tus11 (1014504)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 11.АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙОписание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы в дискретных динамических системах описываются последовательностями:  g k  , k  k 0 , k 0  1,  ,  x k  , k  k 0 , k 0  1,  , где k 0 –начальный момент дискретного времени k .2. Описание систем. Дискретная система преобразует входной сигнал в выходнойпри заданных начальных условиях (рис. 1). Математические модели таких систем описываются разностными уравнениями.Начальные условияgkВходнойсигналxДискретнаядинамическаясистемаkВыходнойсигналРис. 1В общем случае одномерная линейная дискретная нестационарная системаописывается линейным разностным уравнениемan k  x k  n   an 1 k  x k  n  1    a0 k  x k   bm k  g k  m   bm 1 k  g k  m  1    b0 k  g k  ,k  k 0 , k 0  1,  ,(1)с начальными условиямиx k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 ,(2)где g (k ) – входной сигнал; x (k ) – выходной сигнал; k – дискретное время;an k  , , a0 k  ; bm k  ,  , b0 k  – коэффициенты левой и правой частей, зависящие отвремени k ; n и m – заданные числа, n  m .Одномерная линейная дискретная стационарная система описывается разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  ,(3)k  0, 1, 2 ,  ,1с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1 ,(4)где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – постоянные коэффициенты.Связь вход-выходДля линейных дискретных систем, как и для непрерывных, справедлив принципсуперпозиции.

Выходной сигнал системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений:x k   x с k   x вын k  .Свободное движение x с k  происходит при отсутствии внешнего воздействияg k   0  вследствие ненулевых начальных условий. Оно определяется решением однородного уравнения, соответствующего исходному уравнению (1):an k  x k  n     a0 k  x k   0 ,с начальными условиямиx k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 .В случае, когда начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует( x c (k )  0 ).Вынужденное движение x вын k  – это реакция системы на внешнее воздействиепри нулевых начальных условиях.

Оно определяется решением неоднородного уравнения(1) при нулевых начальных условиях.Процедура нахождения свободного движения для стационарных систем (3),(4)сводится к решению соответствующего однородного уравнения ( g k   0 )an x k  n     a1 x k  1  a0 x k   0с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1и содержит три этапа.Первый этап.

Составить характеристическое уравнениеan n  an 1 n 1    a0  0и найти его корни: 1 ,  ,  n .Второй этап. В зависимости от типа корней выписать общее решение однородного уравнения (четыре случая).2а) Если корни действительные разные, общее решение записывается в формеx k   C11k  C 2  2 k    C n  n k ,(5)где C1 ,  , C n – произвольные постоянные.б) Паре   i  комплексных сопряженных корней соответствует компонентаx k   r k  C1 cos k  C 2 sin k ,(6)где r – модуль числа     i  , а  – аргумент, определяемые по формулам arctg  ,   0,   0 ,   arctg  ,   0,   0 ,,   0,   0 .2r   2  2 ,в) Действительному корню  j кратности m соответствует следующая составляющая общего решения:x k   C1  C 2 k    C m k m 1   j k ,(7)г) паре комплексных сопряженных корней кратности m соответствует:x k   r k C1 C 2 k    C m k m 1 cos k  B1  B 2 k    Bm k m 1 sin k ,(8)где C1 ,  ,C m ; B1 ,  , Bm – произвольные постоянные.Третий этап.

Найти произвольные постоянные с помощью начальных условий.Методика нахождения вынужденного движения содержит четыре этапа.Первый этап. Найти общее решение однородного уравнения.Второй этап. Найти частное решение неоднородного уравнения. В общем случаеприменяется метод вариации произвольных постоянных, а в частном случае, когда система описывается уравнениемan x k  n     a1 x k  1  a0 x k   g (k ) ,g k   r k Rq k  cos k  Pl k  sin k ,где Rq k  , Pl k  – многочлены степени q и l соответственно, r и  – заданные действительные числа, – метод подбора.

Тогда частное решение ищется в формеx н k   r k Q p k  cos k  T p k  sin k  k s ,в которой p  max q ; l  ; Q p k  ,T p k  – многочлены переменной k степени pопределенными коэффициентами; число s находится следующим образом:(9)с не-3 0 , если число r cos   i sin  не совпадаетsни с одним из корней характеристического уравнения , m , если число r cos   i sin  совпадает с корнем кратности m .Коэффициенты многочленов Q p k  ,T p k  находятся из тождества, которое получаетсяпри подстановке (9) в (1).Третий этап. Найти общее решение неоднородного уравнения как сумму общегорешения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.Четвертый этап. Определить произвольные постоянные из нулевых начальныхусловий.Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал  g k  ,k  k 0 , k 0  1, ;б) дискретная динамическая система, описываемая разностным уравнениемan k  x k  n   an 1 k  x k  n  1    a0 k  x k   bm k  g k  m   bm 1 k  g k  m  1    b0 k  g k  ,k  k 0 , k 0  1,  ,в) начальные условия x k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 .Требуется найти выходной сигнал x k  ,k  k 0 , k 0  1, .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти свободное движение x с k  .2. Найти вынужденное движение x вын k  .3. Определить выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений:x (k )  x c (k )  x вын k  .Пример 1. Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнением4 x k  2   4 x k  1  3 x k   g (k )с начальными условиями x (0)  8, x (1)   6 . Применим описанную методику нахождения свободного движения:4а) составим характеристическое уравнение 4 2  4   3  0 и найдем его корни:1,2  4  16  48  4  8;8831б) так как корни 1   ,  2  действительные разные, то согласно (5.5) общее22kk1 3решение имеет вид: x k   C1     C 2   ;2 2в) произвольные постоянные находятся из начальных условий:x (0)  C1  C 2  8 ,31x (1)   C1  C 2   6 .22kk1 3Отсюда C1  5,C 2  3 и свободное движение x c k   5      3    .

2 2Пример 2. Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнениемx k  2  2 x k  1  4 x k   g (k )с начальными условиями x (0)  3, x (1)  0 . Применим методику нахождения свободного движения:а) составим характеристическое уравнение 2  2   4  0 и найдем его корни:1,2  1  3 i ;б) так как корни 1 ,  2 – комплексные сопряженные, то согласно (6) общее решение имеет вид22 x k   2 k C1 cosk  C 2 sink,33 поскольку   1 ;   3 , r   2   2  2  arctg2;   arctg  3       33в) произвольные постоянные находятся из начальных условий:x (0)  C1  3 ,5 13x (1)  2  C1 C2   0 .2 2ОтсюдаC1  3, C 2  3иискомоесвободноедвижение22 x c k   2 k   3 cosk  3 sink.

33 Пример 3. Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнениемx k  3  3 x k  2   3 x k  1  x k   g (k )с начальными условиями x (0)  1, x (1)  4 , x (2)  9 . Применим методику нахождения свободного движения:а) составим характеристическое уравнение 3  3 2  3   1  0 и найдем его корни:   13  0 ,   1 ;б) так как корень 1  1 действительный кратности m  3 , то согласно (7) общеерешение имеет видx k   C1  C 2 k  C 3 k 2  1k  C1  C 2 k  C 3 k 2 ;в) произвольные постоянные находятся из начальных условий:x (0)  C1  1 ,x (1)  C1  C 2  C 3  4 ,x (2)  C1  2C 2  4C 3  9 .Отсюда C1  1,C 2  2,C 3  1 и свободное движение x c k   1  2k  k 2 .

Пример 4. Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнением4 x k  5  4 x k  4   4 x k  3  4 x k  2  x k  1  x k   g (k )с начальными условиями x (0)  5, x (1)  1 , x (2)   4, x (3)  1  2, x (4)  5 . Составить структурную схему. Применим методику нахождения свободного движения:а) составим характеристическое уравнение 4 5  4 4  4 3  4 2    1  0 и длянахождения его корней разложим на множители:   1  2 2  162 0;2i – пара комплексных2сопряженных корней кратности m  2 , то согласно (5.5) и (5.8) общее решение имеет видб) так как корень 1  1 – действительный, а  2,3  k 2  C1  C 2 k  cos  k  B1  B 2 k  sin  k  ,x k   C 3  1   2  22 kпоскольку   0 ;  22;r ,  ;222в) произвольные постоянные находятся из начальных условий:x (0)  C 3  C1  5 ,x (1)  C 3 2 (B1  B 2 )  1 ,2x (2)  C 3 1(C1  2C 2 )   4 ,2x (3)  C 3 2(B1  3B 2 )  1  2 ,4x (4)  C 3 1(C1  4C 2 )  5 .4Отсюда C1  4, C 2  3, C 3  1, B1  2, B 2  2 и искомое свободное движениеk 2  4  3 k  cos  k  2  2 k  sin  k  .x c k   1   2  22 1kПример 5.

Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнениемx k  2  5 x k  1  6 x k   g k   2 g (k  1)с начальными условиями x 0   1, x 1  2 . Применим методику нахождения свободного движения:а) составим характеристическое уравнение 2  5   6  0 и найдем его корни1  2,  2  3 ;б) поскольку корни действительные разные, то согласно (5) общее решение однородного уравнения x k  2  5 x k  1  6  0 имеет вид:x k   C1  2 k  C 2  3k ;в) найдем произвольные постоянные C1 и C 2 из начальных условий:7x 0   C1  C 2  1 ,x 1  2 C1  3 C 2  2 .Отсюда C 2  0 ,C1  1 и свободное движение x c k   2 k .Пример 6. Найти реакцию дискретной системы, описываемой уравнениемx k  2  5 x k  1  6 x k   g k на входной сигнал g k   1 при начальных условиях x 0   1, x 1  2 . 1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций