Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Сейчас, однако, мы можем доказать, что (как следствие принципа относительности и прочих разумных соображений) масса должна измениться имонно таким образом. (Мы должны говорить о «прочих соображениях» по той причине, что нельзя ничего доказать, нельзя надеяться на осмысленные выводы, не опираясь на какие-то законы, которые предполагаются верными.) Чтобы не изучать 3$ г д г Ф и г. лб.г. Упругое столкновение одинаковых пгеь движущихся с равны.пи снороспгяхи в противоположных направлениях, при рпглиянол ибере систел координат.
законы преобразования силы, ооратпмся к сглолкноаениялг частиц. Здесь нам не понадооптся закон действия силы, а хватит только предположения о сохранении энергии н импульса. Кроме того, мы предпологким, что импульс движущейся частицы — это вектор, всегда направленный по ее движению. Но мы не будом считать импульс пропорциональным скорости, как это делал Ньютон. Для нас он будет просто некоторой функцией скорости. Мы будем писать вектор импульса в виде вектора скорости, умноженного на некоторый коэффициент (16.8) Индекс и у коэффициента будет напоминать нам, что это функция скорости и. Будем называть этот коэффициент «массой». Ясно, что при неболыпнх скоростях это как раз та самая масса, которую мы привыкли измерять. Теперь, исходя из того принципа, что законы физики во всех системах координат одинаковы, попробуем показать, что формула для т, должна иметь вид л»Де'1 — и»ус«.
Пусть у нас есть две частицы (к примеру, два протона), которые между собой совершенно одинаковы н движутся навстречу друг другу с одинаковыми скорости»ш. Их общий импульс равен нулю. Что с ннмп случится? После столкновения их направления движения должны все равно остаться противоположными, потому что если это не так, то пх суммарный вектор импульса будет отличен от нуля, т. е. пе сохранится.
Раз частицы одинаковы, то и скорости их должны быть одинаковы; более того, они просто доля ны остаться прегкними, иначе энергия при столкновении изменится. Значит, схема такого упругого обратимого столкновения будет выглядеть, как на фнг. 16.2,а: все стрелки одинаковы, все скорости равны. Предположим, что такие столкновения всегда можно подготовить, что в них допустимы любые углы О и что начальные скорости частиц могут быть любыми. Далое, напомним, что одно и то же столкновение выглядит по-разному, смотря по тому, как повернуты оси.
Для удобства мы так повернем оси, чтобы горизонталь делила пополам угол между направлениями частиц до и после столкновения (фиг. 16.2,б). Это то же столкновение, что и на фиг. 16.2,а, но с повернутыми осями. 32 Теперь начинается самое главное: взглянем на зто столкновение с позиций наблюдателя, движущегося на автомашине со скоростью, совпадающей с горизонтальной компонентой скорости одной из частиц. Как оно будет выглядеть? Наблюдателю покажется, что частица 1 поднимается прямо вверх (горизонтальная компонента у нее пропала), а после столкновения падает прямо вниз по той же причине (фиг. 16.3, а).
Зато частица 2 движется совсем иначе„ова проносится мимо с колоссальной скоростью и под малым углом (но »тот угол и до и после столкновения одинаков). Обозначим горизонтальную компоненту скорости частицы р через и, а вертикальную скорость частицы 1 — через иг. Чему же равна вертикальная скорость пади частицы д? Зная зто, можно получить правильное выраигение для импульса, пользуясь сохранением цмпульса в вертикальном направлении. (Сохранение горизонтальной компоненты импульса и так обеспечено: у обеих частиц до и после столкновения зта компонента одинакова, а у частицы 7 она вообще равна нулю. Так что следует требовать только сохранения вертикальной скорости игда.) Но вертикальную скорость люлсно получить, просто взглянув на зто столкновение с другой точки зрения! Посиотрите на столкновение, изображенное на фиг. 16.3, и из автомашины, которая движется теперь налево со скоростью и.
Вы увидите то;ке столкновение, но пероверпутое авверх ногами» (фиг. 16.3, б). '1"еперь уже частица й упадат и подскочит со скоростью иг, а горизонтальную скорость и приобретет частица 1. Вы уже, конечно, догадываетесь, чему равна горизонтальная скоРость игосс; Она Равна иг)л'1 — иггсг (см. УРавнение (16.7)1г. Кроме того, пам известно, что нзмененпо вертикального импульса вертикально движущейся частицы равно Лр=2т .и (двойка здесь потому, что движение вверх перешло в движение вниз). У частицы, движущейся косо, скорость равна ь, ее компоненты равны и и иг)г 1 — иЧсз, а масса ее т,.
Пзмепенпе гд и е. !В.д. Еме две картина того ясе столкновения (видииие ив двиксущияся автокатин). 2 Заказ га 2199. Вик. 2 вертикального импульса атой частицы Ьр'=2т и4 1 — иЧез, тан как в соответствии с нашим предположением (16.8) любая компонента импульса равна произведению одноименной компоненты скорости на массу, отвечающую этой скорости. Но суммарный импульс равен нулю. Значит, и вертикальные импульсы должны взаимно сократиться, отношение же массы, движущейся со скоростью и~, к массе, движущойся со скоростью г, должно оказаться равным р= )/'.:;.
(16. 9) Перейдем к предельному случаю, когда и стремится к нулю. При очень малых и~ величины и и и практически совпадут, тч- тю а т; т,. Окопчательныи результат таков: (16. 10) Проделайте теперь такое интереспоо упражнение: проверьте, будет ли выполнено условие (16.9) прп произвольных ш, когда масса подчиняется формуле (16.10). При этом скорость и, стоящую в уравнении (16.9), можно найти из прямоугольного треугольника э'= и'+ ш' (1 — —,) Вы увидите, что (16.9) выполняется тождественно, хотя выше нам понадобился только предел этого равенства прп ю О. Теперь перейдем к дальнейшим следствиям, считая уже, что, согласно (16.10), масса зависит от скорости.
Рассмотрим так называемое неупругое столкновение. Для простоты предположим, что из двух одинаковых тел, сталкивающихся с равными скоростями и~, образуется новое тело, которое болыпе не распадается (фиг. 16.4,а). Массы тел до столкновении равны, как мы знаем, твом 1 — иг)е'. Предположив сохраняемость импульса и приняв принцип относительности, можно продемонстрировать интересное свойство массы вновь образованного тела. Представим себе бесконечно малую скорость и, поперечную к скоростям ю (можио было бы работать и с конечной скоростью и, яо с бесконечно малым значением и легче во всем разобраться), и посмотрим на это столкновение, двигаясь в лифте со скоростью — и.
Перед нами окажется картина, изображенная на фиг. 16.4, а. Составное тело обладает неизвестной массой М. У тела 1, как и у тела 2, есть компонента скорости и, направленнаи вверх, и горизонтальная компонента, практически равная ю. После столкновения остается масса й1, ~н —.Ю+О ~и и сиг -Ф 2 йо то тг посев а и Спи г. 16.4. гсвг картины нгупругого соударгния тгл равной массы. движущаяся вверх со скоростью и, много меньшей и скорости света и скорости сс. Импульс должен остаться прежним; посмотрим поэтому, каким он был до столкновения и каким стал потом.
До столкновения он был равен рж2пс и, а потом стал р'=ЛХ,и. Но ЛХг пз-за малости и, по существу, совпадает с М,. Благодаря сохранению импульса ((бЛ!) ЛХ«=2пс . Итак, лсасса тела, образуемого при столкновении двух одинаковых тел, равна их удвоенной массе. Вы, правда, можете сказать: «Ну и что ж, это просто сохранение массы». Но не торопитесь восклицать: «Ну и что ж!», потому что солги-то массы тел были больше, чем когда тела неподвижны. Они вносят в суммарную массу М ие массу покоя, а болыие. Не правда ли, поразитольно! Оказывается, сохранение импульса в столкновении двух тел требует, чтобы образуемая имп масса была больше их масс покоя, хотя ш>еле столкновения эти тела сами придут в состояние покоя! ф А 1»епя»п«се«се«мекая в»се»»г«ся Немного выше мы показали, что зависимость массы от скорости и законы Ньютона приводят к тому, что изменения в кинетической энергии тела, появляющиеся в результате работы приложенных к нему сил, оказываются всегда равными ЛТ=(шг — пс»)с = " — снос».
)' ! — иг,с' (16,12) Потом мы продвинулись дальше и обнаружили, что полная энергия тела равна полной его массе, умноженной на с'. Продолжи»с эти рассуждения. Предположим, что наши два тела с равными массами (те, которые столкнулись)»со»кно «видеть» даже тогда, когда они оказываются внутри тела ЛХ. Скажем, протон с нейтроном столкнулись, ио все еще продолжают двигаться внутри М.
Масса тела ЛХ, как мы обнаружили, равна не 2т„а 2т Этой массой 2пс снабдили тело его составные части, чья масса покоя была 2шо; значит, избыток массы составного тела равен привнесенной кинетической энергии. Это означает, конечно, что у энергии есть инерция. Ранее мы говорили о нагреве газа и показали, что поскольку молекулы газа движутся, а движущиеся тела становятся массивнее, то прп нагревании газа н усилении движения молекул газ становится тяжелое. Но на самом деле такое рассуждение является соворшенно общим; наше обсуждение свойств неупругого соударения тоже показывает, что добавочная масса появляется всегда, даже тогда, когда она не является кинетической энергией. Иными словами, если две частицы сближаются и прп этом образуется потенциальная или другая форма энергии, если части составного тела замедляются потенциальным барьером, производя работу против внутренних сил, и т.
д., — во всех этих случаях масса тела по-прожнему равна полной привнесенной энергии. Итак, вы видите, что выведенное выше сохранение массы равнозначно сохранению энергии, поэтому в теории относительности нельзя говорить о неупругих соударопиях, как ато было в механике Ньютона. Согласно механике Ньютона, ничего страшного не произошло бы, если бы дза тела, столкнувшись, образовали тело с массой 2т„не отличающееся от того, каное получилось бы, если их модленно приложить друг к другу. Конечно, из закона сохранения энергии мы знаем, что внутри тела имеется добавочная кинетическая энергия, но по закону Ньютона на массу это никак не влияет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
