Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Действительно, если вспомнить, что й=та„то Т+Г= —, пгег',и'[соз'(ог„1+ гу)+з!гг' (с0,1+Л)]= ~ теггв'. Энергия зависит от квадрата амплитуды: если увеличить амплитуду колебания вдвое, то энергия возрастет вчетверо. Средняя потенциальная энергия равна половине максимальной п, следовательно, половине полной; средняя кинетическая энергия также равна половине полной ш|ергпи. ф .г. Лолеоаиггя ягод дейегггвггегг вг*еилвгей сильг Нам остается рассмотреть колебания гпрвпническпгп осг[иляятора под действием внешней силы.
Движение в этом случае описывается уравнением т —,, = — )сх+Г(1). (21. 8) Давайте подумаем, как будет вести себя грузик при этих обстоятельствах. Внешняя движущая сила может зависеть от времени каким угодно образом. Начнем с простейшей зависимости.
Предполоягигг, что сила осциллпрует р (1) = Рг соз юг. (21.9) Обратите внимание, что ю — это не обязательно ег,: будем считать, что можно изменять ю, заставляя силу действовать с разной частотой. Итак, надо решить уравнение (21.8) в случае специально подобранной силы (21.9). Каким будет решение (21.8)? Одно из частных решений (общим решением мы еще займемся) выглядит так: х=С соз ю1, (21.10) где постоянную С еще надо определить. Иначе говоря, пытаясь найти решение в таком виде, мы предполагаем, что, если тянуть грузик взад и вперед, он в конце концов начнет качаться взад и вперед с частотой действующей склы. Проверим, может ли 105 это быть.
Подставив (21.10) в (21.9), получим — тыС сов юГ = — лиз„'С соз ««Г+Р«соз ы1. (21 11) Мы уже заменили й на та«, потому что удобнее сравнивать две частоты. Уравнение (21.11) можно поделить на содержащийся в каждом члене косинус и убедиться, что при правильно подобранном значении С выражение (21.10) будет решением. Эта величина С должна быть такой: С= (21.'12) ~~(мо ~) Таким образом, грузик т колеблется с частотой действующей па него силы, но амплитуда колебания зависит от соотношения между частотой силы и частотой свободного движения осциллятора. Если ю очень мала по сравнению с ю„то грузик движется вслед за силой. Если же чересчур быстро менять направленив толчков, то грузик начинает двигаться в противоположном по отношению к силе направлении.
Это следует из равенства (21.12), котороо говорит нам, что величина С отрицательна, если «з больше собспгаенной частоты гармонического осциллятора ю„. (01ы будем называть а«собственной частотой гармонического осцпллятора, а ю — приложенной частотой.) Прн очень высокой частоте знаменатель становится очень болыппм и грузик практически не движется. Найдонное нами решение справедливо только в том случае, когда уже установилось равновесие между осциллятором и доиствующей силой; это происходит после того, как вымрут другие движения. Этн вымпра1ощие движения называ1от переходным откликом на силу Р(С), а движение, описываемое (21.10) и (21.12),— раановеснысз откликом. Приглядевшись к формуле (21.12), мы заметим любопытную вещь: если частота ю почти равна «з«, то С приближается к бесконечности, Таким образом, если настроить силу «в лада с собственной частотой, отклонения грузика достигнут гигантских размеров.
Об этом знает всякий, кому когда-либо приходилось раскачивать ребенка на качелях. Это довольно трудно сделать, если закрыть глаза и беспорядочно толкать качели. Но если найти правильный ритм, то раскачать качели легко, однако, как только мы опять собьемся с ритма, толчя~ начнут тормозить качели и от такой работы будет мало проку. Если частота ю будет в точности равна ы«, то амплитуда должна стать бесконечной, что, разумеется, невозможно.
Мы ошиблись, потому что решалн не совсем верное уравнение. Поставляя уравнение (21н8), мы забыли о силе трения и о многих других силах. Поэтому амплитуда никогда не достигнет бесконечности; пожалуй, пружинка порвется гораздо раншпе! Глпвп 22 АЛГЕБРА Я $. Вложение и умножение . Ооратные операции й 3. Шаг в сторону и обобщение 5 1. Слолгетвме и умножентге й 4. Приближенное вычисление иррациональных чисел й 5. Комплексные числа 8 б.
Мнимые экспоненты $07 Изучая осциллятор, пам придется воспользоваться одной из наиболее замечательных, пожалуй самой поразительной из формул, какие можно найти в математике. Физик обычно расправляется с этой формулой примерно за две минуты, даже не обратив на нее внимания. Но наука ведь не только приносит практическую пользу, а служит источником удовольствия, поэтому давайте не будем торопиться проходить мимо этой драгоценности, а посмотрим, как она выглядит в великолепном окружении, котороо обычно называют элементарной алгеброй.
Вы можете спроснтзп «Зачем нужна математика в книге по физяке?» Вот несколько уважительных причин: прежде всего математика— очень важный рабочий инструмент, но этим можно оправдать затрату всего лишь двух минут на вывод этой формулы. Однако при изучении теоретической физики мы обнзруяенваем, что все физические законы можно записать в виде математических формул, именно это придает законам простоту и красоту. Таким образом, глубокое понимание математических соотношений в конце концов необходимо для понимания природы.
Но главная причина — это красота темы: ведь хотя люди разрезали природу па много кусков и продолжают кромсать ее, изучая очень много предметов на различных факультетах, такое разделение искусственно„и мы всегда будем получать наслаждение, собирая вместе отдельные кусни. Еще одна причина, по которой следует заняться поглубже алгеброй: хотя многие из вас уже знакомились с алгеброй в средней аь а а(~-о з) (а')' =-.
ако а) а-ЬЬ=.Ь+а б) а+ (Ь + с) =(а Ь) + с школе, но зто было только первым знакомством и многие формулы еще непривычны, поэтому стоит еще раз вспомнить алгебру, чтобы не тратить на формулы столько же сил, сколько их уйдет на изучение самой физики. То, чем мы займемся, с точки зрения математики,не будет настоящей алгеброй.
Математик главным образом интересуется тем, как изложить то плп иное математическое утверждение н какие предположения обязательны при выводе теоремы, а какие нет. Для нас важнее результат доказательства. Например, теорема Пифагора интересна для нас потому, что в ясй сообщается, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы; это очень интересный факт, н мы будем использовать его, не заботясь о том, действительно ли это доказанная Пифагором теорема или просто аксиома. В том же самом духе мы изложим элементарную алгебру, по возможности чисто качественно. Мы говорим элементарная алгебра потому, что существует ветвь математики, называемая высшей алгеброй, где полает оказаться неверным, что аЬ=Ьа, но таких вещей мы касаться не будем.
Изучение алгебры начнем с середины. Предположим, что нам уже известно, что существуют целые числа, что есть нуль п чтб значит увеличить число на единицу. Не говорите, пожалуйста: «Вот так середина!а, потому что для математика зто середина, ведь он знает теорию множеств н может вывести все этп свойства целых чисел. Но мы не будем вторгаться в область философии математики и математической логики, а ограничимся предположением, что нам известны целые числа и мы умеем считать. Если взять целое число а и прибавить к нему Ь раз по единице, мы получим число а+Ь; этим определяется сложение целых чисел. Определив сложение, проделаем вот что: начнем с нуля и прибавим к нему Ь раз число а; таким образом мы определим у.вножение целых чисел и будем называть результат произведением а на Ь.
Теперь можно проделать ряд последовательных умпожений: если умножить единицу Ь раа на число а, то мы возведем а в степень Ь н запишем результат в виде а . Исходя из этих определений, легко доказать такие соотношения: (22.1) д) (аЬ) с = а (Ьс) л) а'=а о) (аЬ)е = ае Ьс 108 в) аЬ=- Ьа в)а+О=а г) а(Ь+с)=аЬ+ас к) а 1=а Этн результаты хорошо известны, мы не хотим долго на них останавливаться, а выписаны опн больше для порядка. Конечно, 1 и О обладают особыми свовствамн, например а+О=а, а 1=а и а в первой степени равно а. Составляя табличку формул (22,1), мы пользовались такпмп свойствами, как непрерывность и соотношение порядка; дать им определение очень трудно: для этого создана целая наука.
Кроме того, мы выписали, конечно, слишком много «правил»; некоторые пз этих правпл можно вывести нз других, но ио будем па эгон останавливаться. ь '». Обри»н»«гас омери»1»»«» а') вычитание 6=с †а+6=с б) умножение аЬ =с в) возведение в степень б') деление с 6=в а в') извлечение корня 6=)г с (22.2) 6'=с г') взятие логарифма 6 =-1ои,с г) возведение в степень а =с Кроме прямых операций сложения, умножения и возведения в степень, существуют обратные операции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
