tus9 (1014502)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 9.АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается одномерная линейная стационарная система, описываемая передаточной функциейW (s ) bm  s m    b0a n  s n    a0M (s ).D (s )Требуется определить, является ли система асимптотически устойчивой.1 способ.КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИПри решении поставленной задачи используется следующий факт: корни характеристического многочлена D (s )  an  s n    a0 (или, что то же самое, корни характеристического уравнения an  n    a0  0 ) являются полюсами передаточной функции.В общем случае характеристический многочлен имеет n корней s1 ,  , s n .Для асимптотической устойчивости одномерной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все полюсы передаточной функции имели отрицательные действительные части: Re s i  0, i  1,  , n , т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости..

Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения можно использовать критерий Рауса–Гурвица.Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно,чтобы при an  0 угловые миноры  i матрицы an 1 an  3 a n an  2 0an 1an 0 0 0an  5 an  4 an  3 an  2 00000a0 a aбыли положительны:  i  0 , i  1,  , n , где 1  an 1 ,  2   n 1 n  3  и т.д. an an  2 При заполнении квадратной порядка n матрицы отсутствующие в уравнении коэффициенты an  i и ai при i  n заменяются нулями.1Пример 1. Определить, при каких значениях коэффициента усиления k система,заданная структурной схемой (рис.

1), будет устойчивой.g1T2 s  11T1 s  1ksxT1  0,005T2  0,2Рис. 1 Найдем передаточную функцию замкнутой системы:kkM (s )(T1s  1) (T2 s  1) s.W (s ) 32kD (s )()TTsTTssk12121(T1s  1) (T2 s  1) sВыделим характеристический многочлен3D( s )  TT1 T2) s 2  1 s  k1 T2 s  (a3a2a1a0и применим критерий Рауса–Гурвица:T1  T2kT1 T201T1  T2Отсюда находим, что при 0  k 0 1  T1  T2  0,0 ,k 2  (T1  T2 )  T1 T2 , k  0,T1  T2T1T2 3  k  2  0.0,205 205 система является устойчивой.0,0012 способ.

Критерий Михайлова. Этот критерий позволяет сделать вывод об устойчивости системы по годографу характеристического многочлена.Утверждение. Для устойчивости (по начальным данным) линейной стационарM (s ) bm s m  ...  b0ной системы, описываемой передаточной функцией W (s ) =,D (s )an s n  ...  a0необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена D (i)при изменении частоты  от 0 до   , охватывал начало координат на угол  n , где n  порядок характеристического многочлена.22QQBD (i)CA0QD (i)D (i)0032аPP0P002бвРис. 2АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Определить порядок n знаменателя D (s ) передаточной функции W ( s ) системы.2. Построить на комплексной плоскости годограф многочлена D (i) при изменении частоты  от 0 до   .3. Вычислить величину  угла, на который годограф охватывает начало координат(точку z  0 ):   Arg D (i) .0    n . Если условие выполнено, то система устойчива2по начальным данным. Если, кроме того, порядок m числителя передаточной функции небольше порядка n ее знаменателя, то система устойчива и по входу.

Если годограф характеристического многочлена проходит через начало координат, то говорят, что системанаходится на границе устойчивости (оставаясь неустойчивой).Проверить выполнение условия  На рис. 2 приведены различные случаи применения критерия при n  3 ,P ()  Re D (i), Q ()  Im D (i) . Годограф, изображенный на рис. 2,а, соответствуетустойчивой системе, годографы, изображенные на рис. 2,б-в  неустойчивой.З а м е ч а н и е.

Существуют эквивалентные формулировки критерияМихайло-ва.1. Для устойчивости линейной стационарной системы по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена, начинаясьна положительной части действительной оси, проходил против часовой стрелки последовательно n квадрантов.3На рис.

3 приведены примеры годографов характеристических многочленов устойчивых систем.Qn2Pn4n3Рис. 32. Для устойчивости линейной стационарной системы по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы нули действительной P () и мнимой Q () частей характеристического многочлена чередовались, а их общее число равнялось n .PABC0QCA 0BРис. 4На рис. 4 изображены графики действительной и мнимой частей характеристического многочлена, соответствующие устойчивой системе при n  3 .Пример 2. Найти все положительные значения коэффициента усиления K , прикоторых устойчива система (рис. 5).g1s2  s  21s 1Рис. 54KxW (s ) K32s  2s  3s  K  2.1. Знаменатель этой функции является многочленом 3-й степени, т.е. n  3 .2.Построимгодографэтогомногочлена,используязначения22D (i)  K  2  2  i(3   ) при некоторых характерных частотах  (рис.

6).3. Как видим, при K  4 годограф проходит через начало координат, а приK  (0; 4) годограф проходит последовательно через I , II , III квадранты, охватывая3. При K  (4; ) годограф проходит через I , IV , III квадточку z  0 на угол  2ранты, а    . Таким образом, при всех K  (0; 4) система будет устойчивой.2Im D (i)2K 62D (i)K 2KKi 1(2  )2202 4 6 8 Re D (i)12K2K 4K  16  18i i 33K 2K 4Рис. 6Воспользуемся альтернативной формулировкой критерия Михайлова. Найдем корни действительной и мнимой частей характеристического многочлена:P ()  K  2  22  0 ,Q ()   (3  2 )  0 .Из второго уравнения получаем 1  0,  2  3 (корень 3   3 не принадлежит промежутку [0, )).

Из первого уравнения следует  K 2. Условие чередо2вания корней будет выполнено, еслиK 2 3,0 или2 K  0,  2  K  4, K  0.Отсюда получаем, что при 0  K  4 система будет устойчивой.5Пример 3. Является ли устойчивой система, описываемая дифференциальнымуравнением 2 x t   x t   2 g t  ? 1. Передаточная функция системыW s  2,2s  1поэтому D  s   2 s  1 , n  1 .2.

На рис. 7,а изображен годограф D i   1  i 2 , так как Re D i   1 ,Im D i   2 .Im D (i)D (i)00013  2i3-9а  iбРис. 73,4. Очевидно, при изменении  от 0 до   угол  ловию  n при n  1 . Поэтому система устойчива.

2, что удовлетворяет ус2Пример 4. Исследовать устойчивость системы с передаточной функциейW (s ) 800,01 s 3  0,52 s 2  7s  80. 1. Знаменатель передаточной функции является многочленом третьей степени,т.е. n  3 .2. Построим годограф характеристического многочленаD (i)  D (s ) s  i    0,01 i 3  0,52 2  7 i  80 6 80  0,52 2  i (7  0,01 3 ) ,P ()Q ()вычислив действительную P () и мнимую Q () части при различных значениях частоты  (рис.

8,а) и графики действительной и мнимой частей характеристического многочлена (рис. 8,б).048121620242832P ()8071,746,75,1-53,1-128-219,5-327,7- 452,5Q ()027,450,966,771,06029,8-23,5- 103,7P,QQ80D (i)Q ()0080P048 1216 20 2428 32P ()Рис. 83. Очевидно, годограф проходит последовательно через I, II, III квадранты, охва3. Одновременно корни действительной и мнимой частывая точку z  0 на угол  2тей характеристического многочлена чередуются, а их общее число равно трем.4. Согласно критерию Михайлова система является устойчивой.3.

Критерий НайквистаМихайлова. Рассматривается система управления (см.рис. 9), замкнутая отрицательной единичной обратной связью. Передаточная функция разомкнутой системы имеет видM (s ) bm s m  ...  b0W (s ) ,D (s )an s n  ...  a0причема) многочлены M (s ) и D (s ) не имеют общих корней;б) порядок m числителя не больше порядка n знаменателя;7в) передаточная функция имеет  полюсов (с учетом их кратности), лежащих вправой полуплоскости, и H полюсов, лежащих на мнимой оси. В этом случае (при  H  0 ) разомкнутая система неустойчива.Требуется исследовать устойчивость замкнутой системы по годографу частотнойхарактеристики W (i) разомкнутой системы.gW(s)xРис.

9Утверждение. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики W (i) разомкнутой системы при изменении частоты  от 0 до   охватывал точку z  1  i 0 на угол (2  H ) :2 Arg (1  W (i))  (2  H ) .20   АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти передаточную функцию W (s ) разомкнутой системы. Определить количество корней знаменателя передаточной функции W (s ) , лежащих в правой полуплоскости (  ) и на мнимой оси ( H ).2. Построить на комплексной плоскости годограф функции W (i) при изменениичастоты  от 0 до   .3. Подсчитать величину  угла, на который построенный годограф охватываетточку z  1  i 0 .

Для этого нужно построить вектор с началом в критической точке1  i 0 , конец которого перемещается по годографу W (i) , и вычислить величину угла,на который поворачивается вектор при изменении частоты  от 0 до   .4. Проверить выполнение условия   (2  H ) . Если условие выполняется, то2система устойчива, в противном случае  неустойчива.З а м е ч а н и я.1. Критерий НайквистаМихайлова представляет собой необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы как по входу, так и по начальным данным.В приведенной формулировке критерий применим, если разомкнутая система строго физически реализуема, т.е. когда порядок числителя передаточной функции W ( s ) не больше порядка знаменателя.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций