Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 25
Текст из файла (страница 25)
11наче говоря, можно решить уравнение о" —.=с для любого с; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа с по другому основанию, например х. Нам нужно решать уравнение х'=-с. Это легко сделать, потому что х всегда можно представить так: х=-Ь'.
Нанти г, анап х н Ь, просто: 1=1оиех. Подставим теперь х=-Ь' в уравнение х ' = с; оыо перейдет в такое уравнение: (Ь~)о =Ьго =с. Ипымп словами, произведение ?а' есть логарифм с по основанию Ь. Значит, а' — —.а,'б Таким образом, логарифмы по основашпо х равны произведениям логарифмов по основанию Ь на постоянное число 1?ы Следовательно, все таблицы логарифмов эквивалентны с точностью до Умножениа па число Иодех. Это позволяет нам выбрать для составления таолиц любоо основание, но мы решили, что удобнее всего взять за основание число 10.
(Может возыикнуть вопрос: не существует ли всетаки какого-нибудь естественного основания, при котором всо выглядит как-то проще? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позднее. Пока все логарифмы будут вычисляться по основанию 10.) Теперь посмотрим, как составляют таблицу логарифмов. Работа начинается с последовательных извлечений квадратного корня из 10. Результат можыо увидеть в табл. 22.1. Показатели степеней записаны в ее первол! столбце, а числа 10' — в третьем. Ясно, что 10'=-10. Возвести 10 в половинную степень легко — это квадратный корень пз 10, а как извлекать квадратный корень пз любого числа, знает каждый е. Итак, мы нашли первый квадратный коренгб он равен 3,16228.
Что это дает? Кое-что дает. Мы уже можем сказать, чему равно 10о', и знаем по крайней мере один логарифм. Логарифм числа 3,16228 * Квадратный корень лучше всего нзвлекатк не тем способом, кото- рону обычно учат е школе, а немного иначе. Чтобы навлечь квадратный корень из числа Л', выберем достаточно близкое к ответу число а, вычяслнм ?у,'о и среднее а'=Ч,(а-)-(дг)е)1; ото среднее будет новым числом а, новмм приближением корня на Дг, Этот процесс очень быстро приводит к цели: число значащих цифр удваивается после каждого шага. 113 таблица 22л ° послкдоватвльныв нэвлвчкнпя квАдРАтного коРня иэ 1О Показатель !0' !!оз -ы,з езепепи з 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 9,00 4,32 3,113 2,668 2,416 2,3874 2,3445 2,3234 2,3!30 2,3077 2,305!а' е-2,3025 10,00000 3,16228 1,77828 1,33352 1,15478 1,074607 1,036633 1,0!8!52 1,0090350 1,0045073 1,0022511 1 1!2 1,'4 1.8 1,'16 1132 1,64 1,'128 1 256 1;512 1,'!024 Л,'1024 (Л-зО) Л 1+0,0022486 Л (=---' ) Л '! == ! -О 2,3025 — ! 1024/ 114 очень близок к 0,50000.
Однако нужно еще приложить небольшпо усилия: нам нужна более подробная таблица. 11эвлечем еще одни квадратный корень и найдем 10", гто равно 1,77828. Теперь иы внаем еще один логарифм: 1,250 — это логарифм числа 17,78; кроме того, мы можем сказать, чему равно 10"": ведь это 10'о"е'а"', т. е. произведение второго н третьего чисел иэ третьего столбца табл. 22.1. Если сделать первьш столбец таблицы достаточно длинным, то таблица будет содержать почти все числа; перемножая числа иэ третьего столбца, мы получаем 10 почти в любой степени.
Такова основная идея таблиц. В нашей таблице содержится десять последовательных корней пэ 10; основной труд по составлению таблицы вложен в вычисления этих корней. Почему же мы не продолжаем новы!пать точность таблиц дальше? Потому что мы кое-что ужо подметплп.
Воэведя 10 в оченьмалу1о степень, мы получаем едняицу с малой добавкой. Это, конечно, происходит потому, что если возвести, например, 107 ° в 1000-ю степень, то мы снова получим 10; ясно, что 10'~' не может быть большим числом: опо очень близко кеда- вице. Более того, малые добавки к единице ведут себя так, будто ях каждый раэ делят на 2; поглядите-ка на таблицу повнимательнее: 1815 переходит в 908, потом в 450, 225 и т. д. Таким образом, если вычислить еще один, одиннадцатый, квадратный корень, он с большой точностью будет равен 1,00112, и этот результат мы угадами еще до вычисления. Можно ли сказать, какова будет добавка к единице, если возвести 10 в степень ЛП024, когда Л стремится к нулю? Можно.
Добавка будет приблизительно равна 0,0022511Л. Конечно, не в точности 0,0022511Л; чтобы вычислить эту добавку поточнее, делают такой трюк: вычитают из 10' единицу и делят разность на показатель степени г. Отклонения полученного таким образом частного от его точного значения одинаковы для любой степени г. Видно, что эти отношения (см. четвертый столбец табл. 22.1) примерно равны.
Сначала онн все-такн сильно отличаются друг от друга, но потом все ближе подходят друг к другу, явно стремясь к какому-то числу. Что это за числор Проследим, как меняются числа четвертого столбца, если опускаться вниз по столбцу. Сначала разность двух соседних чисел равна 0,0211, потом 0,0104, потом 0,0053 и, наконец, 0,0026. Разность каждый раз убывает наполовину.
Сделав еще один шаг, мы доведем ее до 0,0013, потом до 0,0007, 0,0003, 0,0002 и, наконец, примерно до 0,0001; надо последовательно делить 26 на 2. Таким образом, мы спустимся еще на 26 единиц и найдем для предела 2,3025. (Позднее мы увидим, что правильнее было бы взять 2,3026, но давайте возьмем то, что унас получилось.) Пользуясь этой таблицей, можно возвести '10 в любую степень, если ее показатель каким угодно способом выражается через 1)1024. Теперь легко составить таблицу логарифмов, потому что все необходимоедля этого мы уже припасли.
Процедура этого изображена в табл. 22.2, а нужные числа берутся из второго и третьего столбцов табл. 22.1. Табвиза 22.2 в вычисления 1оа„,2 2: 1,77828 = 1,124682 1,124682: 1,074607 =.1,046508 и т. д, 2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633) (1,090350) (1,000573) 1 7 Г 308,254 1 10 ~ — 24 (256+32+16+4+0,254) ~ = 10 ~ 10,00573.1024 573 10ьомз ( а 3025 — 2240 — 0,254/ Следовательно, 1оз, 2 =0,30103 Предположим, что мы хотим знать логарифм 2. Это значит, что мы хотим знать, в какую степень надо воавести 10, чтобы получить 2.
Может быть, возвести 10 в степень Ы2 Нет, получится слишком большое число. Глядя на табл. 22.1, можно сказать, что нужное нам число лежит между Ча и Ы. Поиск его начнем с а б разделим 2 на 1,788..., получится 1,124...; при делении мы отняли от логарифма двух 0,250000, и теперь нас интересует логарифм 1,124.... Отыскав его, мы прибавим к 115 результату '/» — — 256,'1024. Найдем в табл. 22.1 число, которое бы при движении по третьему столбцу сверху внпа стояло сразу за 1,124.... Это 1,074607. Отношение 1,124... к 1,074607 равно 1,046598.
В конце концов мы представим 2 в виде произведения чисел из табл. 22.1: 2 =-(1,77828) (1,074607) ° (1,036633) ° (1,0090350) (1,000573). Для последнего множителя (1,000573) в нашей таблице места пе нашлось; чтобы найти его логарифм, надо представить это число в виде 10а|шзь 1+2,3025|з|'1024. Отсюда легко найти, что Л = 0,254. Таким образом, наше произведение можно представить в виде десятки, возведенной в степень 1,1024 (256+32+16+4+0,254). Складывая п деля, мы получаем нужный логарифм: !ои;а 2=0,30103; этот результат верен Го пятого десятичного знака! Ыы вычислялп логарифмы точно так же, как это делал мистер Бриггс пз Галифакса в 1620 г.
Закончив работу, он сказал: «Я вычислил последовательно 54 квадратных корня из 10». На самом деле он вычислил только 27 первых корней, а потом сделал фокус с й, Вычислить 27 раз квадратный корень пз 10, воооще-то говоря, немного сложнее, чем 10 раз, как это сделали мы. Однако мистер Ьриггс сделал гораздо большее: он вычислял корни с точностью до шестнадцатого десятичного анака, а когда опублпковал свои таблицы, то оставил в них лишь 14 десятичных знаков, чтобы округлить о|пибкп.
Составить таблицы логарифмов с точностью до четырнадцатого десятичного знака таким методом — дело очень трудное. Зато целых 300 лет спусти составители таблиц логарифмов занимались тем, что уменьшалп таблицы мистера Бриггса, выкидывая из ппх каждый раз разное число десятичных знаков. Только в последнее время прп помощи электронных вычислительных машин оказалось возможных| составить таблицы логарифмов независимо от мистера Бриггса. Нрн этом использовался более эффективный метод вычислений, основанный на разложении логарифма в ряд.
Составляя таблицы, мы натолкнулись на ш|тересный фант: если показатель степени е очень мал, то очень легко вычислить 10'; это просто 1+2,3025е. Это значит, что 10" - "з"з" =1+и для очень малых п. Кроме того, мы говорили с самого начала, что вычисляем логарифмы по основанию 10 только потому, что у нас на руках 10 пальцев и по десяткам нам считать удобнее. Логарифмы по любому другому основанию получаются из логарифмов по основанию 10 простым умножением. Теперь настало время выяснить, не существует ли математически выделенного основания логарифмов, выделенного по причинам, не имеющим ничего общего с числом пальцев на руке.
В этой естественной шкале формулы с логарифмами должны выглядеть ие проще. Составим новую таблицу логарифмов, умножив всо логарифмы по основани«о 10 на 2,3025.... Это соответствует переходу к новому основанию — натуральному, плп основанию е.
Заметим, что )оя,,(1+и) и или е"ж1+и, когда и О. Легко найти само число е; оно равно 10"'з з«"' иля 10' ""и"'. Это 10 в иррациональной степечп. Для вычисления е можно воспользоваться таблицей корней пз 10. Представим 0,434294... сначала в виде 444,73!1024, а числитель этой дроби в виде суммы 444,73.=-256+128+32+!6+2+0,73.
Число е поэтому равно произведению чисел (1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633). (1,0!81.2)х х (1,009035)(1,001643) =2,7 !84. (Числа 0,73 яет в нашей таблице, но соответствующий ему результат можно представить в виде 1+2,3025А и вычислить, чему равна А.) Перемножив все 7 сомножителей, мы получим 2,7184 (на самом деле должно быть 2,7183, но и этот результат хорош). Используя такие таблицы, можно возводить число в иррациональную степень и вычислять логарифмы иррациональных чисел.
Вот как надо обращаться с иррациональностями. Ф о. Комплекса«ые имели Хотя мы хороню поработали, все-таки есть туе уравнения, которые нам ие под силу! Например, чему равен квадратный корень из — 1? Предположим, что это х, тогда хз=.= — 1. Нет ни рационального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен — 1. Придется снова пополнить запас чисел.
Предположим, что уравнение х«= — 1 все же имеет реп«ение, и обозначим это решение буквой В число 7 имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает — 1. Вот пока и все, что мои«но о нем сказать. Однако уравнение хе==- — 1 имеет два корня. Буквой !мы обозначили один нз корней,по кто-нибудь может сказать: «А я предпочитаю иметь дело с корнем — И моя буква 1 просто минус ваша Ри Возразить ему нечего, потому что число ! определяется соотношением Р=. — 1; это соотношение останется верным, если изменить знак 1. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество 1, останется верным, если сменить знаки у всех 1. Такая операция называется номплеисным сопряжением. Далее, ничто не мешает цам получать новые числа вот так: сложить ! несколько раз, умножить 1 иа какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умножения к старому числу и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
