tus4 (1014497)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 4. УСТОЙЧИВОСТЬ, УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ1. Анализ устойчивости1. Одномерные системы. При изучении различных форм математическогоописания систем управления большое внимание уделяется алгоритмам решенияосновной задачи анализа – задачи анализа выходных процессов, т.е.

получениюколичественных характеристик процессов, происходящих в системах. В данномразделе рассмотренные выше системные характеристики используются для выяснениякачественных особенностей поведения систем управления.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим одномерную стационарную систему управления, поведение которойописывается дифференциальным уравнениемa n x (n) (t )  a 0 x (t )  bm g (m) (t )  b0 g (t )с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 , , x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; t 0 – начальный момент времени.В соответствии с представлением выходного сигнала системы в виде суммысвободного и вынужденного движений: x (t )  x“ (t )  x"/… (t ) вводятся следующие понятия устойчивости системы.Система управления называется устойчивой по начальным данным (асимптотически устойчивой), если при ненулевых ограниченных начальных условияхсвободное движение x“ (t ) ограничено при всех t  [t 0 ,  ) и lim x c (t )  0 .tограСистема управления называется устойчивой по входу, если при любомниченном воздействии g (t ) реакция системы x"/… (t ) является ограниченной в любоймомент времени t  [t 0 ,  ) .Более краткий термин – устойчивая система управления – употребляется, если система устойчива и по входу, и по начальным данным.Требуется определить, является ли система устойчивой.КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ1.

Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы корни  i характеристического уравненияan n  an 1 n 1    a0  0имели отрицательные действительные части: Re  i  0 , i  1,  , n , т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (рис. 1).1Im Левая полуплоскостьПравая полуплоскостьRe   0Re   0Re Рис.2.

Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения можно использовать критерий Рауса–Гурвица.Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно,чтобы при an  0 угловые миноры  i матрицы an 1 an  3 a n an  2 0an 1an 0 0 0an  5an  4an  3an  20 0 0 0 0  a0 a aбыли положительны:  i  0 , i  1,  , n , где 1  an 1 ,  2   n 1 n  3  и т.д. an an  2 При заполнении квадратной порядка n матрицы отсутствующие в уравнении коэффициенты an  i и ai при i  n заменяются нулями.3.

Если система устойчива по начальным данным и порядок m дифференциального оператора M ( p)  bm p m  b0 правой части уравнения системы не больше по-рядка n дифференциального оператора D ( p)  an p n  a0 левой части, т.е. m  n ,то система устойчива по входу.Необходимое условие устойчивости. Если система устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковые знаки.З а м е ч а н и я.1. Первый критерий устойчивости называется прямым, а второй – косвенным,так как в этом случае процедура анализа устойчивости не требует нахождения корнейхарактеристического уравнения.2.

Коэффициент an в уравнении всегда можно сделать положительным, например, умножая характеристическое уравнение на (  1 ).3. Анализ устойчивости элементарных и типовых звеньев систем управленияможно также выполнить, пользуясь определениями и сформулированными критерия2ми. Устойчивыми являются усилительное, апериодическое (при T  0 ) и колебательное (при T  0 , 0    1 ) звенья.

Дифференцирующее звено не устойчиво по входу, аинтегрирующее звено не устойчиво и по входу, и по начальным данным.Пример 1. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением (апериодическое звено)3x  x  g . Характеристическое уравнение 3  1  0 имеет отрицательный корень1   . Кроме того, порядок ( m  0 ) правой части уравнения меньше порядка ( n  1 )3левой части.

Согласно первому и третьему критериям система устойчива.Пример 2. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением4 x  x  g . Характеристическое уравнение 4  1  0 имеет положительный корень1. Согласно первому критерию система не является устойчивой.4Пример 3. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением (колебательное звено (1.11))x  2 x  x  g . Характеристическое уравнение 2  2  1  0 имеет отрицательный (кратный) корень   1 .

Кроме того, порядок ( m  0 ) правой части уравнения меньше порядка ( n  2 ) левой части. Согласно первому и третьему критериям система устойчива.Пример 4. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнениемx  2 x  x  g . Характеристическое уравнение 2  2  1  0 имеет два корня: 1  1  2  0 ,  2  1  2  0 , один из которых положительный. Согласно первому критерию система не является устойчивой.Пример 5. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнениемx  2 x  3x  4 x  g . Здесь a3  1 , a2  2 , a1  3 ,выполняется.

Составим матрицу (1.79):210Вычисляем угловые миноры:a0  4 . Необходимое условие устойчивости4 03 0 .2 4321  2  0 ,2 4 2  0,1 32 4 0 3  1 3 0  4 2  8  0 .0 2 4Они положительны, следовательно, по второму критерию заключаем, что система является устойчивой по начальным данным. Кроме того, порядок ( m  0 ) правой частиуравнения меньше порядка ( n  2 ) левой части. Согласно третьему критерию системаустойчива и по входу, т.е. является устойчивой.Пример 6. При каких значениях параметра k система, описываемая дифференциальным уравнениемx (4)  4 x (3)  2 x (2)  3x  k x  g ,будет устойчивой. Здесь a4  1 , a3  4 , a2  2 , a1  3 , a0  k .

Необходимое условие устойчивости выполняется, если k  0 . Составим матрицу (1.79):410000.01 2 k3 02 k4 3Для удовлетворения всех условий критерия Рауса–Гурвица должны выполняться следующие неравенства:1  4  0 ,24 3 04 3 5  0 ,  3  1 2 k  15  16k  0 ,  4  k  3  0 .1 20 4 315. Кроме того, порядок ( m  0 ) правой части уравнения меньше по16рядка ( n  4 ) левой части. Согласно второму и третьему критериям система устойчива15.при 0  k 16Отсюда 0  k Пример 7. Найти все положительные значения коэффициента усиления k , прикоторых система, заданная структурной схемой (рис.), будет устойчивой.g1p2  p  21p 1kxРис. По структурной схеме составляем дифференциальное уравнение (см.

семинар 1). Уравнения элементов системы в операторной форме имеют вид4x k( p  1) ( p 2  p  2),   g  x .Исключая  , получаем уравнениеx  2 x  3x  (k  2) x  k g .Составляем матрицу:0 2 k  230 1k  220и вычисляем ее угловые миноры:1  2  0 ,2  4  k , 3   2 (k  2) .Из условия их положительности заключаем, что при всех k (0, 4) система будет устойчива по начальным данным. Так как порядок ( n  3 ) дифференциального оператора левой части больше порядка ( m  0 ) дифференциального оператора правой части,то при k (0, 4) система будет устойчива и по входу.

2. Многомерные системы. Аналогично одномерным системам рассмотрим качественное поведение многомерных систем, описываемых уравнениями состояния.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается линейная многомерная стационарная система, описываемаяуравнением состояния:x (t )  A x (t )  B g (t ) , x (0)  x 0 ,где x – n-мерный вектор состояния; g – r -мерный вектор входных воздействий; t –время; начальный момент времени t 0  0 ; x 0 – начальное состояние; А, В – матрицыразмера (n  n) , (n  r ) соответственно.Система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движение x“ (t ) (при g (t )  0 ) ограничено при ограниченных начальных состояниях x 0 ивыполняется условиеlimtxc (t )  0 .КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ1.

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно,чтобы корни  i характеристического уравненияdet ( A  E )  0имели отрицательные действительные части: Re  i  0 , i  1,  , n , т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (см.

рис. ).2. Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения, которое записывается в форме, можно использовать критерий Рауса–Гурвица.5Необходимое условие устойчивости. Если система асимптотически устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковые знаки.Пример 8. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1  x1  2 x 2 ,x 2  4 x1  3x 2  g1.12 1 2 Здесь A   0 или . Характеристическое уравнение43 4 32  4  5  0 имеет действительные корни разных знаков:  1  5  0 ,  2  1  0 .Согласно первому критерию система не является устойчивой.Пример 9. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1  x 2 ,x 2   x1  2 x 2  g1.10 1 Здесь A   0 или .

Характеристическое уравнение1  2   1 22  2  1  0 имеет отрицательный корень (кратности 2):  1,2  1 . Согласно пер-вому критерию система является устойчивой.Пример 10. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1   x 2  g1 ,x 2  x1  g 2 . Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1   0  1  x1   1        x2  1 0   x2   0A01  g1  . g2 BНайдем корни характеристического уравнения. Получим  1 0  2  1  0 .1 Отсюда  1  i ,  2   i .

Действительная часть корней равна нулю. Согласно первомукритерию система не является устойчивой.6Пример 11. При каких положительных значениях параметра a система, описываемая дифференциальными уравнениямиx1   ax1  g1 ,x 2  (a  2) x 3  g1  g 2 ,x 3   x 2  2a x 3  g 2,будет устойчивой? Составляем характеристическое уравнение:adet ( A  E ) 0000a  2   (  a) (2  2a  a  2)  1  2a    3  3a2  (2a 2  a  2)  a 2  2a  0 .Его корни:  1   a ,  2   a  a 2  a  2 ,  3   a  a 2  a  2 действительные.При a  0 корни 1 и  2 отрицательны. Из неравенства  3  0 находим, что a  2 .Следовательно, рассматриваемая система устойчива при a  2 .Проверим этот вывод при a  3 , используя критерий Рауса–Гурвица.

Характеристическое уравнение имеет вид  3  92  19  3  0 . Умножая его на (1) , получаем коэффициенты: a3  1 , a2  9 , a1  19 , a0  3 . Составляем матрицу: 9 3 0 2  168  0 , 1 19 0 . Затем вычисляем ее угловые миноры: 1  9  0 , 0 9 3 3  504  0 . Согласно второму критерию система устойчива.Проверим результат при a  1 . Характеристическое уравнение имеет вид3   32    1  0 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций