Фейнман - 02. Пространство. Время. Движение (1055661), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Дело обстоит так: если мы сможем представить сложную силу в виде суммы нескольких более простых сил и сможем решить уравнение для каждой силы в отдельности, то мы сможем решить и первоначальное уравнение, потому что для этого надо просто объединить куски решения так же, как мы объединяли отдельные силы, чтобы получить полную силу (фиг. 25.1). Еще один пример принципа суперпозиции. В гл. 12 (вып. 1) говорилось об одном из важнейших фактов, вытекающих из законов электричества.
Если нам задано распределение зарндов д„ можно найти электрическое поле Е„порол«даеиое этими зарядами в точке Р. Другое распределение зарядов д» порождает в этой же точке поле Е». Оба эти распределения, действуя вместе, породят в точке Р поле Е, которое представляет собой сутану полей Е, и Е . Иначе говоря, поле, соответствующее совокупности многих зарядов,— это векторнан сумма полей, соответствующих отдельным зарядам. Аналогия с предыдущим примером бросается в глаза: ведь если мы знаем результат действия 154 отдельных сил, то отклик на силу, являющуюся суммой этих сил, будет суммой отдельных откликов.
Причина справедливости принципа суперпозиции в электричестве состоит в том, что основные законы электричества, определяющие электрическое поле (уравнения Максвелла),— это линейные дифференциальные уравнения, обладающие свопством (25.8). Силам в этих уравнениях соответствуют заряды, порождагощие электрическое поле, а уравнения, определяющие электрическое поле по заданным зарядам,— линейные уравнения.
Чтобы придумать еще один пример принципа суперпозицпи, спросите себя, как вам удается настроить свой радиоприемник на определенную радиостанцию, хотя одновременно работает очень много станций. Сигналы радиостанций — это колеблющиеся электрические поля очень высокон частоты, действугощие на антенну радиоприемника. Амплитуда этих колебаний, правда, меняется, нх модулирует голос диктора, но скорость этих изменений очень мала и об этом можно пока забыть.
Когда вы слышите: «Станция работает на частоте 780 килогерц», это значит, что частота излучаемого антенной радиостанции электромагнитного поля равна 780 000 колебаний в секунду и это поле с точно такой же частотой раскачивает электроны в антенне вашего приемника. Но ведь в то же самое время поблизости мо'кет работать и другая радиостанция на другой частоте, скал<ем на частоте 550 нгй. Эта станция тоже раскачивает электроны вашей антенны. Как же отделяются сигналы, поступагощие в приемник с частотой 780 кгг(, от сигналов, имеющих частоту 550 кгг(? Ведь вы же не слышали голоса обоих дикторов одновременно. Первая часть электрической цепи радиоприемника — это линейная цепь. По принципу суперпоаиции ее отклик на электрическое поле Р„+Р» равен т,+аю По всему выходит, что нам придется слушать обоих дикторов сразу.
Но вспомним, что в резонансной цепи кривая отклика х на единичную силу Р зависит от частоты примерно так, как это пзображено на фиг. 25З. В цепи с очень большим значением 1',) отклик имеет очень острый максимум. Предположим, что обе станции имеют примерно одинаковую мощность, поэтому обе силы имеют примерно одинаковую амплитуду.
Огпж«ик равен сумме откликов х, и я», но па фиг. 25.3 хе громаден, а х» очень мал. Таким образом, хотя оба сигнала одинаковы по силе, в прпемнпке они проходят через остро резонансную цепь, настроенную на частоту ог, (частоту Еа б Ф и г. 25.З. Принцип екперпо- Е; еиции е елеккгроетптике. 155 ср и г. Эо,у. Рееона ясная крыеоя с ососрым максимумом.
ме ой оъ передач одной из станций), и отклик на эту частоту (станцию) значительно больше отклика на все остальные. Поэтому, несмотря иа то что на антенну действуют оба сигнала, полный отклик почти целиком составлен из частоты ш„и мы можем выбрать ту станцию, какую пожелаем. Несколько слов о механизме настройки. Как мы настраиваем радиоприемник? Мы изменяли частоту ш„меняя Ь или С цепи, потому что частота цепи зависит от комбинации е' и С.
Большинство радиоприемников устроено так, что в них меняется значение С. Поворачивая ручку настройки приемника, мы изменяем собственную частоту цепи. Пусть какому-то положению ручки соответствует частота ю,; если нет радиостанций, работающих на этой частоте, приемник молчит. Вы продолжаете изменять емкость С цепи, пока не построите кривую отклика с резонансом при частоте ш», тогда вы услышите другую станцию. Вот так и настраивается радиоприемник; все дело в принципе супер- позиции, в сочетании с резонансным откликои з. Нтоб закончить обсуждение, давайте подумаем, как поступить при анализе линейных задач с заданной силой, когда сила очень сложно зависит оьч времени. Можно поступать по-разному, но ость два особенно удобных общих метода решении таких задач.
Первый метод: предположим, что мы можем решить задачу в некоторых частных случаях, например в случае синусоидальных свл разных частот. Решать линейные уравнения в таких случаях — детская забава. Пусть нам и встретился этот «детский» случай. Теперь встает вопрос, нельзя ли представить лк>бую силу в виде суммы двух или более «детских» сил? Мы уже показали на фиг.
25.1 довольно хитрую зависимость силы от времени; если туда добавить еще несколько синусоид, то результирующая кривая будет выглндеть еще сложнее. Таким образом, простенькие «детские» силы могут породить очень сложную силу. Верно и обратное: практически каждая кривая о В новейших супергетородпкных приемниках дело, конечно, обстоит сложное. Усилители приемника язстровяы нз опредэлепную промежуточную частоту; осцнллятор с и«ром«иной настрвявающойся частотой связан с входным свгнвлом нелинейной связью, порождая новую частоту (равную разности частот сигнала н осцялляторз) — промежуточвуго частоту, которая н уснлнваэтся. Об эхом мы поговорки в гл.
50 (вып. 4). »56 8~8 д ем Т вЂ”,= — — з!пО. (25. 9) Это уравнение решается при помощи эллиптических функций, но легче его решить численно, как мы это делали в гл. 9 (вып. ! ) при изучении ньютоновых законов двиягения. Большинство нелинейных уравнений вообще можно решить лишь численно. Для малых углов з1пО практически равен О, и в этом случае можно перейти к линейному уравкепию. На этом примере можно сообразить, что есть много обстоятельств, при которых малые эффекты линейны (здесь это отклонения маятника на малые углы). Другой пример: если на пружине качается небольшой грузик, сила пропорциональна растяжению пружины.
Воли сильно потянуть за пружину, она может и порваться, значит, в этом случае сила совсем иначе зависит от расстояния! Линейныо уравнения очень вая1ны. Опи настолько важны, что физики и инженеры, пожалуй, половину своего времени тратят на решение линейных уравнений. О) З..Колебания в лытьейыью систиемах Давайте вспомним, о чем мы говорили в нескольких последних главах. Физику колебательных движений очень легко затемнить математикой. На самом-то деле здесь физика очень проста, и если на минуту забыть математику, то мы увидим, что понимаем почти все, что происходит в колебательной системе.
158 линейного уравнения, но математические методы содержат довольно сложные интегрирования и т. д.; мы мало подготовлены, чтобы прямо атаковать эти методы. К этому вы еще вернетесь, когда поднабьете руку в математике. Но сама идея методов, право, очень проста. Наконец, скажем еще, почему линейные систеыы так важны. Ответ прост: потому что мы умоем решать линейные уравнения! Поэтому большую часть времени мы будем решать линейные задачи. Вторая (и главная) причина заключается в том, что основные законы физики часто линейны. Например, уравнения Максвелла для законов электромагнетнзма — линейные уравнения. Великие законы квантовой механики, насколько иам ояи известны, тоже сводятся к линейным уравнениям. Вот почему мы так ыного вреиени уделяем линейным уравяенг1яы: если мы поняли линейные уравнения, мы готовы в принципе понимать очень многие вещи.
Упомянем еще другие ситуации, когда возникают линейные уравнения. Когда отклонения малы, многие функции можно нриблизкенно заменить линейными. Например, точное уравнение движения маятника гласит Во-первых, если мы имеем дело только с пружинкой и грузиком, то легко понять, почему система колеблется — зто следствие инерции. Мы оттянули массу вниз, а сила тянет ее назад; наступает момент, когда сила равна нулю, но грузин не может остановиться мгновенно: у него есть импульс, который заставляет его двигаться.
Теперь пружинка тянет грузик в другую сторону, грузик начинает двигаться взад и вперед. Итак, если бы не было трения, то, несомненно, получилось бы колебательное движение, и так оно и есть на самом деле. Но достаточно незначительного трения, чтобы размах следу1ощих колебаний стал меньше, чем раньше. Что случится потом, после многих циклов'. Это зависит от характера и величины трения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
