tus14 (1014507)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 14.АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙЛИНЕАРИЗАЦИИПостановка задачиРассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом.gF ()zW (s )xРис. 1Изучается свободное движение системы, т.е. движение при ненулевых начальных условиях в отсутствии входного сигнала ( g (t )  0 ).При отсутствии внешних воздействий свободное движение линейной системы может быть периодическим, если корни характеристического уравнения чисто мнимые. Однако практически такие движения не реализуются, так как малейшее изменение параметров системы приводит к тому, что колебания становятся либо затухающими, либо расходящимися, поскольку появляются отрицательные или положительные действительныечасти у корней характеристического уравнения.В отличие от линейных систем в нелинейных системах управления при отсутствиивнешних воздействий возможны устойчивые периодические движения, которые принятоназывать автоколебаниями.На фазовой плоскости автоколебаниям соответствует устойчивый предельныйцикл, где x , y  x – выходной сигнал и его производная.Пусть известны:а) характеристика F () нелинейного элемента;б) передаточная функция W (s ) линейной части системы.Требуется определить:а) возможны ли в системе автоколебания?б) параметры автоколебаний: амплитуду ao и частоту  o предельного цикла,если ответ на первый вопрос положительный.Анализ периодических движений систем управления с одним нелинейным элементом будем проводить методом гармонической линеаризации ее единственного нелинейного звена.1Гармоническая линеаризация нелинейных элементовРассмотрим нелинейный элемент с характеристикой z  F () , на вход которогоподается гармонический сигнал (t )  a sin t с амплитудой a  0 и частотой   0 .Предположим, что:– постоянная составляющая q 0 (a ) сигнала отсутствует (для нечетной характеристики F () это всегда выполняется);– линейная часть системы (устойчивая) обладает свойствами фильтра низких частот: W (i)  W (ik) при k  1 , поэтому учет высших гармоник не является существенным (гипотеза фильтра).Нелинейный элемент z  F () может быть заменен линейным, частотная характеристика которого зависит от амплитуды входного сигнала.

Этот прием получил названиегармонической линеаризации нелинейностей.Частотная характеристика W H (a , i) этого эквивалентного звена зависит толькоот амплитуды а и не зависит от частоты  :W H (a)  W H (a, s )q (a) 1as i  q (a)  i q1 (a) ,2где1q1 (a) aF (a sin ) sin  d,02F (a sin ) cos  d.0Функцию W H (a ) называют комплексным коэффициентом усиления нелинейного элемента, а коэффициенты q (a ) и q1 (a ) – коэффициентами гармонической линеаризации.

Для типовых нелинейных элементов приведены в табл.1.Алгоритм анализа автоколебанийУсловие возникновения автоколебаний –амплитуда a и частота  удовлетворяют уравнению гармонического баланса:W H (a )W (i)  1 .(*)Это уравнение можно рассматривать как условие наличия чисто мнимого корня iхарактеристического уравнения линеаризованной системы, что связано, как отмечалосьвыше, с существованием периодических движений линейных систем.Уравнение гармонического баланса можно записать с учетом в виде системы двухуравнений относительно двух неизвестных a и  :2q (a) ReW (i)  q1 (a) Im W (i)  1,q1 (a) Re W (i)  q (a) Im W (i)  0,где q (a ) и q1 (a ) – коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного элемента.Применяются также и другие формы записи уравнения (*):11W H (a)  ; W (i)  M H (a), где M H (a)  .W H (a)W (i)При решении задач удобно пользоваться следующей графоаналитической схемой(диаграммой Гольдфарба).1.

Построить годограф W (i) при   [ 0;   ) .12. Построить годограф M H (a)  при a  [ 0;   ) .W H (a)3. Найти значения частоты  o и амплитуды ao периодического движения, соответствующие точкам пересечения годографов (решить уравнение (*) ).14. Если при движении по годографу M H (a)  , соответствующем увелиW H (a)чению амплитуды a от значения ao , окажемся в точке, которая не будет охватыватьсягодографом W (i) (рис.2 , точка 2), то амплитуде ao будут соответствовать устойчивые автоколебания, а в противном случае (рис.2 , точка 1) – неустойчивые.VW (i)  a  U2M H (a)1a00Рис.

2З а м е ч а н и я.1. Метод гармонической линеаризации является приближенным. Поэтому отсутствие решений уравнения (*) гармонического баланса означает, чтоиспользуемый метод не позволяет выделить периодических движений у исследуемой системы.2. После нахождения частоты периодического движения следует проверить выполнение гипотезы фильтра: W (i  П )  W (i k  П ) при k  1 .3Таблица 1Нелинейный элемент№п/п1234НазваниеРелейныйэлементРелейныйэлементс зонойнечувствительностиЭлементс зонойнечувствительностиЭлементс петлейгистерезисаКоэффициенты гармонической линеаризацииГрафик ианалитическоезаданиеq (a )qРис.

4Рис. 54caq1q1 (a )4cab2a20, a  b;q0 , abq cРис. 65Рис. 8baq14ca1b2a2, a  b;2cqa1b2a2q1  4cba 2,a  b ;q1  0 , a  bq1  2cb (1  r )a 2,a  b;1r 2b 2 , a  b;a 2 q0 , ab7.x по книге [ПБ]40b 2 , ab ;a 2 q0 , abРис. 72c b arcsin  aq0 , abЭлементс зонаминечувствительностии неоднозначности0q1  0 , a  bПример 1. Исследовать систему (рис. 3) на наличие автоколебаний. 1.

Строим годограф частотной характеристики линейной части разомкнутойсистемы при   [ 0;   ) (рис. 4):W (i) 3(i)3  3 (i) 2  i 3 (32  i (  3 ))94  2 (1  2 ) 23 32  i (  3 )992  (1  2 ) 2i3 (1  2 )93   (1  2 ) 2zgF ()z.z  F ()13xs 3  3s 2  s1Рис. 32. Коэффициенты гармонической линеаризации релейного звена имеют вид (п.1табл. 1):q (a) 4,aq1 (a )  0 .Строим годограф функцииM H (a) 1a4q (a)  i q1 (a)при a  [ 0;   ) (рис. 4).VM H (a)1a    a0UW (i)U ()V ()090,5 3,2 1,61102 0,20,1000Рис. 453. Находим амплитуду ao и частоту  o , соответствующие точке пересеченияW (i) , решая уравнение гармонического балансагодографов M H (a ) иW (i)  M H (a) :992  (1  2 ) 2i3 (1  2 )93   (1  2 ) 2a.4Приравнивая действительные и мнимые части, получаем:992  (1  2 ) 2a,43 (1  2 )93   (1  2 ) 2 0.Из второго уравнения следует   1 (   1 не подходит, так как   [ 0,   ) ),4поэтому  o  1 .

Из первого уравнения находим a П  .4. По диаграмме Гольдфарба (рис. 4) определяем, что найденным значениям параметров соответствуют устойчивые автоколебания, так как при увеличении a ( a  a П )точка, движущаяся по годографу M H (a ) , не охватывается годографом W (i) . Пример 2. Исследовать систему (см. рис. 5) на наличие автоколебаний, где пара5.метры нелинейности b  1 ; c 2z z  F (,  )gFzd1xs (s  1)bbdабРис. 5 1.

Частотная характеристика линейной части системы имеет вид111 2  iW (i) s (s  1) s  i s 2  s s  i i   2 4  (i) 2  (  i )2 ( 2  1)11  2i (1  2 ).Строим годограф W (i) при   [ 0;   ) (рис. 6).2. Находим комплексный коэффициент усиления нелинейного элементагистерезиса (п.4 табл. 1):6с петлей4c 10 2a 2  1  i   a 1  i2 2 a a W H (a)  q (a)  i q1 (a) и обратную характеристику M H (a)  M H (a)  a210 ( a 2  1  i )1W H (a):a2 ( a2  1  i)2210 (a  1  i )1 2 a 1  i.10 Построим годограф M H (a ) при a  [ 0;   ) (рис. 6).3. Найдем параметры автоколебаний.

Для этого составим уравнение гармонического баланса M H (a )  W (i) :1 1i2. a 1  i  2 1 10  (1  2 )V  1i 10M H (a )UW (i)U ()V ()010,5 0,8 1,612 15120121 1000Рис. 6Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений1111a2  1 ,.1010  (1  2 )1  2Из второго уравнения 3    10  0 определяем частоту  o  2 автоколебаний.

Заметим, что других действительных корней это уравнение не имеет. Подставляя найденнуючастоту в первое уравнение системы, определяем амплитуду автоколебаний: a П  5 .2При частоте  o  2 период колебаний  , что примерно совпадает со временемП2  3,12 одного прохождения изображающей точкой предельного цикла.74. Как видим (рис. 6), годографы пересекаются в одной точке, которой соответствуют устойчивые автоколебания, так как при увеличении a ( a  a П ) окажемся в точке,которая не охватывается годографом W (i) .

Пример 3. Исследовать систему (рис. 3) на наличие автоколебаний, если в качестве нелинейного элемента используется релейный элемент с зоной нечувствительности ипараметрами b  1, c   . 1. Строим годограф частотной характеристики линейной части разомкнутойсистемы при   [ 0;   ) с учетом п.1 примера 1 (рис. 7,а):W (i)  992  (1  2 ) 2i3 (1  2 )93   (1  2 ) 2.2. Находим комплексный коэффициент усиления (п.2 табл. 1):4cW H (a) a1и обратную характеристику M H (a)  b2ai 0 21W H (a)M H (a)  4ca:a 24ca2  b22a2  b2.Определим значение a , обеспечивающее максимальную величину M H (a) . Дляэтого применим необходимое условие безусловного экстремума:2a  4c2aa 2  b 2  a 2 4c 2d M H (a)da16c 2 (a 2  b 2 )a2  b20или 8ac (a 2  b 2 )  4a 3c  0 , 2 (a 2  b 2 )  a 2 .

Отсюда a 2  2b 2 и a   2b (значение a   2b не подходит, так как a  b ).Вычислим значение обратной характеристики при a  a   2b : 2b 2bM H (a  )  .4 cb2c1Для заданной нелинейности ( b  1, c   ) находим a   2 , M H (a  )   .2Построим годограф M H (a)  a242a 1(рис. 7,а).3. Очевидно, точка пересечения построенных годографов имеет координатыU  1, V  0 . По годографу частотной характеристики W (i) находим частоту автоколебаний:  o  1 . Амплитуду определяем из условия8M H (a)  a22a 14 1 .Отсюда a 2  4 a 2  1 , a 4  16 (a 2  1) , a 4  16a 2  16  0 , a 2  8  4 3 . Следовательно, получаем два решения:a1 8  4 3  1,035 иa2 8  4 3  3,863 .VM H (a)1V   0,5UM H (a)22W (i)1   0,5UW (i)00aM H (a)1,01 1,81,1 0,66 0,5223 0,577 0,795абРис.

74. Для наглядности изобразим условно график (рис. 7,а) , отражая факт наличиядвух "берегов" у годографа M H (a) (рис. 7,б). При увеличении a от 1 до a   2 изображающая точка двигается вправо, а при a  a   2 – влево вдоль действительнойоси. Тогда очевидно, что годографы W (i) и M H (a) пересекаются в одной точке придвух разных значениях амплитуды: a1 и a2 . Так как при a  a1 точка охватывается годографом частотной характеристики W (i) , то первому пересечению соответствует неустойчивое периодическое решение. Второе пересечение определяет устойчивые автоколебания с параметрами  o  1 , a П  a2 тывается годографом W (i) .8  4 3 , так как при a  a2 точка не охва-АНАЛИЗ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИПостановка задачиРассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом.

Изучаетсясвободное движение системы, т.е. движение при ненулевых начальных условиях в отсутствии входного сигнала ( g (t )  0 ).Система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движение x (t ) ограничено при t  [0;  ) иlim x (t )  0 . Если окажется, что это свойство выполняется для любых нелинейных элеt ментов из некоторого класса, то устойчивость называется абсолютной.9Условия абсолютной устойчивостиУтверждение 1 (достаточные условия абсолютной устойчивости, теорема В.М.Попова). Пусть выполняются условия:1) все полюсы передаточной функции линейной части системы имеют отрицательные действительные части (т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций