tus16 (1014509)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 16.СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМНахождение оптимального программного управления. Задачи с ограничениямина управление.Пример 5. Даны модель объекта управленияx1 (t )  x 2 (t ) ,x 2 (t )   x1 (t )  u(t ) ,| u |  1,с начальными условиями x1 (0)  0 , x 2 (0)  0 и функционалI  x 2 (2)  min .Требуетсянайтиоптимальноепрограммноеуправлениеu  ()исоответствующую ему траекторию x  () . Здесьx  ( x1 , x 2 )T  R 2 , t  [0; 2] , на управление наложено ограничение| u |  1,u  U  [1; 1] ,f 0 (t , x, u )  0 ,F (t1 , x )  x 2 ,f1 (t , x, u )  x 2 ,т.е.f 2 (t , x, u )   x1  u , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  2  0 .

Решается задача Майера.1. Составляем гамильтониан H (t , , x, u )  1  x 2   2  [  x1  u ] .2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как имеютсяограничения на управление, требуется найти условный максимум гамильтониана поуправлению. В данной задаче гамильтониан линеен по u на заданном отрезкеизменения управления [-1; 1], поэтому оптимальное управление имеет вид 1,  2 (t )  0 ,u  (t )  arg max H (t , (t ), x (t ), u ) = 1  sign  2 (t )  |u |  1 1,  2 (t )  0 .т.е.

является релейным. Величина управления определяется знаком функции  2 (t ) .3. Выписываем канонические уравнения (6) принципа максимума:x1 (t )  x 2 (t ) ,x1 (0)  0 ,x 2 (t )   x1 (t )  u  (t )   x1 (t )  sign  2 (t ) , 1 (t )   2 (t )  x 2 (0)  0 ,H (t , (t ), x (t ), u  (t ))   2 (t ) , x1H (t , (t ), x (t ), u  (t ))   1 (t ) . x24. Проверяем условия трансверсальности (5):F  H (t1 )  t1 (t)x j 1jj 12t1  2  0,1где F F (t1 , x )t1  t1F (t1 , x )x j  x 2 .

Группируя члены, получаемxjj 12 H (2) t1  1 (2) x1  [ 1   2 (2) ] x 2  0 .Момент окончания t1 задан, поэтому t1  0 . Так как правый конец свободен, товариации x1 , x 2 считаются произвольными. Чтобы равенство выполнялось длялюбых вариаций, необходимо, чтобы 1 (2)  0 ,  2 (2)  1 .5. Решаем двухточечную краевую задачу с учетом пп. 2 и 4:x1 (t )  x 2 (t ) , x1 (0)  0 ;x 2 (t )   x1 (t )  sign  2 (t ) , x 2 (0)  0 ; 1 (t )   2 (t ) , 1 (2)  0 ; 2 (t )   1 (t ) ,  2 (2)  1 .Имеем: 1 (t )   sin t ,  2 (t )   cos t , u  (t )  sign ( cos t )   sign (cos t ) . Найденноеоптимальное управление u  (t ) на отрезке [0, 2] имеет две точки переключения и,следовательно, три промежутка знакопостоянства:, u  (t )  1 , x1 (t )  cos t  1 , x 2 (t )   sin t ;232) при, u  (t )  1 , x1 (t )  cos t  2 sin t  1 , x 2 (t )   sin t  2 cos t ;t 2233) при t  2 , u  (t )  1 , x1 (t )  cos t  4 sin t  1 ,2x 2 (t )   sin t  4 cos t .1) при 0  t Минимальное значение функционала равно x 2 (2)   4 .

Пример 6. Даны модель объекта управленияx (t )  u(t ) , x (0)  1 ,где x  R ; u  R ; t  [0; t1 ] , и функционал1I 2t1u 2 (t ) dt  4 x (t1 )  min .0Задано конечное условие: x (t1 )  t1  1 .Требуется найти оптимальную тройку (t1 , x  (), u  ()) , на которой достигаетсяминимум функционала.1 Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: f 0 (t , x, u )  u 2 ,2F (t1 , x )  4 x , f (t , x, u )  u , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  x (t1 )  1  0 .

Решается задача Больца.1. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )    u 1 2u .22.Находим максимум гамильтониана по управлению:2H (t, (t ), x(t ), u)  (t )  u  0 .u2 u2Отсюдаu  (t )  (t )иH (t, (t ), x(t ), u)  1  0 .3. Выписываем уравнения системы (6) с учетом результата п. 2:x (t )  u  (t )  (t ) , (t )  x (0)  1 ,H (t , (t ), x (t ), u  (t ))  0 .x4. Проверяемусловиятрансверсальности(5)сучетомусловия1 (t1 , x (t1 ))  t1  x (t1 )  1  0 . Имеем F  4 x , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  x  0 и,следовательно, 4 x  H (t1 ) t1  (t1 ) x  0 , t1  x (t1 )  1  0 , t1  x  0 , где11H (t1 )  H (t1 , (t1 ), x (t1 ), u  (t1 ))  (t1 )  (t1 )   2 (t1 )   2 (t1 ) .

Для любых x2211имеем 4   2 (t1 ) + (t1 ) x  0 , а отсюда 4   2 (t1 ) + (t1 )  0 .225. Решаем краевую задачу:x (t )  (t ) , (t )  0 ,4x (0)  1 ,1 2 (t1 ) + (t1 )  0 , t1  x (t1 )  1  0 .2Получаем: u  (t )  (t )  C  const , x (t )  C t  1 . Для определения постояннойпри t  t1 решаем систему уравнений:14  C 2 C  0,2Ct1  C t1  2  0 .22или C  4 , t1   . Второе решение не подходит, так как t133должно быть положительно. Таким образом, искомая тройка имеет вид:2оптимальный момент окончания t1  , оптимальное управление u  (t )   2 ,3оптимальная траектория x (t )  2 t  1 .

Отсюда C  2 , t1 Пример 7. Даны модель объекта управленияx (t )  u(t ), x (0)  3 2,где x  R ; u  R ; t  [0; t1 ] , и функционал1I 2t10u 2 (t ) dt 11(t1  1) 2  x 2 (t1 )  min .223Требуется найти оптимальную тройку t1 , x  (), u  () , на которой достигаетсяминимум функционала.1 Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: f 0 (t , x, u )  u 2 ,211F (t1 , x )  (t1  1) 2  x 2 , f (t , x, u )  u . Решается задача Больца.2211. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )    u  u 2 .22. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения науправление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловногоH (t , (t ), x (t ), u )  (t )  u  0 .

Отсюда u  (t )  (t ) .Найденноеэкстремумаuуправление обеспечивает максимум функции H (t , (t ), x (t ), u ) по управлению, таккакудовлетворяютсядостаточныеусловияэкстремума2H (t , (t ), x (t ), u )  1  0 . u23. Выписываем уравнения системы (6):x (t )  u  (t )  (t ) , x (0)  3 2, (t )  H (t , (t ), x (t ), u(t ))  0 .x4.

Проверяем условия трансверсальности (5). Имеем F  (t1  1)  t1  x  x и,следовательно, (t1  1)t1  x (t1 )x  H (t1 )t1  (t1 )x  0 или (t1 )  x (t1 )   x   t1  1  H (t1 )   t1  0 .Так как x (t1 ) и t1 не заданы, то x и t1 произвольны. Поэтому из условиятрансверсальности следует (t1 )   x (t1 ), t1  1  H (t1 )  0.5. Решаем краевую задачу:x (t )  (t ), (t )  0,x (0) = 3 2 ,(t1 )   x (t1 ),t1  1  H (t1 )  0.Отсюда (t )  const  C1 , x (t )  C1 t  C 2 , x (0)  C 2  3 2 .Тогда(t1 )  C1   x (t1 )   C1 t1  3 2 ,t1  1   2 (t1 ) 1 2 (t1 )  0 или2Из первого уравнения C1 1t1  1  C12  0.293 2.

Поэтому t1  1  0 или1  t1(1  t1 ) 2t13  t12  t1  10  0,(t1  2)(t1 2  3t1  5)  0.4Полученное уравнение имеет один действительный корень t1  2. ОтсюдаC1   2 и в результате получаем искомую тройкуt1  2,x  (t )   2 t  3 2,u  (t )   2 . Пример 8. Найти оптимальное по быстродействию управление,соответствующие ему траекторию и время, затрачиваемое на переход из состоянияx1 (0)  0 , x 2 (0)   4 в начало координат для модели объекта управления,описываемой системой дифференциальных уравненийx1 (t ) = x 2 (t ) ,x 2 (t ) = u(t ) ,где x  ( x1 , x 2 )T , | u |  1 . Сформулируем проблему в форме задачи минимизации функционалаTI  dt  min ,0где момент окончания процесса управления T не задан и подлежит определению. Вданном примере f1 (t , x, u)  x 2 , f 2 (t , x, u )  u и f 0 (t , x, u )  1 , F (t1 , x )  0 , t1  T ,1 (T , x (T ))  x1 (T )  0 , 2 (T , x (T ))  x 2 (T )  0 .

Решается задача Лагранжа.Требуется найти оптимальное программное управление u  () , соответствующуюему траекторию x  () и время T.1. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )  1  x 2   2  u  1 .2. Находим условный максимум гамильтониана по управлению (аналогично п.2.примера 5):u  (t )  arg max H (t , (t ), x (t ), u )  1  sign  2 (t ) .|u |  13. Выписываем канонические уравнения (6) принципа максимума:x1 (t ) = x 2 (t ) ,x1 (0)  0 ,x1 (T )  0 ,x 2 (t )  u * (t )  sign  2 (t ) , x 2 (0)   4 , x 2 (T )  0 , 1 (t )   2 (t )   H (t , (t ), x (t ), u  (t )) 0, x1 H (t , (t ), x (t ), u  (t ))  1 (t ) . x24.

Проверяем условия трансверсальности (5):5[F  H (t1 )  t1 2  j (t1 )  x j ]j 1t1 T= 0,где F  0 . Так как момент окончания T не задан, а x1 (T ) и x 2 (T ) заданы, товариация t1 произвольна, а x1  0 , x 2  0 . Поэтому из условия трансверсальностиследует H (T )  H (T , (T ), x (T ), u(T ))  0 .5. Решаем двухточечную краевую задачу с учетом пп.

2 и 4:x1 (t )  x 2 (t ) ,x1 (0)  0 ,x1 (T )  0 ,x 2 (t )  sign  2 (t ) , x 2 (0)   4 , x 2 (T )  0 , 1 (t )  0 , 2 (t )   1 (t ) ,H (T , (T ), x (T ), u(T ))  0 .Решая два уравнения для вспомогательных переменных, получаем1 (t )  C1  const , 2 (t )   C1 t  C 2 ,u  (t )  1  sign ( C1 t  C 2 ) .Так как линейная функция меняет знак не более одного раза, то оптимальноеуправление является кусочно-постоянной функцией, имеющей не более двухинтервалов знакопостоянства.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций