Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Но как раз в предыдущей главе мы рассмотрелитакоедвиженпе. Ыы анализировали сложное столкновение и заметили, что поперечный импульс действительно не меняется при переходе в движущуюся систему координат. Стало быть, мы уже убедились, что р, =р» и р, =р,. Итак, полное преобразование разно Х р„= Х Нацетаю~цие Раацетаюы. частицы частицы ь17.13) пли в чуть измененных обозначениях Хр;„= Хр~„ 1 (17.14) где ь=1, 2, ... относится к сталкивающимся частицам, у'=1, 2,... — к частицам, возникающим при столкновении, а )ь=х, у, з рю р;, можно писать и короче рн оговаривая, что ь принимает три значения х, у и з.
Для четырехвекторов мы будем применять похожее обозначение: будем писать р, а )ь пусть заменяет собой четыре направления ц х, у, г. Конечно, можно пользоваться любыми обозначениями. Не улыбайтесь, что мы так много говорим об обозначениях; учитесь изобретать их: в них вся сила. Ведь и сама математика в значительной степени состоит в изобретении лучших обозначений. Идея четырехвектора — это тоже усовершенствование обозначений с таким расчетом, чтобы преобразования было легче запомнить.
Итак, Л вЂ” это общий четырехвектор, р„— четырехимпульс, р, — энергия, р,— импульс в направлении х, рц — в направлении у, р,— в направлении г. Складывая четырехвекторы, складывают их соответствующие компоненты. Если четырехвекторы связаны какям-то уравнением, то это значит, что уравнение выполняется для любой компоненты. Например, если закон сохранения трпвектора импульса собльодается в столкновении частиц, т. е. сумма импульсов множества взаимодействующих или сталкивающихся частиц постоянна, то это означает, что сумма всех компонент импульсов постоянна и в направлении х, и в направлении у, и в направлении г. Сам по себе такой закон в теории относительности невозможен: он неполон; это все равно, что говорить только о двух компонентах тривектора.
Неполон он потому, что при повороте осей разные компоненты смешиваются, значит, в закон сохранения должны войти все три компоненты. Таким образом, в теории относительности нужно дополнить закон сохранения импульса, включив в него сохранение временной кольпоненты.
Абсолютно необходимо, чтобы сохранение первых трех компонент сопровождалось сохранением четвертой, иначе пе получится релятивистской инвариантности. Четвертое уравнение — это как раз сохранение энергии; оно должно сопровождать сохранение импульса для того, чтобы четырехвекторные соотношения в геометрии пространства-времени были справедливы, Итак, закон сохранения энергии и импульса в четырехмерном обозначении таков: или й Вы спросите: «А что по осям координат?» Зто нева1кно. Закон верен для любых компонент, при любых осях.
В векторном анализе нам встретилось одно понятие — скалярное произведение двух векторов. Что соответствует ему в пространстве-времени? При обычных вращениях неизменной остается величина к»+у«+гг. В четырехмерном мире таким свойством при преобразованиях обладает величина гг — хг — у' — гг [уравненне (17.3)). Как можно это записать? Можно было бы, например, пользоваться значком наподобие А,<„»В„, но обычко пишут 1« ~2 ~2 12 Р (17.15) Штрих при ~' напоминает, что первый, «временнон» член положителен, а остальные трн отрицательны.
Эта величина одна и та же в любой системе координат, н можно назвать ее квадратом длины четырехвектора. Чему равен, например, квадрат длины четырехвектора импульса отдельной частицы? и Ответя: р~ — р„— р« — р„или, иначе, Ег — рг, потому что р, это и есть Е. Чему равно Е' — рг? Должно по условию получиться что-то, что одинаково в любой системе координат, в частности и в системе координат, которая движется вместе с частицей, так что частица в этой системе покоится. Но если частица неподвижна, значит, у нее нет импульса. Значит, у нее остается только энергия, совпадающая в этом случае с ее массой. Итак, Ег — рг=те, т.
е. квадрат длины четырехвектора импульса равен та. Пользуясь выражением для квадрата вектора, легко изоорести скалярное произведение двух четырехвекторов: если один из них а», а другой Ь, то скалярное произведение определяется так„. ~ а»Ь„= а~ Ь, — а, Ь, — а„Ь, — а, Ь, ° (17АВ) 51 Это выражение не меняется при преобразовании системы координат. Следует еще упомянуть о частицах с нулевой массой покоя, например о фотоне — частице света. Фотон похож на частицу тем, что он переносит энергию и импульс. Энергия фотона равна произведению некоторой постоянной (постоянная Планка) на частоту света: Е=Ьт. Такой фотон несет с собой и импульс, который (как у всякой частицы) равен постоянной й, деленной на длину волны света: р=й??.. Но у фотона свяаь между частотой и длиной волны вполне определенна: т=с?)..
(Количество волн, проходящих за 1 сек, помноженное на их длину, даст расстояние, проходимое светом в 1 сек, т. е. с.) Мы сходу по- лучаем, что энергия фотона равна его импульсу, умноженному на с, и, далее, полагая с=-1, что энергия равна им~»ривер. Но это п значит, что масса покоя равна нулю. Давайте вдумаемся в это любопьггное обстоятельство. Ислн фотон — частица с нулевой массой покоя, то что с ним бывает, когда он останавлпвается? Но он никогда не останаввиваппсл! Он всегда движется со скоростью с. Обычная формула для энергии — зто тэ')' 1 — с"-. Можно лп утверждать, что прн тэ-— -0 и с=1 энергия фотона равна нулю? Нет, нельзя; ва самом деле фотон может обладать (и обладает) энергией, хоть п не имеет массы покоя, за счет того, что всегда движется со скоростью света) Мы знаем также, что импульс любой частицы равен произведению полной энергии на скорость: р=аЕ прн с=-1, или, в обычных единицах, р=сЕ!с'. Для любой частицы, движущейся со скоростью света, р=-Е, если с=1.
Формулы для энергии фотона в движущейся системе даются по-прежнему уравнением (17.12), но вместо импульса туда нужно подставить энергию, умноженную на с (на 1). Изменение энергии при преобразовании означает изменение частоты света. Ото явление называется эффектом Допплера; формулу для него легко получить из уравнения (17.12), положив Е=р и Е=)»ч.
Как сказал Минковский: «Пространство само по себе и время само по себе погрузятся в реку забвенья, а останется жить лишь своеобразный их союз». Гнив н -Гь ь ДВЪ'МЕРНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ф 1. Центр масс ф 2. Вращение твердого тела ф 3. Моэьеит количества движения Ф 1..Цвте»з1> .часс ф 4. Закон сохранения момента ко.шчества движения В предыдущих главах мы изучали механику точек, илп маленьких частиц, внутренняя структура которых нас совершенно не инторесовала. В последующих нескольких главах мы изучим применение законов Ньютона к более сложным вещам.
Но ведь чем сложнее объект, тем он интереснее, и вы сами увидите, что явления, связанные с такими более сложнымп объектами, поистине поразительны. Разумеется все этн явления не содержат ничего большего, чем комбинации законов Ньютона, однако временами просто трудно поверить, что все это произошло нз Г=-та! Что это за более сложные объекты, с которымп мы будем иметь дело в дальнеьйьшем? Это может быть течение воды, вращение галактвк и т.
д. Но сначала давайте разберемся с наиболее простым пз сложных объектов — твердим телом. Этим термином мы будем называть монолитный объект, который одновременно с изменением положения может еще и вращаться как целое. Впрочем, даже такой простой ооъект люжет двигаться достаточно сложно, поэтому давайте сначала рассмотрим наиболее простой случай движения, когда тело крутится вокруг неподвижной оси, причем каждан точка этого тела движется в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
Такое вращение тела вокруг неподвижно>1 оси называется плоским, или двумерным. Позднее, когда мы обобщим наш результат на случай трех измерений, вы увидите, что вращение гораздо более хитрая штука, чем механика частицы, и без достаточного опыта в двух измерениях понять трехмерные вращения очень трудно. К первой интересной теореме о движении сложного тела можно прийти следующим образом: попробуйте бросить какой- нибудь предмет, состоящий из множества скрепленных между собой кубиков и стержней. Вы анаете, конечно, что он полетит по параболе; это мы обнаружили еще, когда изучали движение точки. Однако теперь наш объект ке точка.
Он поворачивается, покачивается и все же летит по параболе; вы можете в этом убедиться. Какая же точка тела описывает параболу? Ну разумеется, не угол кубика, потому что он поворачивается, не конец стержня, но его середина и не центр кубика. Но всетаки что-то движется по параболе, существует некий эффективный «центр», который движется по параболе. Таким образом, первая теорема о сложных ооъектах говорит, что суиэестеует какая-то «средняяз точка, вполне определенная математически, которая движется по параболе. Точка эта не обязательно находится в самом теле, ока может лежать и где-то вне его.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
