tus17 (1014510)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 17.НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ СИСТЕМАМИ С ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙСВЯЗЬЮПостановка задачиПусть поведение модели объекта управления описывается обыкновеннымдифференциальным уравнениемx (t )  f (t , x (t ), u(t )) ,(1)где x – вектор состояния системы, x  R n ; u – вектор управления, u  U  R q ;U – некоторое заданное множество допустимых значений управления,t T  [t 0 , t1 ] – промежуток времени функционирования системы, моменты началапроцесса t 0 и окончания процесса t1 заданы, f (t , x , u ):T  R n  U  R n ; R n – n мерное евклидово пространство.Начальное условие x (t 0 )  x 0  R n , где начальное состояние x 0 заранее незадано и может быть произвольным.Определим множество допустимых процессов D(t 0 , x 0 ) как множество парd  (x (), u()) , которые включают траекторию x () и управление u() (гдеt T : x (t )  R n , u (t ) U , функции x () непрерывны и кусочно-дифференцируемы,а u() кусочно-непрерывны), удовлетворяющие уравнению (1) с начальным условиемx (t 0 )  x 0 почти всюду на T .На множестве D(t 0 , x 0 ) определим функционал качества управленияI (d ) t1f 0 (t , x (t ), u(t )) dt  F ( x (t1 )) ,(2)t0где f 0 (t , x , u ) , F (x ) – заданные непрерывно дифференцируемые функции.Предполагается, что при управлении используется информация о времени t ивекторе состояния x .Множество U n допустимых управлений с полной обратной связью(позиционных управлений) образуют функции u (t , x ):T  R n  U , которые длясостоянийпорождаютсоответствующиепарылюбыхначальныхгдепрограммныеуправленияu()  U 0 ,аd  ( x (), u ())  D(t 0 , x 0 ) ,t T u (t )  u (t , x (t )) .Применяемое в каждый момент времени t T управление имеет видуправления с полной обратной связью по вектору состояния (рис.

1).Требуется найти такую функцию u  (t , x ) U n , чтоI (d  ) mind D (t 0 , x 0 )I (d )x 0  R n ,(3)где d   ( x  (), u  ()  u  (, x ())) .1x (t 0 )  x 0  R ndx f (t , x (t ), u(t ))dtx (t )u(t , x )u(t )  u (t , x (t ))Рис. 1Функция u  (t , x ) U nназывается оптимальным управлением с полнойобратной связью. Для любого начального состояния x 0 из множества R n онапорождает соответствующую оптимальную пару, т.е. оптимальную траекторию x  () иоптимальное программное управление u  () .Уравнение БеллманаДостаточным условием минимума функционала (2) является уравнениеБеллмана для непрерывных детерминированных систем.Обозначим: Q  (t 0 , t1 )  R n ; C 1,1 (Q ) - множество функций (t , x ) : Q  R ,непрерывно дифференцируемых по t и x .Утверждение (достаточные усл о в ия оптимальности в задаче (3)).Если существует функция (t , x ) C 1,1 (Q ) , удовлетворяющая уравнению Беллманас граничным условием  (t , x ) n  (t , x )max f i (t , x, u)  f 0 (t , x, u)   0u U i 1  x i t(t1 , x )   F ( x )(t , x ) Q ,(4)x  R n ,и управление u  (t , x )  U n , удовлетворяющее условию n  (t , x )u (t , x )  arg max  f i (t , x, u )  f 0 (t , x, u)  ,uU  i 1  x iто u  (t , x ) является оптимальным управлением с полной обратной связью.При этом минимальное значение функционала (2)mind D (t 0 , x 0 )I (d )   (t 0 , x 0 ) x 0  R n .(5)2АЛГОРИТМ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯС ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ1.

Записать уравнение Беллмана (4) с граничным условием.2. Найти структуру оптимального управления с полной обратной связью врезультате поиска максимума в (4) по управлению. Искомое управление u  (t , x )обычно выражается через производные функции (t , x ) .3. Подставить полученное выражение для управления в уравнение (4). Проблемасводится к решению нелинейного дифференциального уравнения с частнымипроизводными первого порядка.4. Найти решение полученного уравнения и явный вид искомого управления.З а м е ч а н и е.1.

Рассмотрим общий случай. Пусть поведение модели объекта управленияописывается обыкновенным дифференциальным уравнениемx (t )  f (t , x (t ), u(t )) ,(1.1)где x – вектор состояния системы, x  ( x1 ,  , x n )T  R n ; u – вектор управления,u  (u1 ,..., uq )T  U  R q , U – некоторое заданное множество допустимыхзначений управления; t – время, t  T  [t 0 , t1 ] – промежуток временифункционирования системы; f (t , x, u ) – непрерывная вместе со своими частнымипроизводнымивектор-функция,f (t, x, u)  ( f1 (t, x, u),..., f n (t, x, u))T ,f (t , x, u ) : T  R n  U  R n ; R n – n-мерное евклидово пространство.Момент начала процесса t 0 задан, а момент окончания процесса t1определяется первым моментом достижения точкой (t , x (t )) некоторой заданнойповерхности   R n 1 :  { (t1 , x ) | i (t1 , x )  0, i  1,..., l ; t1  (t 0 ,  ), x  R n } ,(1.2)т.е.

в момент t1 должны выполняться условияi (t1 , x (t1 ))  0 ,i = 1,  , l ,где 0  l  n  1 , при l  n  1 множество  представлено точкой в пространствеR n 1 , функции i (t1 , x ) – непрерывно дифференцируемы; система векторов  i (t1 , x )  (t , x )  i (t1 , x )  , i  1,..., l , линейно независима (t1 , x )  R n 1 .,,, i 1 x xn t11Определим множество допустимых процессов D (t 0 , x 0 ) как множество троекd  (t1 , x (), u()) , которые включают момент окончания процесса t1 , траекторию x ()и управление u() (где t  T : x (t )  R n , u(t )  U , функции x () непрерывны икусочно-дифференцируемы, а u()  U 0 кусочно-непрерывны), удовлетворяющиеуравнению (1.1) с начальным условием x (t 0 )  x 0 почти всюду на множестве T иусловию (1.2).3На множестве D (t 0 , x 0 ) определим функционал качества управленияI (d ) t1f 0 (t , x (t ), u(t )) dt  F (t1 , x (t1 )) ,(1.3)t0где f 0 (t , x, u ) , F (t1 , x ) – заданные непрерывно дифференцируемые функции.Обозначим Q  R n 1 – множество точек (t , x ) , из которых можно достигнутьтерминального множества  по некоторой траектории, соответствующейдопустимому управлению; Q (t 0 ) - сечение множества Q при фиксированном t  t 0 .Начальное состояние x 0 заранее не задано и может быть произвольным в множествеQ (t 0 ) .Множество U n допустимых управлений с полной обратной связью(позиционных управлений) образуют функции u (t , x ) : T  R n  U , которые длялюбых начальных состояний x 0  Q (t 0 ) порождают соответствующие тройкиd  (t1 , x (), u())  D (t 0 , x 0 ) ,гдепрограммныеуправленияu()  U 0 ,аt  T u(t )  u (t , x (t )) .Требуется найти такую функцию u  (t , x )  U n , чтоI (d  ) mind  D (t0 , x0 )I (d )x 0  Q (t 0 ) ,(1.4)где d   (t1 , x  (), u  ()  u  (, x ())) .Функция u  (t , x )  U n называется оптимальным управлением с полнойобратной связью.

Для любого начального состояния x 0 из множества Q (t 0 ) онапорождает соответствующую оптимальную тройку, т.е. оптимальную траекториюx  () , оптимальное программное управление u  () , оптимальный момент окончанияпроцесса t1 .Введем в рассмотрение множество  функций (t , x ) : Q  R , непрерывнодифференцируемых всюду, за исключением конечного числа сечений Q прификсированных t .Утверждение (достаточные условия оптимальности в задаче (4)).Если существует функция (t , x )   , удовлетворяющая уравнению Беллмана сграничными условиями  (t , x ) n  (t , x )max f i (t , x, u)  f 0 (t , x, u )  0u U i 1  x i t(t1 , x )   F (t1 , x )(t , x )  Q ,(1.5)(t1 , x )  ,и управление u  (t , x )  U n , удовлетворяющее условию n  (t , x )u  (t , x )  arg max  f i (t , x , u)  f 0 (t , x , u ) , i 1  x iu U(1.6)4то u  (t , x ) является оптимальным управлением с полной обратной связью в задаче(1.4).

При этом минимальное значение функционалаmind  D (t0 , x0 )I (d )   (t 0 , x 0 )(t 0 , x 0 )  Q .положитьто,используя2.Если Б (t , x )   (t , x ) ,равенство:max f ( x )   min [ f ( x )] , можно переписать уравнение Беллмана (4) и граничноеусловие в эквивалентной форме:   Б (t , x ) n   Б (t , x )min f i (t , x, u )  f 0 (t , x, u )u U t xii 1a  0 ,  (t1 , x )  F (x ) .(1.7)При этом минимальное значение функционалаmind D (t 0 , x 0 )I (d )   a (t 0 , x 0 )x 0  R n .(1.8)Пример 1. Даны модель объекта управленияx (t )  u(t ) ,где x  R , u  R , t  [0; 1] , и функционал1I (d ) 21u 2 (t ) dt 01 2x (1)  min .2Требуется найти оптимальное управление u  (t , x ) . Сравнивая с общей постановкой задачи,11f 0 (t , x, u )  u 2 , F ( x )  x 2 .

Решается задача Больца.22имеем:f (t , x, u )  u ,1. Выписываем уравнение Беллмана и граничное условие:  (t , x )  (t , x )1 max u  u2   0,u2 x t(1, x )  1 2x .22. Находим структуру оптимального управления из условия максимумавыражения в фигурных скобках. Применяя необходимое условие безусловного (t , x )     (t , x ) u  0 , получаем u  (t , x ) .экстремума:xux3. ПодставляемБеллмана:полученноевыражениедляуправления2 (t , x ) 1   (t , x )    0,t2  x (1, x )  вуравнение1 2x .251K 2 (t )x 2 , где K 2 (t ) –2неизвестная функция. Подставляя в п.3 и приравнивая коэффициенты при x 2 нулю,dK 21  dt , получаем K 2 (t )  K 22 (t ) , K 2 (1)  1 . Отсюда t C ,K2K 224.

Будем искать решение уравнения в виде (t , x ) 111, K 2 (1)  1, C  2 , K 2 (t ) , а искомое оптимальноеt Ct 21 Cx.управление с полной обратной связью u  (t , x )  K 2 (t ) x t 2K 2 (t ) Покажем, что оптимальное управление u  (t , x ) с обратной связью порождаетоптимальные пары ( x  (), u  ()) для любого начального условия. Действительно, пустьуправление u  (t , x ) используется в схеме, изображенной на рис.1. Тогда запишемxуравнение, описывающее поведение замкнутой системы: x , x (0)  x 0 . Отсюдаt 2x (2  t )x12tx0, u  (t )  u  (t , x  (t ))    0 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций