна моменту ысешних сия относительно этой же оси) т= т =т,„„ 1 ' ш ' (18,19) 1, = т,г,г, =-т;х,со. (18.20) (18.21) (18.22) Суммируя 1.с для всех частиц, получаем (.=Усе, где 1=.," т,г;. с Это выражение очень похоже на формулу для импульса, который равен произведению массы на скорость. Скорость Итак, мы получили в руки мощную теорему о движении большого коллектива частиц, которая позволяет нам изучать общио свойства движения, не зная деталей его внутреннего механизма. Ота теорема верна для любого набора частиц, независимо от того, образуют ли они твердое тело или нет.
Особенно вазкным частным случаем этой теоремы является закон сохранения момента количества движения, который гласит: если на систему частиц не действуют никакие вне1пнпе моменты сил, то ее момент количества движения остается постоянным. Рассмотрим один очень важный частный случай набора частиц, когда они образуют твердое тело, т. е. объект, который всегда имеет определенную форму и геометрический размер и может только крутиться вокруг какой-то оси.
Любая часть такого объекта в любой момент времени распался ена одинаковым образом относительно других его частей. Попытаемся теперь найти полный момент количества движения твердого тела. Если масса 1-й частицы его равна тп а положение ее (х,, у,), то задача сводится к определению момента количества движения этой частицы, поскольку полный момент количества движения равен сумме моментов количества движении всех таких частиц, образующих тело. Для двиягущейся по окружности точки момент количества движения равен, конечно, произведению ее массы на скорость и на расстояяие до оси вращения, а скорость в свою очередь равна угловой скорости, умноженной на расстояние до оси: чр и е. «ВА. Заеисеьиаспсь «инериии «ращения» ат плеча .наес. при этом заменяется на угловую скорость, а масса, как видите, заменяется на некоторую новую величину, называемую ломентом инерции 1.
Вот что играет роль массы при вращении! Уравнения («8.2!) и (18.22) говорят нам, что инерция вращения тела зависит не только от масс составляющих его частичек, но и от того, насколько далеко распололсены они от оси. Так что если мы имеем два тела равноп массы, но в одном из них массы расположены дальше от оси, то его инерция вращения будет больше. Это легко продемонстрировать на устройстве, изображенном на фиг. «8.й!.
Масса ЛХ в этом устройстве не может падать слишком быстро, потому что она должна крутить тяжелый стержень. расположим сначала массы т около оси вращения, причем грузик М будет как-то ускоряться. Однако после того, как мы изменим момент инерции, расположив массы т гораздо дальше от оси, мы увидим, что грузик М ускоряется гораздо медленнее, чем прежде.
Происходит это вследствие возрастания инертности вращения, которая составляет физический смысл момента инерции — суммы произведений всех масс на квадраты их расстояний от оси вращения. Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса обьекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьто себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь.
Можно легко изменить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чудеса, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции 1с, умноженному на угловую скорость ю„т. е. ваш момент количества движения равен 1!!9,. Согнув затем руки, вы тем самым уменыпили момент инерции до величины 19. Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение 1ю должно остаться тем же самым, то 1«ю! должно быть равно 1заг. Так что если вы уквныиили момент инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти.
3 З«п«е Эа г!99 Виа г Г.аааа И ЦЕНТР МАСС; МОМЕНТ ИНЕРЦИИ й 1. Свойства ценгра иаее ьа 2. Положение цеитра таке й" 1. Свойства т1ентыра еаасс 3„Вь~',а; ее алерцсц В предыдущей главе мы установили факт существования некоторой замечательной точки, называемой центром ласс.
Она замечательна тем, что если на частицы, образующие тело (неважно, будет ли оно твердым или жидким, звездным скоплением или чем-то другим), действует великое множество сил (конечно, имеются в виду только внешние силы, поскольку все внутренние силы компенсируют друг друга), то результирующая сила приводит к такому ускорению втой точки, как будто в ней сосредоточена вся масса тела М. Давайте теперь обсудии свойство центра масс несколько подробнее. Положение центра масс (сокращенно ц. м.) определяется уравнением оиергпл ераецеп!!а (1й).1) Это, разумеется, векторное уравнение, т.
е. фактически три уравнения — по одному для каждого из трех направлений. Но мы будем рассматривать только х-направление; если вы поймете, чтб происходит в х-направлении, то поймете и два остальных. Что означает равенство Х„„= 'ь(лет,/~т~1 Предположим на минуту, что тело разделено па маленькие кусочки с одинаковой массой га, причем полная масса будет равна числу таких кусочков Ж, умноженному иа массу одного кусочка, скаязем 1 г, или какую-то другую единицу. Тогда наше уравнение просто означает, что нужно ваять координаты х всех кусочков, сложить их и результат разделить на число кусочков, т. е.
Ф и г. 19.1, Центр масс сложного гнева лежит на линии, соединаюигей Чентри масс двух составляющих его частей. Хи „тч~Рх;,'тЛг=~ч~хг~У. Иными словами, если массы кусочков равны, то Х„„будет просто средним арифметическим х-координат всех кусочков. Но предположим, что один пз кусочков вдвое тяжелее, чем каждый из остальных. Тогда в нашу формулу его координата будет входить с коэффициентом 2, т. е. в суммах ее нужно учитывать дваясды. Нетрудно понять, почему это происходит. Ведь тяжелый кусочек можно представить себе как бы состоящим из двух легких, таких же, как и все остальные, так что, когда мы вычисляем среднее, его координату х нужно учитывать дваясды; ведь кусочков-то в этом месте два, Таким образом, Х„„.
равно просто среднему арифметическому х-координат всех масс, причем каждая координата считается некоторое число раз, пропорциональное массе, как будто она разделена на маленькие кусочки единичной массы. Исходя из этого, легко доказать, что Хц „, должна находиться где-то между самой близкой и самой далекой частичкой. Вообще центр масс должен лежать где-то внутри многогранника, проведенного через крайние точки тела. Однако вовсе не обязательно, чтобы центр масс находился в самом теле; ведь могут быть тела, подобные окружнести, например обруч, центр масс которого находится в геометрическом центре, а не на самом ооруче.
Конечно, если объект симметричен, например прямоугольник, обладающий линией симметрии, то его центр масс должен лежать где-то на атой линии. Кстати, прямоугольник имеет еще одну линию симметрии и это однозначно определяет положение его центра масс. Для просто симметричного объекта центр масс должен лежать где-то на оси симыетрииг ведь отрицательных х в этом случае ровно столько же, сколько и положительных.
Существует еще один очень забавный способ нахождения центра масс. Вообразите себе тело, состоящее из двух кусков А и В (фиг. 19.Ц. Центр масс в этом случае можно найти следующим образом. Находим сначала отдельно центры масс составных частей А и В и их полные массы Мй и Мв. После этого находим центр масс двух точечных тел, одно из которых имеет массу Мй и расположено в центре масс части А, а другое— массу Мв и расположено в центре масс части В. Полученная точка и будет центром масс всего тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
