tus10 (1014503)
Текст из файла
Семинар 10.ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙОписание сигналов и системДля описания сигналов используются базисные системы функций.Базисная система в общем случае комплексных функций { p(i , t , ), i 0,1,...} ,определенная на отрезке [ 0, t ] , называется ортонормированной, если все функцииэтой системы удовлетворяют условиюt0 1,p * (i, t , ) p( j , t , ) d 0,i j,i j,(1)где – текущее время, 0 t ; p * (i , t , ) – комплексная сопряженная функция; t –правый конец отрезка времени, на котором решается задача анализа.Широкое применение нашли следующие базисные системы функций:нестационарные полиномы Лежандра:pˆ(i , t , ) 2i 1 ik lik t k , i 0,1,... ,t k 0(2)где lik (1)i k C ii k C ii k ;1pˆ(0, t , ) ,tpˆ (1, t , ) 3 2 1 ,t tpˆ(2, t , ) 5t 6 2 61 , t2t32 20 30 12 1 и т.
д.;tt3t2нестационарные косинусоиды:pˆ(3, t , ) 7t 1,i 0,tC (i , t , ) i 2 t cos t ,C (0, t , ) 1t,C (1, t , ) C (3, t , ) 2cos,tt(3)i 1,2,...,C (2, t , ) 22cos,tt23cosи т. д.;ttа также функции Уолша и другие.1. Описание сигналов. Нестационарной спектральной характеристикой(НСХ) функции g () по заданному ортонормированному базису { p(i , t , ), i 0,1,...}называется функция1tG (i , t ) S [ g ()] ppp * (i , t , ) g () d,i 0,1,2,...
.(4)0Она представляется бесконечной матрицей-столбцомG (0, t ) G (1, t ) G (t ) G (i, t ) ,p p G (2, t ) а при численных расчетах конечной матрицей-столбцом.Индекс базисной системы пишется под знаком спектральной характеристики,указывая, относительно какой базисной функции она определена.Для перехода от спектральных характеристик к функциям времени, используется формула обращения:g () S 1[ G (t ) ] pp Gp (i, t ) p(i, t , ),0 t.(5)i2.
Описание систем. Рассматривается поведение нестационарной линейнойсистемы, описываемой дифференциальным уравнениемan () x (n) () ... a0 () x () bm () g (m) () ... b0 () g (),(6)где g() – входной сигнал; x() – выходной сигнал; n и m – порядки старших производных выходного и входного сигналов; an (),... , a0 () ; bm (),... b0 () – коэффициенты, зависящие от времени . Система исследуется на отрезке времени [0,t], правыйконец t которого может быть подвижен или задан.Двумерной нестационарной передаточной функцией W (t , t ) (ДНПФ) лиpp *нейной системы (6) называется двумерная нестационарная спектральная характеристика импульсной переходной функцииtW (h, i , t , t ) pp *t d 0p * (h, t , ) p(i , t , ) k (, ) d , h, i 0,1,2...
,(7)0где { p(i , t , ), i 0,1,...} – базисная система.ДНПФ представляется бесконечной матрицейW (0,0, t , t ) W (0,1, t , t ) W (0,2, t , t ) W (1,0, t , t ) W (1,1, t , t ) W (1,2, t , t )W (t , t ) W (h, i, t , t ) pp * W (2,0, t , t ) W (2,1, t , t ) W (2,2, t , t ) pp *...............,......где h – номер строки, i – номер столбца.
Если длина t интервала времени фиксирована, матрица ДНПФ является числовой. При численных расчетах ДНПФ представляется в виде конечных квадратных матриц.2ДНПФ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ1. Усилительное звено. Поскольку импульсная переходная функция усилительного звена имеет вид k (, ) a() ( ) , где a() – коэффициент усиления, тоtA* (h, i, t , t ) p * (h, t , ) p(i, t , ) a() d .pp0Если a() a const, то двумерная нестационарная передаточная функцияусилительного звена представляется в форме A (t , t ) aE в силу ортонормированноpp *сти базисной системы функций.2. Интегрирующее звено.
Импульсная переходная функция интегрирующегозвена имеет вид k (, ) 1 ( ) . При применении полиномов Лежандра получаемсоответствующую двумерную нестационарную передаточную функцию интегрирующего звена:1 100... c0, n ...2 3 2 1100... c1, n ...2 152 311 00... c 2, n ...1P (t , t ) t2 152 35 1pp 000... c3, n ...2 35 ............... ...c n,1c n,2c n,3...
c n, n ... c n,0 ............... ... ...где c n, n 1 c n 1, n 12 4n 2 1, c00 1, cn, n k cn k , n 0,2k 0,2,3,..., n .При использовании нестационарных косинусоид имеем: 1 2 2 2 2 01P (t , t ) t cc 2 22 9 ... c n,0 ...2 202403 24300242 29 2045 2... c0, n... c1, n... c 2, n0... c3, n...c n,15 2...c n,2...c n,3... ... c n, n....................................где3c0, n c n,0 [ 1 (1) n 1 ] 2n 2 2c n k , n c n, n k c00 ;2 [ 1 (1)k 1 ]k (2n k ) 21,2c n, n 0 ,k 1,2,..., n 1.,3.
Дифференцирующее звено. Импульсная переходная функция дифференцируюd ( ). При применении полиномов Лежандра имещего звена имеет вид k (, ) dем 1 351 P (t , t ) 7 t pp ... c n,0 ...где cn k , n 35731521 ... c1, n 15535 ... c 2, n21...c n,1... 35...c n,2...7...c n,3...c n, n k (1)k(2n 1) (2n 2k 1) ,... c0, n... c3, n... ... c n, n...
............... ,.........(2n 1) (2n 2k 1) .При применении нестационарных косинусоид получаем 1 2 21P (t , t ) cct 2 ... c n,0 2210321032 2...c0, n2...c1, n265...c 2, n2...c3, n...c n,1265...c n,2...c n,3... ...... c n, n2... ... ... ,гдеc00 1, c0, n (1) n 2 ; c n,0 2 ;c n, n k (1)k c n k , n c n, n 2, n 1,2,3,...2 [(1)k (n k ) 2 n 2 ](n k ) 2 n 2,k 1,2,..., n 1.4НАХОЖДЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮW (t , t ) P (t , t ) An (t , t ) ... A0 (t , t ) P n (t , t )pp *pp *pp * pp *pp *1nmB m (t , t ) P (t , t ) ... B 0 (t , t ) .pp * pp *pp *(8)3. Связь вход-выходX (t ) W (t , t )G (t ) .pp *p(9)p4.
Двумерные нестационарные передаточные функции соединенийЕсли система представляет собой соединение звеньев, то для нахождения ДНПФсистемы применяются следующие соотношения:для последовательного соединения (см. рис. 1, а):W (t , t ) W 2 (t , t )W1 (t , t ) ,pp *pp *(10)pp *для параллельного соединения (рис. 1, б):W (t , t ) W1 (t , t ) W 2 (t , t ) ,pp *pp *(11)pp *для соединения с обратной связью (рис. 1, в):W (t , t ) W1 (t , t )[E W 2 (t , t )W1 (t , t )]1 [E W1 (t , t )W 2 (t , t )]1 W1 (t , t ) ,pp *pp *pp *pp *pp *pp *(12)pp *где знак «плюс» – для отрицательной, а знак «минус» – для положительной обратнойсвязи; W1 (t , t ), W 2 (t , t ) – двумерные нестационарные передаточные функции первогоpp *pp *и второго звеньев соответственно.X 1 (t )pW1 (t , t )X 1 (t )G (t )pW1 (t , t )pp pX (t )W 2 (t , t )ppp *G (t )X (t )ppp *pW 2 (t , t )аpp *X 2 (t )pб5G (t )pX (t )E (t )ppW1 (t , t )pp *W 2 (t , t )X 2 (t )pp *pвРис.
15. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g() ;б) система, заданная в одной из возможных форм математического описания;в) нулевые начальные условия.Требуется найти выходной сигнал x() .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИПеред решением задачи анализа задается длина t отрезка [0,t] и система базисных функций (здесь предлагается использовать либо систему полиномов Лежандра,либо систему нестационарных косинусоид).1. Найти спектральную характеристику G (t ) входного сигнала g () .p2.
Определить ДНПФ W (t , t ) системы одним из двух способов: по дифференpp *циальному уравнению или по структурной схеме.Первый способ. Если задано дифференциальное уравнение (6), то ДНПФ определяется по формуле (8):W (t , t ) P (t , t ) An (t , t ) ... A0 (t , t ) P n (t , t )pp *pp *pp * pp *pp *n1mBm (t , t ) P (t , t ) ... B0 (t , t ) ,pp * pp *pp *где Ai (t , t ) , B j (t , t ) – ДНПФ усилительных звеньев ai (), b j () ; P (t , t ), P 1 (t , t ) –pp*pp*pp *pp *ДНПФ дифференцирующего и интегрирующего звеньев.Если система стационарная, т.е. a i () a i = const , b j () b j = const , имеемAi (t , t )pp * ai E , B j (t , t ) b j E , где E – единичная матрица.pp *6Второй способ.
Нахождение ДНПФ по структурной схеме.Если система состоит из звеньев и их соединений, то для нахождения ДНПФсистемы применяются соотношения (10)–(12). ДНПФ элементарных звеньев берутсяиз таблиц.3. Вычислить спектральную характеристику выходного сигнала по формуле (9):X (t ) W (t , t )G (t ) .ppp *p4. Определить выходной сигнал по формуле обращения (5):x () S 1[ X (t )] ppiX (i, t ) p(i, t , ),0 t.pЗ а м е ч а н и е.1.
При практических расчетах используются базисные системы с конечным числом функций, т.е. { p(i, t , ), i 0,1,..., N } . Тогда бесконечные матрицы заменяются конечными соответствующих размеров. Число N называется масштабом усечения.2. Решение одной и той же задачи с применением разных базисных систем илиодной базисной системы с разным масштабом усечения является одним из эффективных способов контроля достоверности и точности результата.Пример 1.
Определить реакцию интегрирующего звена на единичное ступенчатое входное воздействие g () 1 () при нулевых начальных условиях. Решим задачу двумя способами с применением различных систем базисныхфункций.Первый способ. Выберем t 1 и систему нестационарных полиномов Лежандра(2).1. Найдем спектральную характеристику входного сигнала:tG (0, t ) pˆ0tG (1, t ) pˆt1 pˆ(0, t , ) d 0 10t1 pˆ(1, t , ) d 1 01td t 1,3 2( 1) d 0,...
,t t1 0G (t ) .pˆ0 2. Используем ДНПФ интегрирующего звена, определенную относительно полиномов Лежандра:7 1 2 11W (t , t ) P (t , t ) t 2 3pˆpˆpˆpˆ 0 1.2 150102 3012 153. Найдем спектральную характеристику выходного сигнала при t 1 : 1 2 1X (t ) 2 3pˆ 0 12 3012 15 1 1 21 0 1 .2 15 0 2 3 0 0 04. Определим выходной сигнал по формуле обращения:x () 1 Xpˆ (i, t ) pˆ(i, t , ) 2 1 2i13 (2 1) .3Второй способ. Выберем t 1 и систему нестационарных косинусоид (3).1. Найдем спектральную характеристику входного сигнала:G (0, t ) ctG (1, t ) ctt00t 1 C (1, t , ) d 1 01 1 C (0, t , ) d 1 0td 2d costtt 1,2 tsint tt 0,...
,0 1 0G (t ) . 0c 2. Используем ДНПФ интегрирующего звена, определенную относительно нестационарных косинусоид:1W (t , t ) P (t , t ) t cccc122 22 2202043 2043 20 .3. Найдем спектральную характеристику выходного сигнала при t 1 :8X (t ) c122 22 220200443 203 2 1 0 0 1 2 2 2.2 0 4. Определим выходной сигнал по формуле обращения:x () 1 2 2 2 cos 1 4 cos .2 2 2 Xc (i, t ) C (i, t , ) 2 1 iПример 2. Определить реакцию интегрирующего звена на линейное входноевоздействие g() 1 () при нулевых начальных условиях. Выберем t 1 и систему нестационарных полиномов Лежандра.1, 2. Воспользуемся результатом примера 1: 1 2 1 G (t ) ; W (t , t ) P 1 (t , t ) .pˆ2 3pˆpˆpˆpˆ 0 3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.