tus15 (1014508)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 15.НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯНЕПРЕРЫВНЫМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ СИСТЕМАМИПостановка задачиПусть поведение модели объекта управления описывается обыкновенным дифференциальным уравнениемx (t )  f (t , x (t ), u(t )) ,(1)где x – вектор состояния системы, x  ( x1 ,  , x n )T  R n ; u – вектор управления,u  (u1 ,..., uq )T  U  R q , U – некоторое заданное множество допустимых значенийуправления; t – время, t  T  [t 0 , t1 ] – промежуток времени функционирования системы; f (t , x, u) – непрерывная вместе со своими частными производными векторфункция, f (t, x, u)  ( f1 (t, x, u),..., f n (t, x, u))T , f (t , x, u ) : T  R n  U  R n ; R n – nмерное евклидово пространство.Момент начала процесса t 0 задан, а момент окончания процесса t1 определяетсяповерхностипервым моментом достижения точкой (t , x (t )) некоторой заданной  R n 1 :  { (t1 , x ) | i (t1 , x )  0, i  1,..., l ; t1  (t 0 ,  ), x  R n } ,(2)т.е.

в момент t1 должны выполняться условияi (t1 , x (t1 ))  0 ,i = 1,  , l ,где 0  l  n  1 , при l  n  1 множество  представлено точкой в пространстве R n 1 ,i (t1 , x )системавекторовфункции–непрерывнодифференцируемы;  i (t1 , x ) i (t1 , x )  i (t1 , x )  , i  1,..., l , линейно независима (t1 , x )  R n 1 .,,, x xn t11Начальное условие x (t 0 )  x 0 задает начальное состояние системы.Предполагается, что при управлении используется информация толькоо времени, т.е. система управления в данном случае является разомкнутой по состоянию и рассматривается так называемое программное управление (рис.

1).Множество допустимых управлений U 0 образуют кусочно-непрерывные функции u() со значениями в множестве U . В точках разрыва значение управления определяется как предел справа.1Определим множество допустимых процессов D (t 0 , x 0 ) как множество троекd  (t1 , x (), u()) , которые включают момент окончания процесса t1 , траекторию x () иуправление u() (где t  T : x (t )  R n , u(t )  U , функции x () непрерывны и кусочнодифференцируемы, а u()  U 0 кусочно-непрерывны), удовлетворяющие уравнению (1) сначальным условием x (t 0 )  x 0 почти всюду на множестве T и условию (2).x (t 0 )  x 0tdx f (t , x (t ), u(t ))dtu(t )x (t )Рис.

1На множестве D (t 0 , x 0 ) определим функционал качества управленияI (d ) t1f 0 (t , x (t ), u(t )) dt  F (t1 , x (t1 )) ,(3)t0где f 0 (t , x, u ) , F (t1 , x ) – заданные непрерывно дифференцируемые функции.Требуется найти такую тройку d   (t1 , x  (), u  ())  D (t 0 , x 0 ) , чтоI (d  ) mind  D (t0 , x0 )I (d ) .(4)Задача (4) с функционалом (3) называется задачей Больца; если в функционале (3)функция F (t1 , x )  0 (отсутствует так называемый терминальный член) – задачей Лагранжа; если f 0 (t , x, u )  0 (отсутствует интегральный член) – задачей Майера.Искомые функции x  () и u  () называются соответственно оптимальной траекторией и оптимальным управлением, а t1 – оптимальным моментом окончанияпроцесса.З а м е ч а н и е. Если любое допустимое управление u()  U 0 порождаетединственную тройку d  D (t 0 , x 0 ) , то задача (4) может быть записана в эквивалентнойформе:I (t 0 , x 0 , u  ())  min I (t 0 , x 0 , u()) .u () U 0Принцип максимумаНеобходимым условием экстремума функционала в задаче (4) является принципмаксимума.2Утверждение.

Пусть на тройке d   (t1 , x  (), u  ())  D (t 0 , x 0 ) достигаетсяминимумфункционала(3).Тогдасуществуеттакаявектор-функцияT(t )  (1 (t),...,  n (t )) , что:1) в каждой точке непрерывности управления u  (t ) функция H (t , (t ), x  (t ), u )достигает максимума по управлению, т. е.max H (t , (t ), x * (t ), u)  H (t , (t ), x * (t ), u * (t )) ,u Uгде H (t , , x, u ) n  j  f j (t, x, u)  f 0 (t, x, u) ;j 12) выполняется условие трансверсальностиF (t1* )  H (t1* )  t1 n  j (t1* )  x j0(5)j 1при любых t1 и x j , удовлетворяющих системеi (t1 , x  (t1 ))  0 , i  1,  , l ,i (t1 , x  (t1 ))  0 ,i  1,  , l ,где H (t1 )  H (t1 , (t1 ), x  (t1 ), u  (t1 )) , F (t1 )  F (t1 , x  (t1 )) , а вариации определяютсяследующим образом:F (t1 )  F (t1 , x  (t1 )) i (t1 , x  (t1 )) F (t1 , x  (t1 )) t1 i (t1 , x  (t1 )) t1t1 t1 nF (t1 , x  (t1 ))j 1xjn i (t1 , x  (t1 ))j 1xjx j ,x j ;3) функции x  (), () удовлетворяют системе уравненийx j (t ) H (t , (t ), x  (t ), u  (t )) f j (t , x  (t ), u  (t )) ,j j (t )  H (t , (t ), x  (t ), u  (t )),xjx j (t 0 )  x 0 j ,j  1,  , n .j  1,  , n ,(6)Используемые в формулировке утверждения функции 1 (t ),  ,  n (t ) называютсявспомогательными переменными, H (t , , x, u ) – гамильтонианом, а система (6) – системой канонических уравнений.З а м е ч а н и я.31.

В частном случае задания множества Г, когда момент времени t1 задан и фиксировано k координат x11 ,  , x k1 вектора x (t1 ) , т.е. t1  T1 , x j (t1 )  x j1 , j  1,  , k ;0  k  n , l  k + 1 , функции  j (t1 , x ) имеют вид j (t1 , x )  x j  x j1  0 ,j  1,  , k ;k 1 (t1 , x )  t1  T1  0 .Здесь при k  n правый конец траектории фиксирован, а при k  0 свободен.Отсюда следует, что x j  0 , j  1,  , k ; t1  0 .Решаемая задача с фиксированным временем окончания записывается в формеI (d ) t1f 0 (t , x (t ), u(t )) dt  F ( x (t1 ))  min .t0Решением этой задачи является пара ( x  (), u  ()) : оптимальные траектория иуправление.2.

В случае, когда начальное состояние и момент начала процесса t 0 не заданы, аопределяются вместе с конечными состояниями соотношениямиi (t 0 , x (t 0 ), t1 , x (t1 ))  0 ,i  1,  , l ,терминальныйчленфункционаламожетзадаватьсяввидeF1 (t1 , x (t1 ))  F0 (t 0 , x (t 0 )) . Тогда решаемая задача записывается в формеt1I (d ) разностиf 0 (t , x (t ), u(t )) dt  F1 (t1 , x (t1 ))  F0 (t 0 , x (t 0 ))  min ,t0а условия трансверсальности имеют видF1 (t1 )  H (t1 ) t1   F0 (t 0 )  H (t 0 ) t 0 1 n  j (t1 )  x j tj 1n  j (t 0 )  x j tj 100(7)при любых t1 , x j t1 , t 0 , x j t0 , удовлетворяющих системеi (t 0 , x  (t 0 ), t1 , x  (t1 ))  0 ,i  1,..., l ;i (t 0 , x  (t 0 ), t1 , x  (t1 ))  0 ,i  1,..., l .Решением задачи в этом случае является четверка (t 0 , t1 , x  (), u  ()) , включающаяоптимальные моменты начала и окончания процесса, траекторию и управление.3.

В общем случае гамильтониан следует записывать в формеH (t , ,  0 , x, u ) 4n  j  f j (t, x, u)   0  f 0 (t, x, u) ,j 1а при решении задачи рассматривать два случая:  0 (t )  0 и  0 (t ) $ 0 . Приведенное утверждение соответствует второму случаю, когда полагают  0 (t )  1 .4. Если на управление нет ограничений, т.е. U  R q , то максимум гамильтонианаищется с помощью необходимых и достаточных условий безусловного экстремума.5.

Если модель объекта управления описывается линейным дифференциальнымуравнением, а функционал квадратичный, принцип максимума является необходимым идостаточным условием оптимальности в задаче (4).АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА1. Составить гамильтониан: H (t , , x, u) njj 1f j (t , x, u)  f 0 (t , x, u ) .2. Найти структуру оптимального управления u  (t )  u  (t , (t ), x (t )) из условиямаксимума гамильтониана по управлению.3. Составить систему канонических уравнений (6) с заданными в задаче условиями.4. Из условий трансверсальности (5) или (7) получить недостающие краевые условия для уравнений составленной системы.5. Решить двухточечную краевую задачу для системы канонических уравнений, полученную в п.

3, с учетом результатов пп. 2 и 4. В итоге определяется тройка(t1 , x  (), u  ()) , на которой может достигаться экстремум функционала. В соответствиис пп. 1, 2 замечаний к формулировке принципа максимумарешениями задачи в завиили четверкасимости от постановки могут быть также пара ( x (), u  ())(t 0 , t1 , x  (), u  ()) .Пример 1.

Даны модель объекта управленияx (t )  u(t ) , x (0)  0 , x (1) где x  R ; u  R ; t  [0; 1] , и функционал1I 1,2[ u 2 (t )  x 2 (t ) ] dt  min .0Tребуется найти оптимальную пару ( x  (), u  ()) , на которой достигается минимумфункционала. Сравниваясобщейпостановкойзадачи,имеем:f (t , x, u )  u ,1f 0 (t , x, u )  u 2  x 2 , F (t1 , x )  0 , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  1  0 , 2 (t1 , x (t1 ))  x (1)   0 .2Решается задача Лагранжа.1. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )   u  u 2  x 2 .2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения науправление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловного экстре(t )H (t , (t ), x (t ), u)  (t )  2u  0 .

Отсюда u  (t ) . Найденное управлениемума2u5H (t , (t ), x (t ), u ) по управлению, так как удовлетво-обеспечивает максимум функцииряются достаточные условия экстремума2 u23. Выписываем уравнения системы (6):x (t )  u  (t )  (t )  H (t , (t ), x (t ), u )  2  0 .1(t ), x (0)  0 , x (1)  ,22H (t , (t ), x (t ), u(t ))  2 x (t ) .x4. Проверяем условия трансверсальности (5). Так как F (t1 , x )  0 , то F  0 и  H (t1 )  t1  (t1 )  x t1 1 0 . Поскольку t1  1 и x (t1 ) 1заданы,2то t1  0 ,x  0 . Поэтому условия трансверсальности выполняются.5.

Решаем полученную двухточечную краевую задачу:x (t ) 1(t ), x (0)  0 , x (1)  ,22 (t )  2 x (t ) . (t ) x (t ), x (t )  C1 e t  C 2 e t , x (0)  C1  C 2  0 ,2e(t )1, u * (t )  x * (t ) . В результате , C 2   C1 , C1 2222(e  1)Последовательно находим: x(t ) x (1)  C1 e  C 2 e 1находится искомая пара: x (t ) e (e t  e t )2 (e 2  1), u (t ) e (e t  e t )2 (e 2  1).Пример 2. Даны модель объекта управленияx (t )  x (t )  u(t ) , x (0)  0 ,где x  R ; u  R ; t  [0; 1] , и функционал1I u 2 (t ) dt  x (1)  min .0Требуется найти оптимальную пару ( x  (), u  ()) , на которой достигается минимумфункционала.0Сравниваясобщейпостановкойзадачи,имеем:f (t , x, u)  x  u ,2f (t , x, u)  u , F (t1 , x )   x , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  1  0 . Решается задача Больца.1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций