tus15 (1014508), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )    ( x + u )  u 2 .2.Находим максимум гамильтониана по управлению (см. п.2 примера 1):2(t )и 2 H (t, (t ), x(t ), u)  2  0 .H (t, (t ), x(t ), u)  (t )  2u  0 . Отсюда u  (t ) 2uu63. Выписываем уравнения системы (6) с учетом результата п.2:x (t )  x (t )  u  (t )  x (t )  (t )  (t ), x (0) = 0 ,2H (t , (t ), x (t ), u(t ))   (t ) .x4. Проверяем условие трансверсальности в форме (5).

Так как F (t1 , x )   x , тоF   x и   x  H (t1 ) t1  (t1 ) xt1 1 0 . Поскольку t1  1 , то t1  0 . Ограни-чений на x (t1 ) не наложено, поэтому вариация x произвольна. В результате имеем (t1 )  1   xt1 1 0 и, следовательно, (1)  1  0 .5. Решаем полученную двухточечную краевую задачу:x (t )  x (t ) (t ), x (0) = 0 ,2 (t )   (t ) , (1)  1 .Из второго уравнения с конечным условием имеем (t )  e 1  t . Поэтому оптимальноеe1t(t ) 1 1  t e . Решая первое уравнение системы x (t )  x (t ) суправление u (t ) 222начальным условием x (0) = 0 , последовательно получаем: x 0 (t )  Ce t – общее решениеeоднородного уравнения, x ч (t )   e  t – частное решение неоднородного уравнения,4eобщеерешениенеоднородногоуравнения,x (t )  x 0 (t )  x ч (t )  Ce t  e  t –41eex(0)  C   0, C  .

Следовательно, оптимальная траектория x  (t )  e1t  e1t . 444Пример 3. Даны модель объекта управленияx1 (t )  x 2 (t ) , x1 (0)  1 , x1 (2)  0 ,x 2 (t )  u(t ) , x 2 (0)  1 , x 2 (2)  0 ,где x  ( x1 , x 2 )T  R 2 , u  R , t  [0; 2] , и функционал1I 22u2(t ) dt  min .0Требуется найти оптимальную пару ( x * (), u * ()) , на которой достигается минимумфункционала. Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем1f1 (t , x, u )  x 2 , f 2 (t , x, u )  u , f 0 (t , x, u )  u 2 , F (t1 , x )  0, 1 (t1 , x (t1 ))  t1  2  0 ,272 (t1 , x (t1 ))  x1 (2)  0 ,3 (t1 , x (t1 ))  x 2 (2)  0 .Решается задача Лагранжа.1.

Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )  1 x 2   2 u 1 2u .22. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения науправление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловного экстремума:H (t , (t ), x (t ), u)   2 (t )  u  0 .uОтсюда u * (t )   2 (t ) . Найденное управление обеспечивает максимум функцииH (t , (t ), x (t ), u) по управлению, так как удовлетворяются достаточные условия экстремума2H (t , (t ), x (t ), u )  1  0 . u23.

Выписываем уравнения системы (6):x1 (t )  x 2 (t ) , x1 (0)  1 , x1 (2)  0 ,x 2 (t )  u(t )   2 (t ) , x 2 (0)  1 , x 2 (2)  0 , 1 (t )   2 (t )  H (t , (t ), x (t ), u(t ))  0 , x1H (t , (t ), x (t ), u(t ))   1 (t ) . x24. Проверяем условия трансверсальности (5). Так как F (t1 , x )  0 , а t1  2 ,x1 (2)  0 , x 2 (2)  0 , т.е. заданы, то F  0 , t1  0 , x1  0 , x 2  0 . Следовательно,условия трансверсальности выполняются.5. Решаем полученную в п.3 двухточечную краевую задачу:1 (t )  const  C1 ,x 2 (t )  C1 t 22 C 2 t  C3 , 2 (t )   C1t  C 2 ,x1 (t )  C1 t 36C2 t 22 C3 t  C 4 .Из краевых условий находим постоянные C1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 :x1 (0)  C 4  1 ,x 2 (0)  C 3  1 ,81 3 7 2t  t  t  1,24x 2 (2)  2 C1  2 C 2  C 3  0 .7и искомая пара ( x * ()  ( x1* (), x 2 * ())T , u * ()) , где2737x 2 * (t )  t 2  t  1 , u * (t )   2 (t )  3 t  .

222Отсюда C1  3 , C 2  x1* (t ) 4x1 (2)   C1  2 C 2  2 C 3  C 4  0 ,3Пример 4. Даны модель объекта управленияx1 (t )  x 2 (t ),x 2 (t )  x1 (t )  u(t ),3eс краевыми условиями x1 (0)  2, x 2 (0)   , x1 (1)  , x 2 (1)   e 1 и функционал221I u 2 (t ) dt  min .0Требуется найти оптимальное программное управление u  () и соответствующуютраекторию x  () .Здесь x  ( x1 , x 2 )T  R 2 , u  U  R, t  [0; 1], f 0 (t , x, u )  u 2 , F (t1 , x )  0,ef1 (t , x, u )  x 2 , f 2 (t , x, u )  x1  u , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  1  0 , 2 (t1 , x (t1 ))  x1 (1)   0 ,213 (t1 , x (t1 ))  x 2 (1)  e  0 .

Решается задача Лагранжа.1. Составляем гамильтонианH (t , , x, u )  1 x 2   2 ( x1  u )  u 2 .2. Находим максимум гамильтониана по управлению:H (t , (t ), x (t ), u )   2 (t )  2 u  0 .uОтсюда u  (t )  2 (t )2и2 u2H (t , (t ), x (t ), u )  2  0 .3.

Выписываем уравнения системы (6) с учетом результата п.2:x1 (t )  x 2 (t ),x 2 (t )  x1 (t )  2 (t )2x1 (0)  2,, x 2 (0)  x1 (1) e,23, x 2 (1)   e 1 ,2 1 (t )   H (t , (t ), x (t ), u(t ))   2 (t ), x1 2 (t )   H (t , (t ), x (t ), u(t ))  1 (t ). x24. Проверяем условия трансверсальности (5). Так как F (t1 , x )  0, то F  0 и  H (t1 )  t1  1 (t1 )  x1   2 (t1 )  x 2 t1 1 0.9e, x 2 (1)   e 1 заданы, то t1  0, x1  0, x 2  0 .2Поэтому условия трансверсальности выполняются.Поскольку значения t1  1, x1 (1) 5. Решаем записанную в п.3 двухточечную краевую задачу. Из двух последних уравнений получаем 1 (t )    2 (t )  1 (t ).Общее решение этого уравнения имеет вид1 (t )  C1 e t  C 2 e t ,где C1 и C 2 – произвольные постоянные.Тогда из третьего уравнения системы  2 (t )    1 (t )   C1 e t  C 2 e t .Запишем первые два уравнения системы:x1 (t )  x 2 (t ),x 2 (t )  x1 (t ) Отсюда x1 (t )  x 2 (t )  x1 (t )  2 (t )2 x1 (t ) C1 t C 2  te e .22C1 t C 2  tCCe e или x1 (t )  x1 (t )   1 e t  2 e  t .2222Найдем общее решение полученного неоднородного уравнения:а) общее решение однородного уравнения x1 (t )  x1 (t )  0 :x10 (t )  C 3 e t  C 4 e t ;б) частное решение неоднородного уравнения ищем в видеx1н (t )  A t e t  B t e t .x1н (t )  A e t  A t e t  B e t  B t e t ,Тогдаx1н (t )  2 A e t  A t e t  2B e t  B t e t .Подставляя в неоднородное уравнение, получаем:2 A e t  A t e t  2B e  t  B t e  t  A t e t  B t e  t  C1 t C 2  te e .22Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях t , имеем2A  10C12,  2B C22, илиAC14,B C24.В результате x1н (t )  C1Ct e t  2 t e t ;44в) общее решение неоднородного уравненияx1 (t )  x10 (t )  x1н (t )  C 3 e t  C 4 e  t C14t et C24t e t .Из первого уравнения системы имеемx 2 (t )  x1 (t )  C 3e t  C 4 e  t C1et 4C14t et C24e t C24t e t .Для нахождения коэффициентов C1 ,...,C 4 используем краевые условия:x1 (0)  C 3  C 4  2,x 2 (0)  C 3  C 4 C14x1 (1)  C 3 e  C 4 e 1 x 2 (1)  C 3 e  C 4 e 1 ПолучаемC1e4C14C14C24eeC24C243,2e 1 e 1 C24e,2e 1   e 1 .C1  2, C 2  4, C 3  C 4  1 .

В результате найдена искомая пара:опти-Tмальная траектория x  (t )  x1 (t ), x 2 (t ) , гдеx1 (t )te ett et t e t ,2и оптимальное управление u  (t )  2 (t )2x 2 (t )ett ettt, 2e  t e 22  e t  2e  t . 11.

Характеристики

Список файлов лекций