tus5 (1014498)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 5.ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ1. Описание сигналов. Для описания сигналов используются функции времени.Выделяют два специальных сигнала: импульсное воздействие в виде дельта-функции иединичную ступенчатую функцию. Им соответствуют две системные характеристики:импульсная переходная и единичная переходная функции.2. Описание систем. Рассматривается поведение линейной одномерной нестационарной системы управления, описываемой дифференциальным уравнениемan (t ) x (n) (t )  ...  a0 (t ) x (t )  bm (t ) g (m) (t )  ...  b0 (t ) g (t )с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1),где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; n и m – порядки старших производныхвыходного и входного сигналов соответственно; an (t ),..., a0 (t ) , bm (t ),..., b0 (t ) – коэффициенты, зависящие от времени t ; t0 – начальный момент времени (как правило, моментподачи входного сигнала).Импульсной переходной (весовой) функцией линейной системы называется реакция k (t , ) системы на воздействие в виде дельта-функции g (t )  (t  ) при нулевыхначальных условиях.Единичной переходной функцией линейной системы называется реакция h(t , )системы на воздействие в виде единичной ступенчатой функции g (t )  1 (t  ) при нулевых начальных условиях.З а м е ч а н и я.1.

Поскольку следствие – появление ненулевого выходного сигнала – не можетопережать по времени причину – приложение входного воздействия – переходные функции удовлетворяют условию физической реализуемости:k (t , )  0 при t   ;h(t , )  0 при t   .2. Для линейных стационарных систем, описываемых уравнениемan x (n ) (t )  ...

 a0 x (t )  bm g (m) (t )  ...  b0 g (t ) ,где an ,..., a0 , bm ,..., b0 – постоянные коэффициенты, мгновенное значение k (t , ) импульсной переходной функции зависит только от промежутка времени   t   , прошедшего после приложения импульсного воздействия:k (t , )  k (t  ) илиk (t , )  k () ,   t   .Единичная переходная функция h(t , ) стационарной системы также зависит только от разности своих аргументов:h(t , )  h(t  ) илиh(t , )  h() ,   t   .1Связи вход-выходПусть импульсная переходная функция k t ,  системы известна. Тогдаx t  t k t,  g d .(*)t0Формула (*) – это связь вход-выход, которую устанавливает импульсная переходная функция.

Реакция x t  представляет собой вынужденное движение системы, т.е. решение исходного уравнения с нулевыми начальными условиями:x (t 0 )  0, x (t 0 )  0,..., x (n 1) (t 0 )  0 .Рассмотрим случай стационарной системы, которая описывается уравнением с постоянными коэффициентами. Формула (*) связи вход-выход принимает видx t  tk t    g   d 0t k  g t  d .(**)0Нахождение переходных функцийНАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙПО УКОРОЧЕННОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮРассмотрим случай, когда система управления описывается укороченным дифференциальным уравнением:an (t ) x (n ) (t )  ...

 a0 (t ) x (t )  g (t ) .Импульсную переходную функцию k (t , ) системы (2.8) можно искать несколькими способами.Первый способ. Пусть 1 t  , 2 t  ,..., n t  – фундаментальная система решенийоднородного уравнения. 1n 1k t ,  an   1 t 1 1  n t  n  n  n  2n  2   n 1где  – определитель Вронского:2t  .1  1    n n  .1n 1    nn 1 Заметим, что при t   согласно условию физической реализуемости k t ,   0 .Второй способ.Начальными значениями импульсной переходной функции и ее производных называются правосторонние пределы этих функций при t    0 .Импульсная переходная функция k t ,   является решением однородного дифференциального уравненияan (t ) x (n ) (t )  ...

 a0 (t ) x (t )  0при ненулевых начальных значениях:jtjk (t , )t 0 0, j  0,1,..., n  2 , 1 a () , j  n  1 . nПример 1. Определить импульсную переходную функцию системы, описываемойдифференциальным уравнениемt x (t )  (1  2t ) x (t )  g (t ) . Здесь n  1, a1 (t )  t , a0 (t )  1  2t . Найдем общее решение однородного уравdk1   2   dt , получаем решенения t k(t )  (1  2t ) k (t )  0 .

Разделяя переменныеktcние k (t , c )  e  2t . Начальное значение (2.16) для рассматриваемой системы имеет видtk (t , )t 011 .a1 () c  2 1e . Отсюда c()  e 2  . Подставляя выражение для c() в общеерешение, находим искомую функцию:Следовательно,k (t , ) 1  2(t  )et   .tТретий способ..1. Сначала найти единичную переходную функцию ht ,   системы как решениенеоднородного уравнения3a n (t )nh(t , )  ...  a 0 (t ) h(t , )  1t nпри нулевых начальных условияхh(t , )t  0, h(t , )t2. Используя связь k t ,   t  0,..., n 1h(t , ) t n 1t  0,ht ,   , найти импульсную переходную функцию.Пример 2.

Найти переходные функции h(t , ) и k (t , ) системы, описываемойдифференциальным уравнением(t 2  1) x(t )  2t x (t )  2 x (t )  g (t ) . 1. Единичная переходная функция h(t , ) является решением уравнения(t 2  1) h(t )  2t h(t )  2 h(t )  1при нулевых начальных условияхh(t , )t  0, h(t , )tt  0.Соответствующее однородное уравнение (t 2  1) h(t )  2t h(t )  2 h(t )  0 имеетдва линейно независимых частных решения 1 (t )  t , 2 (t )  t 2  1 . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет видt   c1 t  c 2 (t 2  1) ,где c1 , c2 – произвольные постоянные.1Так как функция h1 (t )  является частным решением неоднородного уравнения22(t  1) h(t )  2t h(t )  2 h(t )  1 , то общее решение неоднородного уравнения имеет видh(t , c1 , c 2 )  c1 t  c 2 (t 2  1) 1.2Из начальных условийc1   c 2 ( 2  1) 1 0,2c1  2c 2   0 ,находим c1 () , c 2 () 1.

Подставляя эти выражения в общее решение,2  12( 2  1)определяем единичную переходную функцию:4h(t , )  t2  1t2 12( 2  1)12при t   .2. Находим импульсную переходную функцию системы:k (t , )  (t  ) (1   t )при t   .h(t , ) ( 2  1) 2НАХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ОБЩЕГО ВИДА1. Определяется импульсная переходная функция k0 (t , ) системы, описываемойукороченным дифференциальным уравнением. Это можно сделать одним из трех рассмотренных выше способов.2. Находится искомая импульсная переходная функция по формулеk t ,    1mmm k0 t,  bm    ...

 k0 t,  b0 при t   .Пример 3. Найти импульсную переходную функцию системы, описываемой дифференциальным уравнением(t 2  1) x(t )  2t x (t )  2 x (t )  (t 2  1) g (t )  g (t ) . 1. Для укороченного дифференциального уравнения (см. пример 2) импульсная переходная функция k0 (t , ) имеет видk 0 (t , ) (t  ) (1  t )( 2  1) 2при t   .2. Получаем искомую функцию:k t ,    k0 t,  b1    k0 t,  b0      (t  2) (1 2t ) ( 2  1)  (t  2) (1 2 t )    (  1)(  1)(t  ) (1  t ) (1  2)( 2  1) 21  2t   t 22  1при t   .НАХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫРассмотрим особенности нахождения импульсной переходной функции стационарной системы управления, описываемой уравнением5an x (n ) (t )  ...

 a0 x (t )  bm g (m) (t )  ...  b0 g (t ) .Переходные функции k t ,   и ht ,   стационарной системы зависят только от разности аргументов   t   , т.е. k   k t    и h  h t    .Связь между переходными функциями принимает видk  dh .dПервый способ.1. По корням 1 ,...,  n характеристического уравнения an n  ...  a0  0 определить фундаментальную систему решений 1 (t ),...,  n (t ) . При этом каждому действительному корню  кратности p соответствует p линейно независимых решенийe t , t e t ,..., t p 1e t , а каждой паре     i  комплексных сопряженных корней кратно-стиpотвечают2pлинейно независимых решенийe t sin t ,..., t p 1e t sin  t ;e t cos t ,..., t p 1e t cos  t .2.

Определив n линейно независимых решений 1 (t ) ,..., n (t ) однородного урав-нения, получить импульсную переходную функцию k0  системы, описываемой укороченным дифференциальным уравнениемk 0 () 1an 1 (0)1 (0) n (0)n (0)1(n  2) (0)(nn  2) (0) n ()1 (), 1 (0)1 (0)n (0)n (0).1(n 1) (0)  (nn 1) (0)3. Найти импульсную переходную функцию k () системы, учитывая ее связь симпульсной переходной функцией k0 () соответствующего укороченного дифференциального уравнения:k ()  bm k 0m  ()  ...

 b0 k 0 () .Пример 4. Найти импульсные переходные функции элементарных звеньев. Усилительное звено. Подставляя в уравнение входной сигнал g (t )  (t  ) ,получаем k (t , )  K (t ) (t  ) .Дифференцирующее звено. Подставляя в уравнение входной сигнал g (t )  (t  ) ,получаем k (t , )   (t  ) .Интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение при g (t )  (t  ) имеетрешение k (t , )  1 (t  ) .Апериодическое звено. Запишем для уравнения системы задачу Коши:6k (t , )  k (t , )  0 ,tоднородное уравнение: Tначальное значение импульсной переходной функции: k (t , )t 0Общее решение однородного уравнения имеет вид k (t , )  c eусловия получаем выражение для параметра с :ceT1.TtT.

Из начального1T1c()  e T .TОкончательно получаем1 k (t , )  eT(t  )Tпри t   .Как видим, найденная импульсная переходная функция зависит только от разности t   ,1 т.е. k ()  e T ,   t   .TКолебательное звено. Составляем характеристическое уравнение для дифференциального уравнения: T 2 2  2T    1  0 . При   (1, 1) это уравнение имеет два комплексных сопряженных корня1 1,2  (    i 1   2 ) ,Tпоэтому фундаментальную систему решений образуют функции1 (t )  e  t sin t ,где   ,  Tзвена:1  2Tk () 1T 2 (t )  e  t cos t ,.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций