Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Примерами таких век- Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих математических рассмотрениях совершенно не существенно то, что х — координата, а Р— сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты х подставим х-компоненту любого другого вектора.
Иначе говоря, если мы хотим вычислить ве. личину а„Ь» — а»Ь„, где а и Ь вЂ” векторы, и назвать ее з-компонентой некоторой новой величины с„то зта величина будет вектором с. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора о с векторами а и Ь придумать какое-то математическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначением: с=а Х Ь.
Таким образом, в дополнение к обычному скалярному произведению в векторном анализе мы получили произведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись с=аХЬ это то же самое, что торов слуя'ат координата г, сила Р, импульс р, скорость т, электрическое поле Е и т. д. Все это обычные полярные векторы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, пазъшаются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, могут слуясить момент силы т и момент импульса х. Кроме того, оказывается, что угловая скорость ю, как и магнитное поле В, тоже псевдовектор.
Чтобы расширить наши сведения о математических свойствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпишем все правила с участием векторного произведения. Впоследствии мы будем ими пользоваться. Этп правила таковы: а) ах(Ъ+с)=ахЪ+ахс, б) (аа)хЬ=а(ахЬ), в) а (Ъхс)=(ахЬ) с, г) ах(Ъхс)=Ь(а с) — с(а Ь), д) аха=О, е) а (ахЬ)=0. (20 10) ф й.
3 равнения враи1ения в векмьорном виде Возникает вопрос: можно лн с помощью векторного произведения записать какое-нибудь уравнение физикиг Да, конечно, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сразу же видно, например, что момент силы равен векторному произведепию радиус-вектора на силу т=гх Г.
(20.11) Это просто краткая запись трех уравнений: т„=рР,— зрг и т. д. С помощью того же символа можно представить момент количества двиясения одной частицы в виде векторного произведения вектора расстояния от начала координат (радиус- вектора) на вектор импульса Х =гхр. (20.12) въ т=-— и (20.13) Векторная форма динамического закона вращения в трехмерном пространстве напоминает уравнение Ньютона и'=г(раас; именно вектор момента силы равен скорости изменения со временем вектора момента количества движения Если мы слоя«им (20ЛЗ) для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующий на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения — з'ь1 ". л$.
зн (20Л4) Еще одна теорема: если полный момент внешних сил равен нулю, то вектор полного момента количества движения системы остается постоянным. Эта теорема называется законом сохранения момен»па количества движения. Если на данную систему не действуют никакпе моменты сил, то ее момент количества движения не изменяется. Л что можно сказать об угловой скоростиг Вектор лн опа? Мы уже рассматривали вращение твердого тела вокруг некоторой фиксированной оси, а теперь давайте на минуту предположим, что оно одновременно вращается вокруг двух осей.
Тело может находиться, например, в коробке н вращаться там вокруг некоторой оси, а сама коробка в свою очередь вращается вокруг какой-то другой оси. Результатом же такого сложного движения будет вращение тела вокруг некоторой новой оси. Самое удивительное здесь то, что эта новая ось может быть найдена следующим образом. Если вращение в плоскости ху представить как вектор, направленный вдоль оси г, длина которого равна скорости вращения, а в виде другого вектора, направленного вдоль осн у, изобразить скорость вращения в плоскости, то, сложив нх по правилу параллелограмма, получим результат, величина которого говорит о скорости вращения тела, а направление определяет плоскость вращения.
Попросту говоря, угловая скорость з самом деле есть вектор, дчя которого скорость вращения н трех плоскостях представляет прямоугольные проекции на эти плоскости *. В качестве простого примера с использованием вектора угловой скорости подсчитаем мощность, затрачиваемую моментом сил, действугощим на твердое тело. Так как мощность — это скорость изменения работы со временем, то в трехмерном пространстве она оказывается равной Р=т ю. Все формулы, которые мы писали для плоского вращения, могут быть обобщены на три измерения.
Если взять, например, твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси с угловой скоростью ю, то можно спросить: «Чему равна скорость точки с радиус-вектором и?» В качестве упрая<нения попытайтесь доказать, что скорость частицы твердого тела задается выраже- " Что зто действительно так, доказывается с помощью рассмотренна перемещения частиц твердого тела за бесконечно малый промежуток времеяи ла Это не самоочевидно, и я предоставлязо тем, кто интересуется, доказать зто. нием ч=юХг, где ю — угловая скорость, а г — положение частицы.
Другим примером векторного произведения служит формула для кориолисовой силы, которую можно записать как Рьс =2тчХю. Иначе говоря, если в системе координат, вращающейся со скоростью ю, частица движется со скоростью ч и мы все хотим описать через величины этоп вращающейся системы, то необходимо добавлять еще псевдосилу Гх. ф Х, Х'ЩЭОСКО71 Вернемся теперь снова к закону сохранения момента количества движения.
Его можно продемонстрировать с помощью быстро вращающегося колеса, пли гироскопа (фиг. 20.1). Если стать на крутящийся стул и держать вращающееся колесо в горизонтальном положении, то его момент количества движения будет направлен горизонтально. Момент количества двил ения относительно вертикальной оси нельзя изменить из-за фиксированного направления оси стула (трепием пренебрегаем). Если теперь повернуть ось с колесом вертикально, то колесо приобретет момент количества движения относительно вертикальной оси.
Однако система в целом (колесо, вы сами и стул) не может иметь вертикальной компоненты, поэтому вы вместе со стулом должны крутиться в направлении, обратном вращению колеса, чтобы скомпенсировать его. Прежде всего давайте более подробно проанализируем явление, которое мы только что описали. Самое удивительное, в чем нам следует разобраться, это откуда берутся силы, раскручивающие нас вместе со стулом, когда мы поворачиваем ось гироскопа вертикально. На фиг. 20.2 показано колесо, быстро вращающееся вокруг осп у, т.
е. его угловая скорость направлена по атой осп. В ту же сторону направлен и момент количества двшксния. Предположим теперь, что мы хотим вращать колесо бд и г. В0.1. Бистро враи7аюадийсл гироскоп. а — ось направлена еориеонта ьно, молюнт колич ство доим нил относитель но вертикальнова оси равен нулю; б— ось написал на вертикально, молиНпь колиттта двилсенил относ те.юно вертикальной оси доллсен о евот сл равнин нулю; человек и стул крутлтск в направ енаи, кротивополоасном враисению колеса. бяпуплп ПСК7ОМ Ф и г. 20.2.
!'иросаоп. относительно оси х с малой угловой скоростью Р; какая сила для этого требуется) Чероз малый промежуток времени йг ось займет новое положение, отклонившись от горизонтального положения на угол ЛО. Поскольку основная часть момента количества движения происходит от вращения колеса (медленное вращение вокруг оси з дает очень малый вклад), мы видим, что вектор момента количества движения изменяется. Каково же изменение этого вектора? Он остается тем же самым ио величине, однако направление его меняется на угол ЛО. Величина вектора Л1 поэтому равна ЛЬ вЂ” --Ьрйб; в результате возникает момент силы, равный скорости изменения момента количества движения т=ЬА!Л~=1э(ЬО Ы)=1,0.
Учитывая направление различных величин, мы видим, что (20.15) Таким образом, если 11 и 1, направлены горизонтально, как это показано па фигуре, то т направлен вертикально. Чтобы уравновесить такой момент, к концам оси в горизонтальном направлении должны быть приложены силы Г и — г. Откуда берутся эти силы, кто их прикладывает? Да мы сами, собственными руками, когда стараемся повернуть ось колеса в вертикальное положение. Но Третий закон Ньютона требует, чтобы равные и противоположно направленные силы (и равный, но противоположно направленный момент) действовали на нас.
Ови и заставлнют нас крутиться вокруг вертикальной осн з в противоположном направлении. Этот результат можно обобщить на быстро вращающийся волчок. В обычном вращающемся волчке сила тяжести, действующая на его центр масс (ц. м.), создает момент относительно точки соприкосновения волчка с полом (фиг. 20,3). Этот момент действует в горизонтальном направлении и заставляет волчок прецессировать, т.
е. ось его будет описывать круговой конус вокруг вертикальной оси. Если 11 — угловая скорость прецессии (направленная вертккально), то мы снова находим т= — —,=1)х1,. лг, 91 Ф и г. Л0.3. Бистро вращающийся Валаок. золытоте, вто напроолеиие вектора момента силы сов«сосет о капраелевеием «ре«ессии. Таким образом, если к быстро вращающемуся волчку приложить момент сил, то возникнет прецессия в направлении этого момента, т. е.
под прямым углом к силам, создающим момент. Итак, теперь мы можем утверждать, что поняли прецессию гироскопа, и математически мы действительно поняли ее. Однако вся эта математика может показаться нам в каком-то смысле «нолдовством». Между прочим, по мере углубления во все более сложную физику многие простые вещи легче вывести математически, чем действительно понять их фундаментальный или простой смысл. По мере того как вы будете переходить ко все более и более современным работам по физике, то обнаружите одно странное обстоятельство: математика дает результаты, которые пик»по не может понять непосредственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
