tus3 (1014496)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 3. Анализ выходных процессов многомерных линейныхдетерминированных системПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) ;б) система, описываемая уравнениями состояния и выходаx (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t ) , x (t 0 )  x 0 ,y (t )  C (t ) x (t ) ;в) вектор начальных состояний x 0 .Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и векторавыходаy (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти переходную матрицу (одним из трех способов, рассмотренных далее).2.

Используя соотношенияtx (t )  (t , t 0 ) x 0 (t , ) B () g () d ,t0ty (t )  C (t ) x (t )  C (t ) (t , t 0 )x 0  C (t )  (t , ) B () g () d ,t0илиtx (t )  (t ) x 0   (t  ) B g () d  ,0ty (t )  C x (t )  C (t ) x 0  C(t  ) B g () d ,0в зависимости от типа системы, определить законы изменения векторов состояния и выхода.Рассмотрим различные способы нахождения переходной матрицы.Первый способ. Если фундаментальная матрица (t )  1 (t ),...

,  n (t ) , столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных уравнений, известна, то переходная матрица находится по формуле(t , )  (t )  1 () .З а м е ч а н и е. Общее решение однородной системы можно записать в виде1x 0 (t )  c1 1 (t )  ...  c n  n (t ) ,где c1 ,... , cn – произвольные постоянные.Для стационарных систем следует выполнить действия:1. Найти корни характеристического уравненияA  E  0 ,где E – единичная матрица.2. Выписать выражение общего решения для каждой компоненты вектора х, следуяизвестным правилам в зависимости от типа корней.

При этом коэффициенты при различных компонентах общего решения различны.3. Полученные выражения подставить в однородную систему. Во многих случаяхдостаточно подставить в первые n  1 уравнений системы, что облегчает решение задачи.4. Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в формеx 0 (t )  c1 1 (t )  ...  c n  n (t ) .В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле (t , )  (t )  1 () –переходная.Пример 1. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1  x1  2 x 2 ,x 2  4 x1  3x 2  g . 1 2 Составим матрицу системы A   .

Используем приведенный выше алго 4 3ритм.1. Корни характеристического уравнения12 0 , 2  4  5  0 дейст43вительные разные:  1  5,  2  1 .2. Запишем выражения общего решения для каждой компоненты:x1 (t )  C1 e 5t  C 2 e t ,x 2 (t )  B1 e 5t  B 2 e t .3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:5C1 e 5t  C 2 e t  C1 e 5t  C 2 e t  2B1 e 5t  2B 2 e t .4. Приравняв коэффициенты при e 5t и e t , получим24 C1  2 B1 , 2C 2  2 B2 ,илиB1  2C1 ,B2   C 2 .5.

Из пп. 2, 4 имеем t  5t  x1 (t )   C1 e 5t  C 2 e  t   C1  e   C 2  e  .  5tt   e t  2e 5t  x 2 (t )   2C1 e  C 2 e 1 (t ) 2 (t )Отсюда e 5t(t )   5t 2ee  t , e  t  1 (t ) 1  e  5t3  2e te  5t  e t и по формуле (t , )  (t )  1 () e 5t(t , )   5t 2ee  t  1  e  5 e  t  3  2e e  5  1  e 5(t  )  2e  (t  ) e   3  2e 5(t  )  2e  (t  )1  e 5  2e  3  2e 5  2e  e 5  e    () , где   t   .

2e 5  e   e 5(t  )  e  (t  ) 2e 5(t  )  e  (t  ) Пример 2. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1  x 2 ,x 2   x1  2 x 2  g .0 1 Составим матрицу системы A   . Используем приведенный выше ал 1 2горитм.1 0 , 2  2  1  0 дей1. Корень характеристического уравнения1  2  ствительный кратный:   1 , k  2 .2. Выражения общего решения для каждой компоненты имеют видx1 (t )  (C1  C 2 t ) e t ,x 2 (t )  (B1  B 2 t ) e t .3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:C 2 e t  (C1  C 2 t ) e t  (B1  B 2 t ) e t .4.

Приравняв коэффициенты при e t и t e t , получим3C 2  C1  B1 , C 2  B2 .5. Из пп. 2, 4 имеемt t  x1 (t )  C1 e  t  C 2 t e  t  C1  e   C 2  t e   e  t  t e  t .  e t  (C  C ) e  t  C t e  t x(t) 2   2121 (t ) 2 (t )Отсюда находится фундаментальная матрица e t(t)    t et e t ,e  t  t e  t e t  t e t 1 (t)  t e t e t e t и по формуле (t , )  (t )  1 () e t(t , )    t e e  (t  )  (t  ) e  (t  )  (t  ) e  (t  )t e te  t  t e  t e    e  e  e  e    e    e  e   (t  ) e  (t  )  ( ) ,e    e   e  (t  )  (t  ) e  (t  )    e  где   t   .Второй способ.

Применение теоремы разложения Сильвестра. Переходная матрицастационарной системы определяется по формуле()  e A  ni 1n A  Ej e i  j 1  i   jij ,где  i – собственные значения матрицы А (здесь предполагается, что они различны), а Е– единичная матрица.Пример 3. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1  x1  2 x 2  g ,y  x1 + x 2x 2  2 x1 + x 2 ,с начальными условиями x1 (0)  1, x 2 (0) = 1 при входном сигнале e t , t  0 ,g (t )   0, t  0 .4 1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1   1 2   x1   1          g , x2   2 1   x2   0 x y = 1 1  1  . x2 2.

Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы А. Получим12 0,21(1  ) 2  4  0 .Отсюда  1  3,  2 = 1 . По формуле имеем()  e 3A  (1)EA  3E 2 2 1    2 2 1  e   e  e 3 3  (1)(1)  3 4 2 2 4 2  2=1  e 3  e  2  e 3  e  e 3  e   .e 3  e   3. Найдем законы изменения векторов состояния и выхода:t1  e 3t  e  t e 3t  e  t   1  1  e 3(t  )  e  (t  ) e 3(t  )  e  (t  )   1     e d  x (t )   3t2  e  e  t e 3t  e  t    1 2 0  e 3(t  )  e  (t  ) e 3(t  )  e  (t  )   0 1 3t 1  t1 3t 3  t e  ee  e  e t  4444,  t  11111333tttttt  e   e  e  e   e  e  e 2424 44x c (t )x вын (t )1 3t 1  te  e e t 44y (t )  1 1   t   1 1 1 3t 1 t 1  t e e  e  e 244111111 1= e  t - e -t   e 3t  e  t  e 3t  e t  e  t   e 3t  e t .442424 2yc (t )  0y вын (t )5Пример 4.

Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1   x 2  g1 ,y1  x 2 ,x 2  x1 + g 2 ,y 2  x1 +1x22с начальными условиями x1 (0)  1, x 2 (0) = 0 при входном сигнале 2, t  0, 1, t > 0 ,g 2 (t ) = g1 (t )   0, t  0 . 0, t  0, 1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1   0  1   x1   1 0   g 1           , x2  1 0   x2  0 1   g 2 0 1 y   1 0,5  x1   . x2 2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы А. Получим  1 0, 2  1  0 .1 Отсюда  1  i,  2 =  i .

По формуле (1.58) имеем()  e i A  (i )EA  iE1 i  1 1  i    i  e e i  e i  i  (i )(i )  i 2i11 i  2i 1 i e i  + e i e i   e i  cos   sin   , так как cos  == , sin  =.22i sin  cos  3. Найдем законы изменения векторов состояния и выхода:t cos t  sin t    1 cos(t  )  sin(t  )   1 0   2          d x (t )   sin t cos t   0  0  sin(t  ) cos(t  )   0 1   1   cos t   1  2 sin t  cos t   1  2 sin t  + =,  sin t   2  2 cos t  sin t   2  2 cos t x “ (t )x "/… (t ) 0 1    cos t   0 1   1  2 sin t  cos t y (t )     1 0,5   sin t   1 0,5  2  2 cos t  sin t  sin t  2  2 cos t  sin t   2  2 cos t +=15.sin t  cos t  sin t    2 sin t  cos t  22 yc (t )6yвын (t )Третий способ.

Использование теоремы Кели-Гамильтона.Рассмотрим два случая ее применения.1. В случае различных собственных значений матрицы А :()  r0E  r1 A ... rn 1 A n 1  R ( A ) ,(*)где n – число строк матрицы А; A n 1 – (n  1) -я степень матрицы А; коэффициенты r0 ,r1 ,... , rn 1 многочлена R () находятся из системы уравненийe i   R ( i )  r0  r1  i  ...

 rn 1  i n 1 ,i  1,..., n .(**)2. В случае кратных собственных значений матрицы А формула (*) также справедлива. Корню  i кратности  в системе n уравнений (**) соответствуют соотношенияd k e d kd k R ()d kk  0,1,...,   1 .,(***)  iПример 5. Найти переходную матрицу системы, если матрица Aв уравне 1 2нии состояния имеет вид `   (см.

пример 1.24). 2 1 Собственные значения матрицы А:  1  3,  2  1 различны, n  2 . Поэтомусоставим систему уравнений (**):e 3  r0  3 r1 ,Отсюда r0 1 3e  3e  4e    r0  r1 (1) .1 3e  e   . По формуле (*) имеем, r1 4()  r0 E  r1 A 1 3e  3e  41  e 3  e  2  e 3  e    100  1 3 e  e 1 4  1221 e 3  e   .e 3  e   Результат совпадает с полученным ранее.Пример 6. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1  x 2  g ,y1  x1  x 2 ,x 2   x1  2 x 2 ,y 2  x1с начальными условиями x1 (0)  1, x 2 (0)  1 при входном сигнале1, t  0 ,g (t )   0, t  0 . 1.

Перепишем уравнения системы в матричной форме:7ddt1  x1   0    x2    1  2 x1    x2 1   g ,01 1   x1    ,y = 1 0   x 2 A(t )B (t )C (t )где n  2, r  1, k  2 .2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы А. Получим1 0, 2  2  1  0 .1  2  Отсюда 1   2 = 1 (корень действительный кратный). По формуле (***) имеемe 1  r0  r1 1 ,d (r0  r1)de,dd  1т.е.e    r0  r1 (1),e    r1.Отсюда r0  e    e   , r1  e  . По формуле (*) получаем1 1 0 0   e    ()  r0 E  r1 A  e     e   0 1  1  2 e    e  e   .  e  e   e3.

Найдем законы изменения векторов состояния и выхода: e  t  te  tx(t )  t  te 1  t    te  t    1 0te  te t e  (t  )  (t  )e (t  ) 1 (t - )e (t  )   d  (t  ) (t  ) (t  )   0 teete()()  e  t   te  t  2e  t  2   te  t  3e  t  2 ,   t   tt tt   e   1  e  te   1  2e  te x c (t )x вын (t )1 1   e  t  1 1   te  t  2e  t  2   y (t )  t  tt 1 0    e  1 0   1  e  te  e t  e t   e t  1e t  1 t   2  2e  t  te  t    2  3e  t  te  t  . e  yс (t )y вын (t )8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций