Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Момент инерции относительно третьей имеет Ф и е. лд.т, Узловая скорость и момент количества двиексиия снвердого заела (А>В>С). какуиьто промегкуточную величину между двумя первыми иля равную одной из них. Эти оси, называемые главгсььми осями тела, обладают тем важным свойством, что, если тело вращается вокруг одной из них, его момент количества движения имеет то же направление, что и угловая скорость. Если тело имеет оси симметрии, то направление главных осей совпадает с осями симметрии. Если в качестве осей х, у и з выбрать главные оси тела и назвать соответствующие моменты инерции через А, В и С, го нетрудно подсчитать момент количества движения и кинетическую энергию вращения тела при любой угловой скорости ю (фиг. 20.7). Разлагая ю на компоненты ю„, юи и ю, по осям х, р и х и используя направленные вдоль этих осей единичные векторы!, ), и, мохсно записать момент количества движения в виде (20А6) я = Аюк!+ ВоЯ+ Сю,)г, прячем кинетическая энергия будет равна к.э.
= — (Асов+В о+С ') = г Е . (20А» а'лпеп И ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР й П Лпцейные дифференциальные уравнения ф 1. х««ней«нь«е дт«ЯЯерень|««««льньие «яоавнен ня Обычно физику как науку делят на несколько разделов: механику, электричество п г. и., и мы«проходям» эти разделы один за другим. Сейчас, например, мы «проходииз в основном механику. Но то и дело происходят странные вещи: переходя к новым разделам физики и да«кок другим наукам, мы сталкиваемсн с уравнениями, почти не отличающимися от уже изученных нами ранее. Таким образом, многие нвления имеют'аналогию в совсем других областях науки. Простейший пример; распространение авуковых волн во многом похоже на распространение световых волн. Если пы достаточно подробно изучим акустику, то обнаружим потом, что «прошлп» довольно большую часть оптики.
Таким образом, изучение явлений в одной обласки физики может оказаться полезным при изучении других ее разделов. Хорошо с самого начала предвидеть такое возможное «расшнрение рамон раздела«, иначе могут возникнуть недоумения, почему мы тратим столько времени и сил на изучение небольшой задачи механики.
Гармонический осциллятор, к научению которого мы сейчас переходим, будет встречаться нам почти вс«оду; хотя мы начнем с чисто механических примеров грузика на пружинке, малых отклонений маятника нли каких-то других механических устройств, на самом деле мы будем изучать некое дифферен«4иальное уравнение. Это уравнение непрестанно встречается в физике н в других науках и фактически описывает столь многие явления, что, право же, стоит того, чтобы изучить его получше. Такое уравнение описывает колебания грузика на пружинке, 4 заказ н 3!99.
впа 3 й 2. Гармонический осцпллятор й 3. Гармоническое двпжснпе и движение по окружности й ь Начальные условия Ф 5. Колебания под действием внешней силы колебания заряда, текущего взад и вперед по электрической цепи, колебания камертона, порождающие звуковые волны, аналогичные колебания электронов в атоме, порождающие световые волны. Добавьте сюда уравнения, описывающие действия регуляторов, например поддерживающих заданную температуру термостата, сложные взаимодействия в химических реакциях и (уже совсем неожиданно) уравнения, относящиеся к росту колонии бактерий, которых одновременно и кормят и травят ядом, или к размножению лис, питающихся кроликами, которые в свою очередь едят траву, и т.
д. Мы привели очень неполный список явлений, которые описываются почти темп же уравнениями, что и механический осциллятор. Эти уравнения называются ливейнылги диффереяциа,ггяыми уравнениями с оостояннзгми коэффициенпгами. Это уравнояия, состоящие нз суммы нескольких членов, каждый из которых представляет собой производную зависимой величины по независимой, умноженнукг на постоянный коэффициент. Таким образом, называется линейным дифференциальным уравнением и-го порядка с постоянными коэффициентами (все а„— постоянные). ф м'. 1"сг!г.згонгхггесггыгг оег!гг.г.зиггго1г Погггалугг, простейшей механической системой, двигкение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является масса на пружинке.
!!осле того как к пружинке подвесят грузик, она немного расгякется, чтобы уравновесить силу тяжести. Проследим теперь за вертикальными отклонениями массы от пологкепия равновесия (фиг. 2!.1). Отклонения вверх от положения равновесия мы обозначим через х и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. В этом случае противодействующие растяжению силы прямо пропорциональны растяжению. Это означает, что сила равна — !сх (знак минус напоминает нам, что сила противодействует смещениям).
Таким образом, умноженное на массу ускорение должно быть равно — йх гг'х т — „,, = — йх. (21. 2) Для простоты предположим, что вышло так (или мы нугкным образом изменили систему единиц), ~ г !с!гп=1. Нам предстоит речгить уравнение —,, = — х. (21.3) 98 Ф п е. И.1. Гргуеик, подеешепппй па пружинке. Проетой пример еармопоке кого оп«паем гаера, е — г о После этого мы вернемся к уравнению (21.2), в котором й и т содержатся явно. Мы уже сталкивались с уравнением (21.3), когда только начинали изучать механику. Мы решили его численно !см.
вып. 1, уравнение (9.12)), чтобы найти движение. Численным интегрированием мы нашли кривую (см. фиг. 9А, вып. 1), которая показывает, что если частица т в начальный момент выведена из равновесия, но покоится, то она возвращается к положению равновесия. Мы не следили за частицей после того, как она достигла положения равновесия, но ясно„что она на атом не остановится, а будет колебатьсл (осгуиллировать). При численном интегрировании мы нашли время возврата в точку равновесия: 1=-1,570. Продолжительность полного цикла в четыре раза больше: !«=.-6,28 «сеп». Все это мы нашли численным интегрированием, потому что лучше решать не умели.
Но матемапп«и дали в па|не распоряжение некую функцию, которая, если ее продифференцировать два>нды, переходит в себя, умножившись на — 1. (Можно, конечно, заняться прямым вычислением таких функций, но зто много труднее, чем просто узнать ответ.) Зта функция есть: х=созй Продифференцируем ее: сЫ«)г= — юпд а е)'хlе1«»= — созе= — х. В начальный момент »=-0, х=-1, а начальная скорость равна нулю; это как раз те предположения, которые мы делали при численном интегрировании. Теперь, зная, что х=созг, найдем точное значение времени, при котором х=0.
Ответ: «=я!2, илп 1,57108. Мы ошиблись раиыпе в последнем знаке, потому что числепное интегрирование было приближенным, но ошибка очень мала! Чтобы продвинуться дальше, вернемся к системе единиц, где время измеряется в настоящих секундах. Что будет решением в этом случае? Может быть, мы учтем постоянные й и т, ул«пожив на соответствующий множитель соз г? Попробуем. Пусть х=Асозт, тогда «(х?Ж= — Аз!пс и «РЬ«гез= — Асоз1= — х. К нашему огорчению, мы не преуспели в решении уравнения (21.2), а снова вернулись — (21.3). Зато мы открыли вагннейшее свойство линейных дифференциальных уравнений: есеиг умножить решение уравненивьева настоянную, то мы снова получим решение. Математически ясно — почему. Если х есть решение уравнения, то после умно»кения обеих частей уравнения на А производные тоже умножатся на А и поэтому Ах так же хорошо удовлетворит уравнению, как и х.
Послушаем, что скажет по этому поводу физик. Если грузик растянет пруя инку вдвое больше прежнего, то вдвое возрастет сила, вдвое возрастет ускорение, в два раза больше прежней будет приобретенная скорость и за то я е самое время грузик пройдет вдвое большее расстояние. Но это вдвое большео расстояние — как раз то самое расстояние, которое надо пройти грузику до положения равновесия. Таким образом, чтобы достичь равновесия, требуется столько все времени и оно не зависит от начального смещения.
Иначе говоря, если движение описывается линейным уравнением, то независимо от «силы» оно будет развиваться во времени одинаковым образом. Ошибка пошла нам на пользу — мы узнали, что, умножив решение на постоянную, мы получим решение прея«него уравнения. После нескольких проб и ошибок можно прийти к мысли, что вместо манипуляций с х надо изменить шкалу времени. Иначе говоря, уравнение (21.2) должно иметь решение вида х=созю «. (21.4) (Здесь «» — вовсе не угловая скорость вращающегося тела, но нам не хватит всех алфавитов, если каждую величину обозначать особой буквой.) Мы снабдили здесь «» индексом О, потому что нам предстоит встретить еще много всяких омег: запомним, что «»«соответствует естественному движению осциллятора.
Попытка использовать (21.4) в качестве решения более успешна, потому что»(х!ИГ= — ю з1п<»»Г и о»АР= — «э»соз»«»»= — ю»»х. Наконец-то мы решили то уравнение, которое н хотели решить. Это уравнение совпадает с (21.2), если ю,'=)о'т. Теперь нужно понять физический смысл ю». Мы знаем, что косинус «повторяется» после того, как угол изменится на 2л. Поэтому х=-.соэю г будет периодическим двшкенном; полный цикл этого двин»енин соответствует изменению «угла» ка 2л. Величину ю»» часто называют фазой движеяия.
Чтобы изменить ю»Г на 2 л, нужно изменить 1 на Г«(период полного колебания); конечно, «« находится из уравнения «»«г«=-2л. Это значит, что «»«г« нужно вычислять для одного цикла, и все будет повторяться, если увеличить Г на ««, в этом случае мы увеличим фазу на 2л. Таким образом, 1»- — "-2л -~Г' — "„.
(21.5) Значат, чем тяжелее грузик, тем медленнее пружинка будет колебаться взад и вперед. Инерция в этом случае будет больше, и если сила не изменится, то ей понадобится большее время для разгона и торможения груза. Если я«е взять пруя«инку пожестче, то движение должно происходить быстрее; и в самом деле, период уменьшается с увеличением жесткости пружины. Заметим теперь, что период колебаний массы на пружинке не зависит ок того, пак колебания начинаются. Для пружинки как будто безразлично, насколько мы ее растянем. Уравненггс движения (21.2) определяет период колебаний„но ничего не говорит об амплитуде колебания. Амплитуду колебания. конечно, определить можно, и мы сейчас займемся эпгм, но для этого надо задать начальные условия. Дело в том, что мы еще ке нашли самого общего решения уравноипя (21.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
