tul15 (1014490)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 15.8.3. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙЛИНЕАРИЗАЦИИ8.3.1. Постановка задачиРассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом.gF ()zW (s )xРис. 1Изучается свободное движение системы, т.е. движение при ненулевых начальныхусловиях в отсутствии входного сигнала ( g (t )  0 ).При отсутствии внешних воздействий свободное движение линейной системыможет быть периодическим, если корни характеристического уравнения чистомнимые. Однако практически такие движения не реализуются, так как малейшееизменение параметров системы приводит к тому, что колебания становятся либозатухающими, либо расходящимися, поскольку появляются отрицательные илиположительные действительные части у корней характеристического уравнения.В отличие от линейных систем в нелинейных системах управления приотсутствии внешних воздействий возможны устойчивые периодические движения,которые принято называть автоколебаниями.На фазовой плоскости автоколебаниям соответствует устойчивый предельныйцикл, где x , y  x – выходной сигнал и его производная.Пусть известны:а) характеристика F () нелинейного элемента;б) передаточная функция W ( s ) линейной части системы.Требуется определить:а) возможны ли в системе автоколебания?б) параметры автоколебаний: амплитуду ao и частоту  o предельногоцикла, если ответ на первый вопрос положительный.Анализ периодических движений систем управления с одним нелинейнымэлементом будем проводить методом гармонической линеаризации ее единственногонелинейного звена.8.3.2.

Гармоническая линеаризация нелинейных элементовРассмотрим нелинейный элемент с характеристикой z  F () , на входкоторого подается гармонический сигнал (t )  a sin t с амплитудой a  0 ичастотой   0 . Выходной сигнал z (t )  F (a sin t ) нелинейного звена будет1периодическим, но не гармоническим. Разложение в ряд Фурье этого сигнала имеетвидz (t )  q 0 (a)  q (a) a sin t  q1 (a) a cos t  ... ,гдеq (a) q1 (a) 1a21aF (a sin ) sin  d,02F (a sin ) cos  d.0Предположим, что:– постоянная составляющая q 0 (a ) сигнала отсутствует (для нечетнойхарактеристики F () это всегда выполняется);– линейная часть системы (устойчивая) обладает свойствами фильтра низкихчастот: W (i)  W (ik) при k  1 , поэтому учет высших гармоник не являетсясущественным (гипотеза фильтра).Тогда приближенное выражение выходного сигнала будет иметь видz (t )  q (a ) a sin t  q1 (a ) a cos t .Такой же выходной сигнал можно получить, подав гармонический сигналнавходлинейногозвена(t )  a sin tспередаточнойфункциейq (a)W H (a, s )  q (a)  1s .

Частотная характеристика W H (a , i) этого эквивалентногозвена зависит только от амплитуды а и не зависит от частоты  :W H (a)  W H (a, s )s i  q (a)  i q1 (a) .Функцию W H (a ) называют комплексным коэффициентом усилениянелинейного элемента, а коэффициенты q (a) и q1 (a ) – коэффициентамигармонической линеаризации.Таким образом, нелинейный элемент z  F () может быть заменен линейным,частотная характеристика которого зависит от амплитуды входного сигнала.

Этотприем получил название гармонической линеаризации нелинейностей.8.3.3. Алгоритм анализа автоколебанийС помощью гармонической линеаризации нелинейного элемента система содним нелинейным элементом приводится к виду, изображенному на рис.2.2gW m (a , s )zW (s )xРис. 2Применяя преобразование Фурье к линеаризованной системе, получаем:X ()  W H (a) W (i ) () ,()  G ()  X () .Эти уравнения связывают изображения X () , () , G () сигналов x ,  , g ичастотные характеристики W H (a) и W (i) звеньев системы.

При отсутствиивнешних воздействий ( g (t )  0 ) получим соотношение 1  W H (a) W (i)  ()  0 ,которое выполняется для периодического (не равного нулю) сигнала (t ) ( ()  0 )только тогда, когда амплитуда a и частота  удовлетворяют уравнениюгармонического баланса:W H (a )W (i)  1 .(*)Это уравнение можно рассматривать как условие наличия чисто мнимого корняi характеристического уравнения линеаризованной системы, что связано, какотмечалось выше, с существованием периодических движений линейных систем.Уравнение гармонического баланса можно записать с учетом в виде системыдвух уравнений относительно двух неизвестных a и  :q (a) ReW (i)  q1 (a) Im W (i)  1,q1 (a) Re W (i)  q (a) Im W (i)  0,где q (a) и q1 (a ) – коэффициенты гармонической линеаризации нелинейногоэлемента.Применяются также и другие формы записи уравнения (*):11W H (a)  ; W (i)  M H (a), где M H (a)  .W H (a)W (i)При решении задач удобно пользоваться следующей графоаналитическойсхемой (диаграммой Гольдфарба).1.

Построить годограф W (i) при   [ 0;   ) .1при a  [ 0;   ) .2. Построить годограф M H (a)  W H (a)33. Найти значения частоты  o и амплитуды ao периодического движения,соответствующие точкам пересечения годографов (решить уравнение (*) ).14. Если при движении по годографу M H (a)  , соответствующемW H (a)увеличению амплитуды a от значения ao , окажемся в точке, которая не будетохватываться годографом W (i) (рис.3 , точка 2), то амплитуде ao будутсоответствовать устойчивые автоколебания, а в противном случае (рис.3 , точка 1) –неустойчивые.VW (i)  a  U2M H (a)1a00Рис. 3З а м е ч а н и я.1. Метод гармонической линеаризации является приближенным.

Поэтомуотсутствие решений уравнения (*) гармонического баланса означает, чтоиспользуемый метод не позволяет выделить периодических движений у исследуемойсистемы.2. После нахождения частоты периодического движения следует проверитьвыполнение гипотезы фильтра: W (i  П )  W (i k  П ) при k  1 .8.4. АНАЛИЗ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ8.4.1. Постановка задачиРассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом.

Изучаетсясвободное движение системы, т.е. движение при ненулевых начальных условиях вотсутствии входного сигнала ( g (t )  0 ).Система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевыхограниченных начальных условиях свободное движение x (t ) ограничено приt  [0;  ) и lim x (t )  0 . Если окажется, что это свойство выполняется для любыхt нелинейных элементовабсолютной.изнекоторогокласса,тоустойчивостьназывается48.4.2. Условия абсолютной устойчивостиУтверждение 1 (достаточные условия абсолютной устойчивости, теоремаВ.М. Попова). Пусть выполняются условия:1) все полюсы передаточной функции линейной части системы имеютотрицательные действительные части (т.е. линейная часть разомкнутой системыустойчива);2) характеристика нелинейного элемента принадлежит сектору [0; k ] , т.е.F (0)  0 ,0F () k при всех   0 ;3) существует действительное число q такое, что при всех   [0;  )выполняется неравенство1Re  1  i  q  W (i)    0 .kТогда при любых ограниченных начальных отклонениях от нулевого значения функция(t ) остается ограниченной при t  0 и (t )  0 при t   (т.е.

система будет(t ) следует,асимптотически устойчивой, так как из ограниченностиограниченность x (t ) , а из стремления (t ) к нулю следует, что x (t )  0 приt   .z kzz  F ()0Рис. 4Заметим, что условие принадлежности характеристики сектору [0; k ] означает,что график функции z  F () лежит между осью абсцисс и прямой z  k (рис. 4).При этом конкретный вид функции в формулировке критерия не играет никакой роли.Можно сказать, что рассматривается сразу целый класс систем с различныминелинейными элементами, характеристики которых принадлежат сектору [0; k ] , икритерий определяет абсолютную устойчивость указанного класса.

В частности, вданный класс входят и линейные системы, получающиеся заменой нелинейногоэлемента усилительным звеном с коэффициентом усиления, не превышающим k .5Утверждение 2 (необходимые условия устойчивости). Если система снелинейнойхарактеристикойF () ,принадлежащейсектору[0; k ] ,асимптотически устойчива, то:1) линейная часть разомкнутой системы – устойчива (т.е.

полюсыпередаточной функции W (s ) лежат в левой полуплоскости ( Re s  0 ));2) годограф модифицированной частотной характеристики~ (i)  ReW (i)  i Im W (i)Wлинейной части системы при  (0;  )(*)не пересекает луча1  ;  kдействительной оси.Приведем также условие абсолютной устойчивости для часто встречающегосяслучая, когда передаточная функция W ( s ) имеет один нулевой полюс, а нелинейныйэлемент F () имеет зону нечувствительности .Утверждение 3.

Пусть все полюсы передаточной функции W (s ) линейнойчасти системы лежат в левой полуплоскости ( Re s  0 ), за исключением одного,равного нулю, причем lim s W (s )  0 . Пусть, кроме того, характеристика F ()s 0нелинейного элемента удовлетворяет условиям: F ()  0 при 1     2 ;0  F ()  k (   2 ) при    2 ; k (  1 )  F ()  0 при   1 ; причем00[ k  F () ] d   , [ F ()  k ] d   (т.е.график функцииz  F ()неприближается "плотно" к границе секторов, изображенных на рис.

5).Тогда, если существует такое действительное число q  0 , что 1неqявляется полюсом W (s ) , и для всех   [ 0,  ) выполняется неравенствоRe [ (1  i q )W (i) ] 1 0,kто при любых ограниченных начальных условиях процессы в системе останутсяограниченными и (t ) при t    стремится к одной из точек отрезка покоя[1 ;  2 ] .6z  k (   2 )zz  F ()12z  F ()z  k (  1 )Рис.

58.4.3. Алгоритм анализа абсолютной устойчивости1. Найти все полюсы передаточной функции W (s ) линейной части системы ипроверить, имеют ли все из них отрицательные действительные части. Если хотя быодин полюс не лежит в левой полуплоскости ( Re s  0 ), необходимое условиеабсолютной устойчивости (п.1 утверждения 2) не выполняется и система не являетсяабсолютно устойчивой.2. Найти параметр k (лучше наименьший из возможных), удовлетворяющийусловию в п.2 утверждения 1.3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций